Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Это противоречие проявляется особенно существенно при дискретизации относительно коротких импульсных сигналов. Пусть задан сигнал з(!) длительностью То и, строго говора, с бесконечно широким спектром Б (оо). При выборе шага дискретнзации Т на основании теоремы Котельникова (см. 2 2.! 4) возникает'неопределенность в оценке величины со — граничной частоты спектра сигнала.
Выбор этой частоты определяет шаг Т = пlы, а при заданной длительности сигнала Т, число дискретных отсчетов Ф == = Т,/Т = Т,оо йь Для восстановления сигнала в континуальной форме требуется фильтр с полосой прозрачности 11о( = оо (см. $ !3.3). для упрощения анализа исходим из идеального фильтра с АЧХ 1 1 при )оо! ( оо , К (1в)= ~ О при )оо(=э со Фазочастотная характеристика подобного фильтра в полосе прозрачности линейна н вносит лишь задержку сигнала, которую дальше учитывать не будем. Фильтр с указанной выше полосой пропускания подавляет составляющие спектра Я (оо) с частотами оо, превышающими оо .
Поэтому под ошибкой, погрешностью дискретизации можно подразумевать функцию времени, соответству1ощую отсекаемой части спектра. Обозначим эту функцию Лз (!). Тогда 60 Лз(г) =- ! ( 3(оо) е' ос(1о+ — ! Ь(1о) е' "Фо. 2о,) 2в Проилл1астрируем это выражение на примере простого сигнала в виде импульса прямоугольной формы (рис. 13.9, а). Спектральная плотность этого сигнала о (!), равная (см. (2.68)1 ап (соТ~/2) ага(2 является четной функцией оо.
Поэтому выражение для Лз (!) легко привести к виду Ь (() г 3!пв !+ 0 Ды — г — з!п1о ~~1+ — )оЬ— о ь)д„.~) — ' ~ю(~-ь)~~. о о Учитывая известные соотношения мпох „! / л/2 при о)О, !=/ 1 — и/2 при а(0, е приходим к следующему результату! — !~и — з! — !1+ — ~~ — з! — '11 — — 1! при~/!( —. А ! .шш Тс Г 2!т ° шшТс Г 2!тт Т, и ~ 2 ~ Т,) г ~ ТЛ 2 и '(1+ — ) — и — ~1 — )1 при!г(=» —.
й (/)= рис. !33. Искажение формы нмпулнса при усеченни его спектра граничной частотой 2/„Тс=!6: с — исксхиии ииигхяс; б — иясря1ясиис сшибки; в — исси~иссиня иииухяс. лх а!и ах В этих выражениях з! у = ! б!х — интегральный синус. а х Пусть для дискретизации импульса отводится /и' отсчетов. Тогда Т = Тс//у; гош = и/Т = ай//Т„го„Т,/2 = /уп/2 и предыдущее Определение оригинала, т. е.
функции зг (!), по заданному изображению 8г (р) можно осуществить с помощью о б р а т н о г о дискретного преобразования Лапласа, которое записывается в обычной форме »+ ь» з(/)= — ~ 8г(р) е 'йр. ! 2я/ (13.16) совпадакицей с (2.107). Покажем, что подстановка в (13.16) 8г (р) по формуле (13.15) приводит к требуемому результату: с+»»,» »+! — а ~~ з(РТ) е — »игами, ~ з(йТ) ~ еРФ вЂ” ьг~ДР 1 2Ф '2л! х=о С-" 300 Учитывая (см. также табл.
2.1), что при с -» 0 »+ ໠— ( еР'др-э — ( е'мг/о=5((), (13.17) 2гн 2л правую часть предыдущего выражения нетрудно привести к виду С» ~ а(лТ) 6'(! — И~Т) =зг(!), (13.18! совпадающему о (13.2). Таким образом, убеждаемся, что выражение (13.16) определяет всю последовательность выборок сигнала з (/). Для определения одной л-й выборки з (п7), без множителя 6 (! — пТ), можно применять более простое выражение с+»ы з(п7)=Т вЂ” ~ $г(Р) е~'"г ПР, 1 2гн » — амт (13. 19) »+ сазт .~ о-т — !" т, вт> -~ )ю ир= 1 2гд с — сч/г а+ амт ! =Т ~~ з(АТ) — ~ еи"-югг(р.
ЭМ а=а с — амг (13.20) в котором интегрирование ведется в пределах одного частотного интервала сл — и/Т до и/Т. Действительно, подставив в (13.19), как и ранее, Ьг (р) по фоР- муле (13.15), получим Вычислим интеграл а+ ч/г чгт 1 1 ~зм мт г)р егв ьт ~ ~в~, вп ( 2а. вв в-жгт -йгт 1 (13.21) я (в — «)т Прн и = л зто выражение равно в'Т, а при и -ь Ф вЂ” нулю. Следовательно, в правой чаати (13,20) остаетоя одно слагаемое в (лТ) =* = в (лТ). В тех влучаях, когда дискретная последовательность вг (() не равна нулю при отрицательных индексах Й, приходится применять а в у а т о р о н н е е дискретное преобразование Лапласа.
По аналогии с выражениями (2. 108), (2.112) и (2.114) представим его в форме 8г (р) = ч" в(АТ) е-™ -(- ~ч в(АТ) е-овг — в(0), (13.22) где в(О) компенсирует учет индекса в 0 я обеих суммах. Положив во второй сумме 1г = — т, получим ~~ в(ьТ)е-вы 1 ~~ в( лг7)евт2 в(01 в=г Ш— =8г+ (Р)+8г- (Р) — в(О). (13.23) В частном случае, при четной функции в (1), когда в ( — глГ) = *= в (глТ), имеет место аоотношение, аналогичное (2.! 16)1 8 — (р)=8-+ ( — р).
Тогда 8г (р)=8г+ (р)+ 8гч. ( — Р) — в(0) = ~~ в(И 1е вг. (13.24) В выражениях (13.23), (13.24) 8г+ — одностороннее преобразование, определяемое выражением (13.15). Нетрудно определить область сходимоети ряда (13.23). Эта область представляет собой полосу. ограниченную значениям и и о, (см. $2.13, рис. 2.33). Последние определяются свойствами непрерывного сигнала, из которого получены дискретные последовательности при 1'» 0 и 1(0, 136. пеиедлточнля Фуик11ия дискРетнОГО ФильтРА Вернемся к схеме на рис. !3.2 н составим выражение для передаточной функции дискретного фильтра в вндв отношения (~г (Р) = 8~ (р)18в (Р) (13.25) и з „= ~чР а«з[(п — й) Т[6(~ — пТ), «-о (13.26) где Н вЂ” число запоминаемых и фактически суммируемых предшествукхцих импульсов входной последовательности (т.
е, число элементов памяти Т на рис. 13.5). Полная последовательность выходных импульсов ОО зт ° .Я= ~ч; з„„„=а,з(0!)6(!)+[а,з(Т)+а,з(0))6(1 — Т)+ ,!=о + [а з (2Т) + а, з (Т) + а, з (О) 1 6 (г — 2Т) + ... = =ар ~ з(пТ)6(1 — пТ)+а, ~"„зНп — 1)Т[6(1 — пТ) +...+ п=« л=! +ан ч,; .[(и — О)Т)6(1 — пТ). (! 3.27) Первая сумма в правой части этого выражения (с коэффициентом а,) есть входная импульсная последовательность (13.2), вторая— та же последовательность, задержанная на время Т, третья — на 2Т и т.
д. Следовательно, преобразование Лапласа от выражения (13.27) будет Бт ° ° (р)=п«8т(р)+и! 8т(р) е — 'т+а„8т (р) е-т«т+ п +ое8т(р)е — пот 8т(р) ~~ а„е — ««т (13 28) «=я Разделив выражение (13.28) на Бт (р) и учитывая (13.25), получим Кт(р) = ~ а«е — «"т. (13.29) Приравнивая р = !в, находим передаточнуюфункцию какфункцию частоты сс [Ст(1!э) = ~ч"„а«е-т«т. (13.30) «=О Здесь Бт (р) и Ят „(р) — рассмотренные в предыдущем параграфе изображен и я по Лапласу соответственно для дискретных входного и выходного колебаний. Первая из этих функций определяется односторонним преобразованием Лапласа (13.15).
Для составления аналогичного выражения 8т,„„ (р) необходимо задать алгоритм работы счетного устройства. Рассмотрим сначала более простой фильтр, в котором не используется обратная связь. В соответствии с выражениями (13.5'), (13.6), а также со схемой на рис, 13.5 импульс з„„„на выходе в момент 1 =- пТ Гтт е>т -[од [у а>[[ с[т я>т Ь~ 7 г т Я ~ Ряс. 13.10. Амплитудно-чвстстиея характеристика дискретного фильтря. Нетрудно убедиться в периодичности функции Кт (ив).
Действительно, добавив к аргументу ю величину п2п!Т, где п — любое целое число, и учтя, что е-'""Я" = 1, получим и Кт([([о+п2п/Т)]= >; а„е — [ь['"+'[ъит>т= ь-о и аь е и тЕ- выл=К>[ (йо) ь=о Передаточную функцию дискретного фильтра можно записать в форме' Кт (йо) = ~в~ ~К ~[ (ю — и — Я1, (13.31) где К ([ю) — передаточная функция того же фильтра в отсутствие дискретизации входного сигнала. Выражение (13.31) аналогично выражению (13.10). Таким образом, передаточная функция дискретного фильтра имеет периодическую структуру, так же нак и спектры входного йт (йо) и выходного 3> „, (йо) сигналов.
Это положение иллюстрируется рис. 13.!0 для фильтра нижних частот, на вход которого подается гармоническое колебание з (1) = А, соз юо) со спектральной ю А, [6 [ —,[.> [[ >,>[. В [~з.ь[ у . Р г Фю к импульсной характеристике дискретного фильтра. Последнюю нужно предстввить в виде вырвження т Я д(и7') о» вЂ” ят\, *=о ю>торов отлнчвется от (13.7) множителем 7[. необкоднмым для восстановления трееуемой рввмерности и нормирования (см. сноску вв с. 479).
Выражения (13.29), (13.30) вытекают и непосредственно из эквивалентной схемы, представленной на рис. 13.5. При этом предполагается, что коэффициент передачи сумматора Х равен единице. Подбором постоянных а„аи .... аи можно синтезировать'фильтры с различными амплитудно-частотными и фазочастотными характеристиками. Сплошной линией показана амплитудно-частотная характеристика фильтра в центральном интервале ( — сат/2, сот/2).
После преобразования дискретного сигнала в непрерывный (с помощью синтезирующего фильтра, изображенного на рис. 13.1) только этот частотный интервал и определяет спектральный состав выходного сигнала. лхутла! т аа -Ил/У -1ал,УУ Рнс. 13.!1. Дискретный фильтр первого порядка (а) н положение нулей пере- даточной функции нв йнплоскостн при а~ О (б) и а~~о (и). По передаточной функции Кт (р) можно найти изображение по Лапласу Ьтеых (р) = Ят (р) Кг (р), а затем с помощью обратного преобразования Лапласа и выходной (дискретный) сигнал х+ Хы ! Нт еых (1) = .
~ 3т вы» (Р) Е'" ттр. (13.32) 2хп с — хя Поясним применение приведенных выше ссютношений для простейшего фильтра первого порядка, изображенного иа рис. 13.11, а. Импульсная характеристика подобйого фильтра представляет собой пару импульсов (см. выражение (13.7)1 ат (1) = п 6 (() + аьб (! — Т). П 3.33) а алгоритм вычислительного устройства в соответствии с выражением (13.2б) ,, „= ~ч', пи з((п — ц) Т)б(! — пТ) = (апз(пТ)+ е-е +а! з((п — 1) Т)) б(1 — пТ). Указанному алгоритму соответствует передаточная функция Кт (р) = ае + ате-ж. (13,34) (Этот результат мох!но получить и непосредственно из выражения (13.29).) Нули передаточной функции на р-плоскости определяются ках корни уравнения а, + а,е — аг = О или еш = е тент = — а/а.
— а. Обозначив корни выражением ро = — о, + гв,, получим е ""' е ам = — а/а, откуда вытео„тем т кают равенства г Л' е" =) — а,/г!е), о о т от ! = — !п) а,/а, 1; т йг де йр во Т=-агй( — а„/а,)+Оп2п, где т — любое целое число. Коэффициенты а, н а, — вещественные числа, причем условимся считать а, О. Тогда при а, <; ( О ага ( — аг/ао) = О и во = гп2и/Т.
При а, ~ О агй ( — ад/ае) = и и сое,„= (2гл + !)н/7'. Указанные значени я в, совместно с о„и определяют положе. ние нулей передаточной функции при а, ( О н при а, ~ О (р! го Ф ) Из выражения Кт ((в) . аа + а,е (13. 35) Рнс. !3.!2. Амплитудно-кастетная карактернстнка шгфроаого фильтра перно|о порядка (см. рнс. 13.!1, а). Кт (в) = р ао+а)+ 2а„а, соз вТ= по+а(+2а а,соз(2п в 1 (13.3б) н для фазочасготной характеристики гр(в)= — агс1й "" = — агс1п "'' ( — "'! — .
(13.37) оа+ог соа гоп оа+ гч соа (2пю/вг) В этих выражениях в, = 2л/Т = 2п/, — угловая частота повторения импульсов при дискретизации сигнала. Амплитудно-частотные характеристики при нескольких значениях ат представлены на рнс. 13.12. Вне частотного интервала О, в, характеристики должны быть продолжены периодически. Из Рис- 13.12 видно, что при а, = — 1 и ао = 1 фильтр можно использовать для подавления колебаний с частотами в = О, в = в„ в = 2в„г.., а при а, = 1 для подавления частот О,бв„1,5в,, 2,5в„ Подобные фильтры часто называю! гребенчатыми р е ж е к т о рз ы м и фильтрами. получаемого заменой в (13.34) р на !в, нетрудно вывести формулу для амплитудно-частотной характеристики !зд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
