Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 89
Текст из файла (страница 89)
пириддточндя фрикции «вкурсивного Фильтра з,„,„= (а,з(пТ) + + азэ!(и — 1)Т) + + аза ((п — 2)Т1 + ... + + ан з((п — Н) Т))б (! — пТ) + +(Ь,зк.„((п — 1)Т) + + Ьзззы, !(п — 2)Т] + ... + + ЬМз,,((п — М)Т)) к Х б (! — пТ), (13.38) Рис. !3.!3. цифровой фильтр с обрат- иыми связями. где М вЂ” число суммнр уемых предшесгвуйхцих воиодных импульсов. По аналогии с (13.27), (13.28) легко получить изображение по Лапласу для всей последовательности выходных импульсов Я м 8т вмк(Р)=8т(Р) ~~" а„в зз~+$7 з (Р) ~ Ьде — зо~, (13.39) с=с и ! откуда н !х м к.
о1-з, . окз, м — х „.-"'1 (1 — т. ь,.— )- з=о з ! = ты (Р) Рт (Р). (13. 40) Полученную функцию можно трактовать как передаточнуюфункцию каскадного соединения двух фильтров: одного с передаточной функцией 1!()т (Р), второго — с передаточной функцией ит (р). Такому представлению отвечает каноническая схема, показанная на рис. ! 3.14.
Число элементов памяти Т в этой схеме вдвое меньше, чем в схеме на рис. 13.!3. Рекурсивные фильтры позволяют получить частотные характеристики, присущие фильтрам, передаточные функции которых на плоскости Р = о -)- йо имеют не только нули (как схема рис. !3.2), но и полюса. Возможности фильтра значительно расширяются при введении в схему, представленную на рнс. 13.5, цепей обратной связи (см.
рис. 13.13). (Далее будет показано, как такую схему можно упростить, используя элементы памяти Т одновременно для прямых и обратных связей.) Значение сигнала на выходе сумматора в любой момент времени пТ зависит не только от Н выборок входного сигнала, но и от некоторого количества выборок выходного сигнала в предшествующие моменты, Подобные фильтры называются р е к у р- с и в н ы м и. Для рекур«л сивного фильтра выражение втф (13.26) следует заменить бо- и(г) лее общим выражением Рис. !3.!4.
Каиаеическая схема вифрового рекурсивного фильтра. Поясним выражение (13 39) на примере простейшего фильтра, в котопом випоминнется всего лишь один предшествующий импульс. Алгоритм подобного фильтра (см (13.38)! принимает вид веыял (к (л~) + Ьтввых!(и — 1)г 1)й (à — 11Т), (13.41) а схема его иаображена на рис.
13.15. Передаточная функпия рассматриваемого фильтра по формуле (13.40) Кг (р) =11(1 — Ь, е-" ); Кт(!го) = 1/(1 — Ь, е-' т), (13А2) Полюса передаточной функпии расположены в точках р = — (!и ! Ь, ! -1- г 2пгл), лг= О, -Ь 1, ~ 2. + ... т (рис. 13.15, а, б). агг1 Рис. 13.13. Рекурсивный фильтр пер- вого порядка. Рнс. 13.16.
Расположение полюсов передаточной функнни рекурсивного фильтра. йг 4Я Ще 4Ф йй Щю йх Ще 4У и/ау Рис. 13.17. Лмплитунно-частотные кнрнктеристикн рекурсниного фильтре (см, рис. 13.13). Амплитудно-частотная (рис, 13,17) и фазочастотная характеристики рассматриваемой цепи 117 (в)— 1 1 T1+Ьс — 2Ьг сон в7' 1+ Ьег — 2Ь| сон ~2н — ~1 вг7 (13.43) — Ьг 51П (Йт— гр(в) = — агс(д Ьг Ын вТ = агс15 1 Ьг сон вТ / в1 1 — Ьг сон '(2н — ~ вг (13.44) Амплитудно-частотная характеристика при нескольких значениях Ь, представлена на рис. 13.17.
Схема на рис. 13.15 соответствует гребенчатому фильтру, выделяющему колебания с частотами в = О, в„2в„, ... при козффициенте Ь„близком к единице, и с частотами в 0,5в,, 1,5в„2,5в„... при Ь„близком к — 1 (в обоих случаях (Ь,) ( 1). Использование передаточной функции в форме (13.40) для анализа дискретных цепей более высокого порядка оказывается затруднительным.
Существенное упрощение анализа можно достичь, применяяя метод г-преобразования. При любом знаке Ь, для устойчивости цепи должно выполняться условие ! Ь, ~ < 1. Изложенные в гл. 5 критерии устойчивости непрерывных линейных цепей с обратной связью с непринципиальными изменениями применимы и к дискретным системам. 13.8. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА Х-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ При математическом описании дискретных последовательностей, а также цепей большую роль играет функция еат.
Изображения по Лапласу временных процессов, а также передаточные функции цепей, в которые входит функция е"г, оказываются трансцендентными функциями р, что существенно затрудняет анализ. Его можно упростить при переходе к новой переменной г, связанной с р соотношением а=елг; р= — !и г.
(13.45) 1 т При такой замене указанные функции от р преобразуются в рациональные функции от переменной г, благодаря чему упрощается представление их на плоскости г. гд тдт — - О О ! ! 1 1 Л ту и л' -ю'— г бт а' ау Рис. 13.!8. Соотношение между коор- Рис. 13.19. Отображение точек и обапнатами точки на р-плоскости (а) и пастей иа гьплоскости на а-плеснешь. на г-плоскости (б). Преобразование плоскости р = а + (в в плоскость г = х + )д можно осуществить с помощью следующих соотношений, связывающих координаты оп в, какой-либо точки р, на плоскости р с координатами х„д соответствующей точки г, на плоскости г (рис. 13.13): г,=х,+Гд,=е(о+ ит.
х еа,тсозвтТ; да=ее, гз1пвеТ. (1 ЗАб) В полярных координатах на плоскости г г, =)гт)=Ух)+д1 — — е" г; 1Р,=агй г,=в, Т+ тйп, (1347) где тл — любое пелое число, На рис. 13.19 представлены отображения некоторых характерных точек и областей из р-плоскости на г-плоскость. Точка д = 0 переходит в точку г = 1 на вещественной оси г-плоскости. При движении точки р-плоскссл1 вдоль оси 1в (т.
е. при а = 0) соответст- вующая ей точка г-плоскости описывает окружность единичного радиуса. Олин полный оборот радиуса-вектора соответствует изменению частоты оо в интервале оо, ч.. оо ( оо, + 2н/Т. При движении точки р, вдоль оси йо в пределах от — (оо до (оо точка г, описывает бесконечно большое число окружностей. Таким образом, взаимно однозначное отображение р на г существует только для полосы р-плоскости между ~ЫТ. Внутри этой полосы левая полуплоскость отображается внутрь единичного круга. Все параллельные полосы такой же ширины соответствуют этому же кругу. Правая полуплоскость р преобразуется во всю г-плоскость, исключая единичный круг.
!39. Л-НРЕОБРАЗОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ ФУНКПИЙ Основываясь на приведенных в 4 !3.5 дискретных преобразованиях Лапласа, составим аналогичные выражения для г-преображований, подставляя еот = г. Выражение (13.15) принимает вид 8(г)=8т(р),„= ~Р з(йТ)г-о, (13.48) 7 * о=о называемое п р я м ы м г-преобразованием. Найдем функпию 8 (г) для некоторых простых временных функпий зт (О. 1. Последовательность выборок из сигнала з(1) = 1, ( э О. В этом случаев (АТ) = 1, й = О, 1„2, ..., оо, и в соответствии с (13.48) оо ОО 8(г) = ~~' з(ЙТ) г-о= ~~)' г-о= — — = ~ . (13.49) 1 — г ' г — 1 4=0 о о Нуль го = О, полюс г = !.
2. Последовательность выборок из сигнала з (О = е ", 1> О. В этом случае з (йТ)=е — 'т и 8(г) = ~" е- ~тг-"= ~ч'„(е- та-')" = о-о о=о (13.50) Нульг,=О, полюсг =е 3. Последовательность выборок из сигнала з(0) = а, () О, а~ 1. В этом случае з (лТ) = а'"т и паэт г — о ъ~ (пот г-1)о— о=о о=о (13.51) Нуль г,=0, полюс г,=а т. 4. ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ ВЫбОРОК ИЗ СИГНада И(7)=СОеи7Е Т, !)О.
В этом случае з(йТ) =Чгетв ат+т(,е — '"" ат и О(2) = ~~~ созотеиТг = — э (етв,та-т)а а-о 2 ви а=о + — Х (е-7втг и — ! + 1 1 2 2 ! Е7ВтТ г-1 2 ! Е-тетт г т .(13.52) гт (1-е-и тг-т)+(1-ев тг"') г(г — соавот! 2 га — 2гсо во Т+! га — 2гсоав„7'+ ! НУли: гм — — О„геа= соз о7рТ, полюса: гиты=сои итеТ ~- 7 3!77отОТ (йт) . агт Ф Ф Рис. !З.Ю. Положение нулей н полвсои на г-плоскости лли: — аа7 иаТ е! .тат! т, т Н аа; а! «!ат7=СВ.В„аг7 а! т<ат>=»7ЕВ,аг 5.
Последовательность выборок из сигнала г(()=з!п ота(, 1..»0. В этом случае а(ЙТ) =(1/3() евчат — (1Ще-7в ат и $(г) = ~ и!по7е(7Тг-а —.— — '~' (е' ' г ')ив 1 З е=о а=с 2: вв гт — 2г соева 1+! ' !=а Нуль г, = О, полюса: гот,а = соз етеТ ~ ! з!п отеТ. Положение нулей и полюсов для приведенных выше пяти сигналов показано на рис. 13.20.
Отыскание оригинала, т. е. функпии ит (0, по заданному изображению 3 (г) производится с помощью обратного г-преобразования. которое получается подстановкой еат = г в выражение (13.16) С учетом соотношения Те>'га>р =- >[г это выражение приводится к виду зг(() = ф 5(,),~цг-плг Х Т 2я> ! ~ >=- ~ат (13.54) Интегрирование ведется по окружности радиуса г = е'", в которую преобразуется прямая о = с из плоскости р = и + >е>. Постоянная с определяется из условия, что все полюса подынтегральной функции находятся внутри круга радиуса г = е'г.
Обход контура — в положительном направлении (против часовой стрелки). Изменению частоты от — со до со соответствует бесконечное число обходов контура интегрирования. По аналогии с выражением (13.!9) значение импульса з (пТ) в точке 1 = пТ [без множителя 5 (1 — пТ)1 можно определить с помощью более простого выражения а(пТ)= Т вЂ” ' ~ 5(г) г" — '= — ' ф 5(г) г>" — и бг 2>и > Тг 2з> ! г >=и> ! г >=е~т (13 55) в котором подразумевается один обход контура интегрирования. В рассмотренных выше примерах функций К (г), обладающих полюсами на окружности единичного радиуса [при з(АТ)= 1, соз е>„йТ, >йп >зоиТ[, постоянная с ) О может быть сколь угодно малой величиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
