Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Поэтому даже идеальный фильтр с П-образной АЧХ фактически не согласован с сигналом и помехой и не дает на выходе максимально возможного отношения сигнал — помеха. Коренной перелом в теории и практике линейной фильтрации связан с появлением работ Н. Винера, А. Н. Колмогорова, В. А.
Котельникова и других ученых, которые поставили и решили задачу синтеза фильтра, оптимальнойи„Ф, го по отношению к заданному сиг- налу, действующему на фоне помехи огих от с заданными статистическими харакРис. 12.1. Воздействие сигнала теРцстиками. и иоисхи иа лиисяима чюнрсх- В зависимости от того, какая из лолвсиик. перечисленных в предыдущем пара- графе задач решается, критерии оптимальности могут быть разными. Для задачи обнаружения сигнала в шумах наибольшее распространение получил критерий максимума отношения сигнал — помеха на выходе фильтра. Фильтры, отвечающие этому критерию, называются согласованными. В настоящей главе рассматриваются только такие фильтры.
Требования к фильтру, максимизирующему отношение сигнал— помеха, можно сформулировать следующим образом. На вход линейного четырехполюсника с постоянными параметрами и передаточной функцией К (йо) подается аддитивная смесь сигнала з(г) и шума п (1) (рис. 12.1). Сигнал полностью известен; это означает, что заданы его форма н положение на оси времени. Шум представляет собой вероятностный процесс с заданными статистическими характеристиками. Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий получение на выходе наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению шума. При этом не ставится условие сохранения формы сигнала, так как для обнаружения его в шумах форма значения не имеет.
Для уяснения сути согласованной фильтрации сигнала сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда на входе фильтра с равномерной АЧХ имеется один лишь полезный сигнал з (1) с известным спектром 8 (ы) =- 3 (со) е""'"'. Требуется найти фазочастотную характеристику фильтра, при которой обеспечивается максимизация пика сигнала на выходе фильтра. Напомним, что спектральная плотность Я (со) сигнала полностью определяет его энеР- гию 3.
Любое изменение фазовых соотношений в ~пектре не оказывает влияния на энергию сигнала (см, 5 2.8), Поэтому поставленная выше задача равносильна задаче максимизации пика сигнала при заданной энергии входного сигнала. Представим выходной сигнал в виде авых(г)= — 1 Я(щ)К(йы)е™ сч 1 (12.1) где К (йв) =-- Ко е"~с" (12.2) — передаточная функция неминимально-фазового четырехполюсника с искомой фазочастотной характеристикой ~рк (ы) и с равномерной амплитудно-частотной характеристикой К, = сопз1.
Таким образом, л ч"' + "к'ез Ко '"~'+'Ч"'+та'"ц 0 "с(м) лм о ) 3(и)е' ь к Ди„ тл (12.3) Основываясь на очевидном неравенстве з Ь ~ Р (х) 4х ~1 Р (х) ( с(х (12А) 1 не~+э (в)+ч (ая ! и учитывая, что (е ' к 1=1, можно составить следующее неравенство: бм (() «( — ~ ( Б (Сэ) ( сй0. 2л (12 5) ~о О+тв + ~к~ з, „„„„,(()=-.з,,(д)= " ~ Я(м)е ' " йя, (12.5) а условие обращения неравенства (12.5) в равенство сводится к следующему: ы,~ + ф, (ю) + ~рк (м) = 0 илн ц,(ю) = — (ы, (ю) + ю(„1.
(12.7) Это неравенство определяет верхний предел мгновенного значения колебакия з, , (г) при заданном спектре входного сигнала. Максимизация пика выходного колебания получается при обращении неравенства (12.5) в равенство, а для этого необходимо, как это вытекает из сопоставления выражений (12.3) н (12.5), обеспечить определенное соотношение между фазовой характеристикой фильтра (рк(<о) и фазовой характеристикой спектра ~р, (в) входного сигнала. допустим, что выходной сигнал достигает максимума в момент ч (пока еще неопределенный).
Тогда выражение (12.3) дает Это соотношение можно назвать условием колгпенсации начальных 4аз в спектре сигнала. Действительно, первое слагаемое в правой части (12.7), равное — гр, (го), компенсирует фазовую характеристику гр, (го) входного спектра $ (го). В результате прохождения сигнала через фильтр с фазовой характеристикой грк (го) сложение всех компонентов спектра, скорректированных по фазе, образует пик выходного сигнала в момент времени Связь между фазовой характеристикой гв, (го) входного спектра, компенсирующей ее характеристнкой — гр, (го) и полной фазовой характеристикой фильтра <рл (го) = г т = — (гра (гд) + гает ] поясняется и рис. 12.2.
После прохождения через фильтр спектр выходного сигнала будет иметь фазовую характеристику е Ч, „ы, (ге) = гое (го) + грк (го) = уга = ~Ре(го) + ( гге(<4 гота] = готе~ (12.8) показанную на том же рисунке. -ыг =р Смысл и минимально возможное а гаЬх значение ге подробнее рассматриваются в следующем параграфе, однако из Рас. 12.2. Соотношение между фазовыии характеристиками простых физических представлений спектра сигнала на входе и вы- очевидно, что для образования пика ходе согласованного фильтра. требуется использование всей энергии сигнала, а это возможно не ранее окончания действия входного сигнала.
Иными словами, задержка не может быть меньше, чем полная длительность сигнала. Введем теперь а рассмотрение помеху на входе фильтра. При равномерном энергетическом сгектре помехи (белый шум) ]и' (гв) = = ]ге = сопз( — фильтр с равномерной АЧ Х совершенно неприемлем, так как мощность помехи на выходе достигает очень большой величины (теоретически бесконечно большой). Для отыскания оптимальной передаточной функции, максимизиругощай огппошенае сигнал — помеха на выходе фильтра, составим выражения для снг ~ала и шума сначала отдельно, а затем в виде их отношения.
Пиковое значение сигнала определим выражением з„„и„„, (г) =3,„, ((о) = — ] Б(го) К (йо) е "" г(го. (12.9) Срсднеквадратическое значение помехи на выходе фильтра о = Ь вЂ” 1 ]Р (го) Ка (го) ~1го = 1! — ' ) Ка (го) где и 2л г' 2и Следовательно, отношение пикового значения сигнала к средне- квадратическому значению помехи на выходе фильтра ! 1 — ) Я (в) К ((в) е'вй он 2а,1 (12.16) ( — ') [(к'| >а~ Воспользуемся известным неравенством Шварца ! б р б б ~ Г, (х) Г, (х) б(х~ ( ~ ( Г, (х) )б г(х ~! Го (х) (о б(х, (12.11) а а а т.
е. когда Г, (х) пропорциональна функции, комплексно-сопряженной Г, (х) (А. — произвольный постоянный коэффициент). Используя обозначения выражения (12.9), приравнивая 8 (в) = = Г,(бв) и К (йо) е' " = Га (йо), можем переписать вырангение (12.11) в форме — [ $((а) К (йо) ебвн йо — [ За(о) бйо — [ К'(оз) бра. ! 1 2д 2н . 3 (12.13) Следовательно, определяемая выражением (12,10) величина з,, ((о)/о отвечает условию ФО аа 1 тз 2а а 2оо д бава ((о) с в 5о (в1 ав — ( 1(о (о>) б(в ОО < о (Го — д"' (в) ав 2а ~ )/1~р [ 2а 1аэ (12.14) Учитывая, что аыраакение в квадратных скобках есть не что иное, как полная энергия входного сигнала 3 (см. (2.66)1, запишем последнее выражение в форме аа (Я(о ()/37%„.
(12.16) где Гб (х) и Г (х) — в общем случае комплексные функции. Это неравенство обращается в равенство только при выполнении условии Г, (х) = АГ; (х), (12.12) Наконец, из выражения (12.12) следует, что это неравенство обращается в равенство при выполнении условия К (1го) е' 'ь = АЗе (го), откуда К (!го) = Абв (го) е-'"" .
(12.16) Полученное соотношение полностью определяет передаточную функцию, максимизирующую отношение сигнал — помеха на выхода фильтра. нв)„а~=- кггм !гг Рис. !2.3. Спектральная плотность сигнала н Аг!Х соглвсоввнного фильтря (а) и энергетические спектры нв входе и выходе (6). учитывая, что я (го) = 3 (го) ело""', а комплексно-сопряженная функция Б* (го) =Я (го) е вв'"', перепишем выражение (12.16) еще и в такой форме: , К(ио)= К(со)е " =АЗ(от)е ', (12.17) Из этого соотношения вытекают два условия д,пя фазовой и амплитудной характеристик согласованного фильтра: грк (ы) = — (р. (го) + го(ч), К (оэ) = АЯ (го). В тех сдучаях, когда под комплексной передаточной функцией подразумевается безразмерная величина (например, отношение комплексных амплитуд напряжения на выходе и входе), коэффициент А должен иметь размерность, обратную размерности спектральной плотности сигнала.
Соотношения (12.18), (12.!9) имеют глубокий физический смысл. Первое из ннх, совпадающее с (12.7) и определяющее компенсациго начальных фаа в спектре сигнала, было истолковано выше. Соотношение (12.19), устанавливающее, что модуль передаточной функции К (го) должен по своей форме совпадать с модулем спектральной плотности сигнала 5 (го), также легко поддается физическому истолкованию. При АЧХ К (го), отвечающей условию (!2.!9), фильтр пропускает спектральные составляющие шума неравно- мерно, с тем большим ослаблением, чем меньше модуль 5 (ы). Это приводит к существеииому умеиьшеиию мощности шума иа выходе фильтра. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
