Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 75
Текст из файла (страница 75)
111. Таким образом, Ва (т) =а 01 1(1 А2) + 3) я) а1 о( + 2а) о4 Я~ (т) =а3 о,"+2а)В;(т), (11.13) Здесь использовано известное соотношение (г (т) = В„(т)/ г) (при (х) = О). Представляя корреляционную функцию узкополосного процесса в форме (4.76) и учитывая, что В) (т) = о1 1(о (т) ( /з + Ч2 соз 2с1от)г (11 ° 14) где Й, — огибающая корреляционной функции узкополосного про- цесса, записываем выражение (11.13) в окончательном виде Ву (т) =-а3 о~~+а$ ах )1о (т) +а$ ох йа (т) соэ 2ьЬТ. (11,15) Применяя затем преобразование Фурье, получаем общее выражение для энергетического спектра процесса на выходе квадратичного элемента (при нормальном процессе на входе): 11 д (ы) = аэ о» 2яб (ю) + а2 о~ ~ ЙО (т) е ат + +а,'о,' ~ )7э(т)соэ(2ы т)е — '~'ат=(У, (ю)+йг„,(ы)+В',„(44). (11.16) Первое слагаемое (дискретное) соответствует постоянной составляющей выходного колебания, второе — низкочастотной флуктуационной составлюощей (спектр которой примыкает к нулевой частоте) и третье — высокочастотной флуктуационной составляющен со спектром, группирующимся вблизи частоты 2ю„.
!1Л. ВОЗДЕЙСТВИЕ УЗКОПОЛОСИОГО ШУМА НА АМПЛИТУДИЫЙ ДЕТЕКТОР Амплитудный детектор, содержащий диод и фильтр нижних частот ()7С-цепь), представляет собой сочетание безынерционного нелинейного элемента с инерционной линейной цепью. Расчлсним рассматриваемое устройство на две самостоятельные части: 1) нелинейный элемент, 2) фильтр нижних частот.
Изложенные„в предыдущих параграфах методы, а также некоторые другие специальные приемы позволяют в принципе найти закон распределения и корреляционную функцию шума сначала на выходе нелинейного элемента (диода), а затем и на выходе фильтра. В общем случае эти исследования требуют весьма громоздких вычислений. Задачу можно значительно облегчить, если использовать некоторые упрошения, вытекающие из пршпшпа работы реальных устроиств. Рассмотрим сначала «линейное» детектирование, т. е. детектирование высокочастотного колебания с достаточно болыпими амплитудами. В данном случае под таким колебанием подразумевается нормальный шум (в отсутствие сигнала), сформированный избирательными цепями на входе детектора. Как и при детектировании полезного амплитудно-модулированного колебания можно считать, что напряжение на выходе линейного детектора воспроизводит огибающую амплитуд высокочастотного колебания, в данном случае огибающую шума.
Позтому при линейном детектировании иет необходимости рассматривать отдельно статистические характеристики тока диода и напряжения на выходе )гС-цепи. Напряжение и,„„(Г), развиваемое на втой цепи, можно приравнять огибающей шума на входе детектора (l (Г) (т. е. считать, что коэффициент передачи детектора равен единице). При таком подходе статистяческие характеристики шума иа выходе детектора полностью совпадают с приведенными в З 4.6 характеристиками огибающей А Я. Таким образом, приходим к выводу, что напряжение шума иа выходе линейного детектора обладает релеевским распределением: р (и ) р (А) ~вьюк е "выхl ~~в о"- (11.
17) (>( пных ( ~. По формулам (4.71) — (4.72) находим: — среднее значение (постоянная составляющая) шумового напряжения (7о (пвых (()> =<А (д)> = Уп(2о„= 1,2бо„, (11.18) — средний квадрат напряжения (11 19) (и,'. „(г)>=2о„'. Отсюда следует, что дисперсия шума на выходе линейного детек- тора овык = (иеых > (70 2о) — ох= 0,43ох (1 1.20) 2 Итак, основные параметры шума на выходе — постоянная составляющая У и дисперсия о.', — просто выражаются через дисперсию о' высокочастотного шума, действующего на входе детектора. Корреляционную функцию и зиергетический спектр выходного шума нетрудно вычислить по формулам (4.77), (4.78). В качестве примера рассмотрим воздействие на линекный детектор нормального шума х (Г), энергетический спектр которого В'„.
(ю) определяется выражением (У„(Й )=Й.„(е — ' - ~ +е + л'1, (11.21) а корреляционная функция в соответствии с (4.39) и с учетом (6) (формулы (3.896.3) и (3.896А) ОО д (т) — )У ~ е — ч (со — Яа' еьп г(м .1 1 зл С + ( е "ко+"'~яе' 'Йо)= — 'с ~94.созв„т ~/тл = а"; е-тм"-' соь в, т. (11.22) Тогда (11.23) )~о (т) = е — т94ч и в соответствии с (4.78) = — "12пб(0) -1- 1 У2лае-""*~'~ . (11.24) 2 ( 4 Слагаемое с дельта-функцией соответствует постоянной составляющей напряжения на выходе детектора.
График В'„м„(й) изображен на рис. 11.8, б. Ширяпа этого спектра в ) "2 раз больше ширины спектра йг (в) на входе детектора (рис. 11,8, а), Линейный амплитудный детектор воспроизводит огибающую узкополосного колебания, независимо от особенностей структуры его спектра. Полученный результат свидетельствует о том, что огибающая каждой из реализаций рассматриваемого шума (на входе детектора) обладает спектром более широким, чем частотная полоса ~~мой реализации. На первый взгляд это может показаться стран"ым, поскольку известно, что для модулированного колебания ширияа спектра огибающей либо совпадает со спектром самого колебания (при АМ), либо уже его (при ЧМ).
Это кажущееся противоречие легко устраняется, если принять во внимание полную корреляцию мед(ду колебаниями нижних и верхних боковых частот при модуляции. Достаточно нарупк"ть, например, симметрию амплитуд или фаз боковых частот при амплитудной модуляции, чтобы сумма трех колебаний с частотами гоа, щ, + й и гое — () представляла собой колебание, огибающая которого содержит помимо частоты а) еще и частоты 2Й, Зад и т.
д. В этом случае амплитудный детектор выделит на выходе колебание, спектр которого будет шире, чем частотная полоса высокочастотного колебания на входе. В спектре же шума нет никакой корреляции (и тем более симметрии) между спектральными составляющими, частоты которых расположены слева и справа от центральной частоты го . Естественно, что огибаюшдя каждой из реализаций шума обладает спектром более широким, чем модулированное колебание с иа той же шириной спектра. Соот! ветственио увеличивается и сред- 1 ! ияя ширина спектра огибающей 1 шума, т. е. энергетический спектр огибающей.
~а са Рассмотрим теперь воздеиствие нормального шума иа квад. ратичный детектор. В данном ~~г~ спучае напряжение на выходе детектора с учетом отфильтровывания высокочастотной составляющей шума по аналогии с выражением (8.55) можно представить в форме е о 4/ Рнс. 11,З.
Энергетический спектр случайного процесса на входе (о) и выходе (б) амплитудного детектора. иаык (() = КА' (Ф2, (11 25) р(и„„)=р (К вЂ” )= А — А1/еое 1 1 — и (ко~~ ~о» (11.26) Итак, при воздействии иа квадратичный детектор с фильтром нижних частот узкополосного нормального процесса шум иа выходе всего устройства имеет зкспонеыг(иадьыое распределение. где К вЂ” коэффициент, учитывающий параметр вольт-ампериой характеристики диода аа и величину сопротивления нагрузки па выходе детектора. Применяя формулу (11.3), в которой под р (х) следует подразумевать плотность вероятности огибающей А (г), находим закон распределения шумового напряжения на выходе квадратичного детектора 1" Вычислим постоянную составляющую выходного напряженна в <и (()> ) и Р(п )оы „= о — и е ° 'в(и =Ко' 1 Р" — и !ка — выв выв ы к (1!.27) а также средний квадрат напряжения <пав» (()>= ~ И,'вв р(и ) Ии во Г! и' „е "выв(квв дп =2Кв ов (! ! 28) 1 Отсюда следует, что дисперсия шумя иа выходе о,'„, = <и,'„(Г)> — <и (Г)>в = 2Кв с4 — Кв о'„'=К' ов.
(11.29) йт,„„(!1)=07, (11)+У„в(())= $Ы ~2 6(О)-~. 1 -"'" ' 'в 1 = а[ о,' [2иб (О) + У2псв е — "о*'в [. (11. 30) Графики функций [у'„(ы) и ![7,ыв (й) по форме совпадают с графиками на рис. 11.8. Онй отличаются только масштабом по оси ординат из-за различия в постоянных коэффициентах [а.'о', вместо нивй перел квадратнымн скобками в (11.24) и единица вместо 1/4 перед вторым слагаемым[, Для полного описания свойств шума на выходе квадратичного детектора остается вычислить его корреляционную функцию и энергетический спектр. Это можно выполнить с помощью формул (Н.15), (11.16). Второе слагаемое в выражении (11.15) определяет искомую корреляционную функцию, а второе слагаемое в выражении (! 1.16) — соответствующий этой функции энергетический спектр. При яр (т) = е-в*1вы (см. предыдущий пример) получаем 11.б СОВМЕСТНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ Н НОРМАЛЬНОГО Н1УМА НА АМПЛИТУДНЫИ ДЕТЕКТОР При наложении узкополосного шуь<а х (1) = А (1) соз (ва( -<- + 0 (т)) на сигнал з (1) = Е соз вег суммарное колебание можно ааписать в форме и (() = з (1) + х (1) = Е соз ва( + А (1) соз Ье(+ 0 (1)) = = (Е + А (1) соз 6) соз ваг — А (1) <йп 6 з(п ва1 = =(~(Г) .(.„Т+ ~(Г)), П 1.31) где огибающая ( < (1) и фаза $ (1) по аналогии с (8.43) и (8.
И) определяется выражениями 1/(1)= Р Ее+ Аа (1) + 2ЕА (1) соз 0 (1), (11.32) Л(<] мп о(<] Е+ Л < 1 сот О ГО (1 1.33) При анализе воздействия колебания па амплитудный детектор статистическими характеристиками фазы $ (1) можно не интересоваться (этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе применительно к частотному детекнтр тору). Основное значение имеет Юб Е;/о„'"Р плотность вероятности р (Ц огибающей С<, определяемая оп <1х формуле 111 ° С< — <и +ли<то', оа х 1„( л < ), (11.34) Рнс. 1!Та Релесвская плотность веро ятностн (абеба<аннан).
где ! о — бесселева функци я комплексного аргумента (модифицированная). Определяемая формулой (11.34) функция называется обобирнной 4Уункцией Релея. Графики функции р (~/) для нескольких значений Е(о„приведены на рис. 11.9. При Е/а, = 0 (отсутствие сигнала) выражение (11.34) переходит в (4.70). В другом крайнем случае, когда амплитуда сигнала Е очень велика по сравнению с о„, кривая р ((1) близка к гауссовой кривой с дисперсией о,' и средним значением, равным Е Рассмотрим сначала линейное детектирование. Будем считать, что напряжение на выходе детектора совпадает с огибающей амплитуд высокочастотного напряжения на входе. Тогда, основываясь иа формуле (11.34), находим постоянную составляющую напряжения иа выходе детектора (/,=<(/> = ~ (/р ((/) г/(/= о 1 -и'па( ~'(/з -у"~за)~ / Е 0 ~ О1 (а~ о„ / о и средний квадрат напряжения 0 <(/'(/)>=~ (/'Р((/) (/- о О~ 1, аы24( (/з,-О~таку / ~ Г/)„(/ о2 ) е,~/ с/ ° Х (о а„ о После вычисления интегралов (51 получаем следующие выражения: (11.35) Следовательно, дисперсия о,', = ((/') — </',, = 2о) + Е' — </',.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
