Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 81
Текст из файла (страница 81)
1о.3, б эта мощиость определяеюя плошал.,ю (заштриховаииой) под кривой (Г,н, (в) = Кз (ы) 1е' . (Для иаглядности характеристики иа рис. 12.3 построены в предположении, что АЗ(О> = Ц Ослабление сигнала из-за неравномерности характеристики К (ы) выражено в меньшей степени, чем ослабление шума, поскольку уменьшение К (ы) имеет место для спектральных составляющих, вклад которых в величину пика сигнала сравнительно мал. В результате получается ослабление шума относшлельно сигнала. й сочетаиии с фазовой коыпеисацией спектра сигнала (иа дисперсию выходного шума эта компенсация ие оказывает влияния) это и приводит к иаксииизаиии отношения сигнал — помеха на еьиеоде фильтра. пьз.
кмпкльсидя хдидктвииотидд согллсовдиного дпльтил. Физическая Осушвствимость Тот факт, что коэффициент передачи согласованною фильтра ц ((ы) является функцией, сопряженной по отношению к спектру сигнала $ (ь), указывает иа существование тесной связи также и между временными характеристиками фильтра и сигнала. Лля выявления этой связи найдем импульсную характеристику согласованного фильтра. Применяя выражеиие (5.28) и учитывая формулу (12.16), получаем СЮ ОО п(1)= — ~ К (йо) енм ~йо = А — ~ 9" (со) ен0и-'и с(ьт. (12.Ю) 1 зн зн Учитывая, что Я* (ы) = 8( — ы) и переходя к новой переменной в, = — ы, переписываем выражение (12.20) следующим образом: д(~) —.— — ~ Я(сь,)е-'ььи "1йо,=А — ~ 8(а,)еь а псйьи ! (12.21) Правая часть этого выражения есть ие что иное, как функция Ае ((ь — г).
Следовательно, если задан сигнал з (г), то импульсная характеристика согласованного (оптимальиого) фильтра а(1) определяется как фуикция а(() = Ае(1ь — 1) (12.22) Построение графика функции з (го — () показано на рис. 12.4. Кривая з ( — 1) является зеркальным отражением заданного сигнала з (г) с осью ординат в качестве оси симметрии. Функция же з (1, — 1), сдвинутая относительно з ( — г) на величину (е вправо, также зеркальна по отношению к исходному сигналу з ((), но с осью симметрии, проходящей через точку (о/2 на оси абсцисс.
На рис. 12.6 показано аналогичное построение для случая, когда отсчет времени ведется от начала сигнала. Поскольку импульсная характеристика физической пепи не может начинаться прн 1 ч. О [отклик фильтра не может опережать воздействие б (1)), то очевидно, что задержка йи фигурирующая в р(гу га с Рис. !2.4. Построение функции, аер- Рис, 12д.
Построение импульсной на- кальной по отношению к сигналу. рактеристики согласованного фильтра. выражении (12.16), не может быть меньше, чем Т,. Только при ге ) ) Т, может быть использована вся энергия сигнала для создайия наиболыпего возможного пика в точке ( = 1о. Ясно, что увеличение 1 сверх Т, не влияет на величину пика выходного сигнала, а просто сдвигает его вправо (в сторону запаздывания). С другой стороны, условие 1, ) Т, накладывает на сигнал з(() требование, чтобы длительность еао Т, было. конечна; только в этом случае при конечной величине задержки 1 можно реализовать пик сигнала.
Иными словами, применение согласованной фильтрации для максимизации отношения сигнал — помеха в описанном выше смысле возможно при импульонол сигнале (а также ограниченной по продолжительности пачке импульсов). Обратимся к вопросу о физической осуществимости согласованного фильтра.
Пусть задан произвольный сигнал з (1), которому соответствуют импульсная характеристика согласованного фильтра о (1) и фурье-преобразование от этой функции К ((ш), определяемые :оответственно выражениями (12.22) и (12.16). Возникает вопрос, при каких условиях К ((о) может являться передаточной функцией $изичеаи~ осущесташиого четырехпол>оснаиа. Ответ на' этот вопрос дает критерий осуществимости Пэли— Винера, согласно которому неравенство ь рпо'м! г!ш ~ со (12.23) 1+ю" о является необходимым условием, чтобы положительная функция К (м) могла быть модулем передаточной функции пассивной электической цепи.
Так как в рассматриваемой задаче К (па) =- АЯ (па) см. (12.19)1, то условие (12.23) можно записать в виде' )1п 5 (и) ! а1ао ( сс, 1+а а (12. 24) т. е. необходимо, чтобы интеграл (12.24) сходился. Нуи1но подчеркнуть, что условие (12.24) является необходимым, но недостаточным, По существу, условие (12.24) сводится к требовани1о, чтобь! длительность сигнала з (О была ограничена. Так, например, при спектре сигнала, определяемом выражением (2,82) !см.
рис. 2.20, б), функция времени з(0 неограничена во времени и такова х1е требуемая импульсная характеристика согласованного фильтра д(() = А з((а — (), которую невозможно реализовать. Интеграл (12.24) в этом случае расходится, так как вне интервала ( — са, ы ) функция 3(аэ) равна нулю„а! (пЯ(са)( обращается в бесконечность. Хотя критерий Пали — Винера оставляет открытым вопрос о структуре цепи, из пего вытекают некоторые полезные следствия о свойствах осушествимых цепей.
В частности, из него следует, что АЧХ К(ы) долакна быть интегрируемой в квадрате, т. е. ) К' (а)а(аа сс. Далее, АЧХ К(па) может быть равной нулю только на некоторых дискретных частотах, но не в конечной полосе частот. Действительно, если в полосе ы, ( ( ы С ааа функция К (аа) = О, то (1пК (м) ! обращается в бесконечность и, как об этом уже упоминалось выше, интеграл расходится, т. е. условие (12.23) не выполняется. Из этого следует, что фильтры с П-образной АЧХ нереализуемы, хотя практически можно получить характеристики, очень близкие к идеальным. Очевидно также, что передаточная функция К (ьа) = Ке— аа а О, реализуема, так как (!и К (ап) ! = ) )пК вЂ” апа) растет медленнее, чем знаменатель в (12.23), т.е.
условие (12.23) выполняется. Гауссов же фильтр с передаточной функцией К (са) = Ке — '~* не реализуется, так как )!п К (ы) ( = ( !и К вЂ” асоа( растет с увеличением «а с такой исе скоростью, что и знаменатель в (12.23). 124. СИГНАЛ И ПОМЕХА НА ВЫХОДЕ СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА Для определения формы сигнала на выходе используем общее выражение ) ааааа 1""а . а Подставив в него соотношение (12.16), получим в„,„(1) = А — ~ 8 (ь! Ь* (а) е- хн енн й!о =- ! ! =А — ( Эв(а) е' и-и'.но.
зн,) (12 26) Прн ! = 1, это выражение переходит а ввых (!о) = АЭ» (12.26) где Э вЂ” энергия входного сигнала, С другой стороны, из первой части соотношения (12.26), в которой фигурирует произведение спектральных плотностей 6 (оо) н 6* (ь) е — '"", вытекает, что з,„х (!) можно представить как свертку следующих двух функций времени: з (!) н в ((о — 1). Таким образом, звих Ц)=А ~ в(! — х)з(го — х)йх. Сделаем подстановку ! — х = у, 1, — х = у — (! — 1о) Тогда з,„„(1)=А ~ в(у)з(у — (г — !о)) йу. (12.27) Нетрудно видеть, что интеграл в правой части этого выражения есть не что иное, как корреляционная функция входного сигнала В, (1 — то).
Таким образом, приходим к важному выводу, что в „(1) = АВ, (! — го). (12.28) Итак, сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до постоянного коэффициента А совпадает с корреляционной 4уннх!ией входного сознала. Для построения графика функции в,, Я по заданной функции В,(т) достаточно в последней т заменить ! — 1, (и учесть коэффициент А). При ! = !о, т. е. при т О, величина В, (О) равна энергии сигнала. Следовательно, как н прн спектральном рассмотрении, пиковое значение сигнала !см.
(12.26)1 звых ((о) = АВв (О) = АЭ. Рассмотрим теперь параметры и статистические характеристики шума на выходе согласованного фильтра. При действии белого шума с нормальным законом распределения (именно такой шум и представляет основной интерес для практики) распределение шума на выходе линейного фильтра остается нормальным. Энергетический спектр шума на выходе, как это ясно из (7.1) и рис.
12.3, равен йг„,„(ов) = К' (во) Н7о. Следовательно, корреляционная функция шума на выходе согласованного фильтра 8,„„(т) = — (р,„,(во) е "ввтов = —" ( Ко(оо) ев ~втво. вв Подставляя К (ы) = А5 (ов) и учитывая выражения (12,25) и (12,28), в которых обозначим 1 — 1, = т, получаем вуо„,(т)=А'(Р— ~ 5'(во)е™мпво=-А(Роз„„(Г,+т)= ! =А(Ро А)3в(т) =,1 й о Вв(т). (12.29) Отсюда следует, что корреляционная функция шума на выходе согласованного фильтра по форме совпадает с корреляционной фуп кцией входного сигнала (и, следовательно, с выходным сигналом), Приравнивая т = О, находим дисперсию (среднюю мощность) шума на выходе )Ч = Ввысь (0) = А'~'оВв (0) = А'йтР (12.30) Составим отношение пикового значения сигнала з, (1) к средне- квадратическому значению шума $~ )о, В соответствии с формулами (12.2б) и (12.30) зоил ((о)) Р ~~ = АЭ)А'~~~о~ = 1 ~l ~о (12.31) Итак, при белом шуме отношение сигнал — шум на выходе фильтра, согласованного с сигналом, зависит только от энергии сигнала и энергетического спектра шума Ято.
Из этого заключения следует, что при заданных энергии и ширине спектра сигналу можно придавать различную форму, выгодную для решения конкретной задачи. Так, для повышения скрытности передачи целесообразно удлинЯть сигнал пРи соотаетствУющем Уменьшении амплитУды (А в Тв = = сопз1). Это приводит к уменьшению отношения сигнал — помеха на входах любых радпоприемиых устройств, что затрудняет извлечение информации из смеси сигнал + шум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
