Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Для приведения уравнения (10.74) к канонической форме используется подстановка у=ус- ~~', (10.75) исключающая из уравнения (10.74) первую производную 17, .Г(ифференпируя дважды выражение (10.75): и 5 1 ,Ру /Фу ,~у — =-( —" — а у)е ", — =( — — 2а„— +а у~е и П1 " Ш~ ~У' " сЫ Величина 1/ЕСэ = о4 определяет резонансную частоту контура в о1сутствие модуляции емкости, т. е. при и = О. Таким образом, уравнение (10.73) можно записать в форме и подставляя полученные .
оезультаты в уравнение (10.74), полу- чаем +( скч+сой+исоо созе) у= о д ч сйв нк а = — + (со,"ч + спсооч соз ч1) у=О, Жк (10.76) где мо — сс„' = озв есть квадрат частоты свободных колебаний контура (в отсутствие модуляпии емкости). Переходя к безразмерному времени т =тФ2 (10.77) и вводя обозначения 6 = 4ав?тв, е = гл4свДтв (10. 78) перепишем последнее уравнение в форме у" + (б+ есоз2т) у = О. (10. 79) Это уравнеяие называется иразнением Матье. Теория уравнения Матье хорошо разработана.
Каждому значению параметра е соот- 74 ветствует последовательность опре- деленнь|х значений 6, при которых решениями уравнения (10.79) яв- ляются периодические функции Матье, обладаюшие периодом 2п относительно переменной т. Зависимость между значениями е и 6, при которых сушествуют периодические решения уравнения (10.79), представлена к иными на а гд гд и рис. 1о хц Зоны устойчивости (не рис. 10.25. При больших значезаштрихованы) и неустойчивости пнях е функции Матье имеют (заштрикованы) решений уравне- весьма сложную форму. При е << 1 эти функции по форме мало отличаются от гармонических колебаний, При е- 0 уравнения (10.?6) и (10.79) переходят соответственно в уравнения у" (1) + .;„у (г) = о, у" (т)+6(0)у(т) = О. (10.80) (10.80') Уравнению (10.80) соответствуют решения в виде гармонических колебаний соз сзсвг и з(п са„~, а уравнению (10.80') — соответственно соз )Гб (О) т и з(п )l"6 (О) т. Для того чтобы последние два решения могли являться периодическими функциями Матье с периодом 2п относительно переменной т, т.
е. чтобы они имели вид соз пт или з|п пт, где и — целое число, величина 6 (О) должна равняться квадрату целого числа л. Отсюда следует, что представленные на рис. 10.26 графики при е = 0 должны касаться аси абсцисс в точках. 6 (0) = и = 1,4,9, ... При произвольных значениях з и 6 общее решение уравнения Матье имеет вид у= Аеят <р (т) +Ве-~ ~р ( т), (10.81) где А и  — постоянные, зависящие от начальных условий; гр (т)— периодическая функция Матье, зависящая от параметра н; ив показатель, зависящий от параметров а и 6 исходного уравнения (1О.
79) . Для параметрических цепей, используемых в высокочастотной технике, характерен режим неглубокой модуляции емкости (или индуктивности). Обычно коэффициент модуляции т измеряется единицами процентов, так что и параметр а, определяемый формулой (10.78), мал по сравнению с единицей. Поэтому, основываясь на отмеченных выше свойствах функций Матье, при е (( 1 можно записать обшее решение в форме у ж Аеи' соз (пт + $) + Ве-я" соз (пт — $) = у, (т) + у, (т).
(10.82) Для дальнейшего р~ссм~~р~ния необходимо установиь между показателем р и параметрами е, 6. а также определить фазу $. Для этого в немодное уравнение (10.70) подставим одно яз частных рещений, например рз (т). Лля упрощения анализа положим п 1, т. е. огра инчимся исследованием взвнсимооти р от е, 6 в облавти значений 6, близких ы единице. Таннм образом, рг (г) = А евт еоз (т + $). Сгруппировав после йодстзиоени в (!0.70) слагаемые, содержащие множители соз т и в!п т, придем и следующему уравнению:х !1а/2+(из+ 6 — 1!)соз $ — 2р Мп з ! соз г+ йз/2 — (из + 6 — 1)!з!п $— — 2рсоз ч! з!п т = 0 Таи кан это равенство должно выполняться при любых значениях т, нонрфицненты при сот т и юп т можно приравнять нулю.
Таким образом, получаем два уравнения для определения р и 41 (е/2 + (рз + 6 — 1)1 аоа $2р з1п $, (е/2 (рз + 6 — 1)1 а!и $ = 2р соз $. (!0.88) Из первого уравнения следует, что !д $ = (е/2 + (рз + 6 — 1)1/2р, (10.84! а нз второго— 8 — 2р/(а/2 — (рр + 6 Приравнивая правые части выражений (10.84) н (10.84'), получаем (е/2)з — (рз + 6 — 1)з = 4рз с *,, з,,ы~ з )е' + 2 (6+ 0 не — 1 (е/2)е — (6 — 1)е) = 0. Отсюда следует, что не= — (6+1) ~ ( +1)е+(е/2)е — (6 — 1)е= — (6+1) ~ р'46+(е/2)е = — (6+1) + 2 ~/6 1/!+(е/2)е/46. (10.88) Из этого выражения видно, что (Р— вещественное число.
Следовательно, показатель р может быть либо вещественной (положительной или отрицательной), либо чисто мнимой величиной. Если )е — вещественное число, положительное или отрицательное, то решение уравнения Матье неустойчиво, так как одно из слагаемых выражения (10.82) с увеличением т неограниченно возрастает. При мнимых значениях р решение устойчиво. Случай неустойчивости соответствует таким значениям 6 и е, при которых изображающая их точка нг рис.
10.25 находится в одной из зашитрихованных зон. Показанные на этом рисунке кривые представляют собой границы, отделяющие зоны устойчивости от зон неустойчивости. Сплошные кривые на рис. 10.25 являются геом"трическим местом точек, удовлетворяющих условию р = О. При этом, как отмечалось выше и как вытекает из выражения (10.82), решения уравнения Матье являются периодическими функциями. Физический смысл неустойчивого решения заключается в том, что при определенных соотношениях между глубиной модуляции емкости и относительной частотой этой модуляции (е и 6) при любых сколь, угодно малых начальных возмущениях (например, тепловые шумы) в контуре возникают колебания с неограниченно нарастающей амплитудой.
Источником энергии для этих колебаний служит генератор накачки, воздействующий на емкость. Отдельные неустойчивые области достигают оси абсцисс в точках 6 = ие, где и = 2со„ /у = 1, 2, 3, ... Это означает что при 6 = 1, 4, 9, ..., т. е. прн у = 2сосе, е =- ыее, у = '/еые„ ч =- '/еье, и т.
д., решения уравнения Матье неустойчивы при сколь угодно малой глубине модуляции параметра пг (е-~- О). При промежуточных значениях т, когда воздействие на параметр производится не в такт с собственной частотой контура, для неустойчивости требуется тем ббльшее значение в, чем ниже частота ч. В области малых значений е выражение (!0.85) можно упростить (например, при выборе знака плюс перед последним слагаемым в правой части (10.85)): р' ж — (6+1)+2 Уб ~1+ — — ( — ~1 11= — ()'6 — 1)+ — )в 2 46 ~2/ ( Таким образом, (10.85) Обратимся вновь к общему решению (10.82) и перейдем от у к д [по формуле (10.76),1 а также от т к размерному времени / [по формуле (10.77)[: (10.87) Из этого выражении видно, что для неустойчивости системы (по отношению к д) необходимо, чтобы р было не только вещественным числом, но и превышало по абсолютной величине отношение Итак, критическое значение показателя р, соответствующее границе между устойчивым и неустойчивым состояниями системы, определяется равенством [р„р[ = 2а„/ч.
(1 0.88) Подставив это значение р в формулу (10.86), яахолнм критическое значение е„р — — 4 Ф [р1р+(Уб — 1)') [/6 =4 г 4а„'/т'+ (У6 — 1)*[/6. (10.89) Но в соответствии с (10.78) акр = гп~р (4ыа/~'). (10.90) Отсюда находим т„р — критическое значение глубины модуляции емкости (на грани возникновения генерапии) В частном случае ч = 2гэ,„- 2со„когда 6 = 1, получаем т„р —— - 4 (2а„/ч) = 4п„/вэ= 2/Я= И, (10.92) где Я = 1/д — добротность контура. Этот результат совпадает с условием (10.66), полученным из Рассмотрения стационарного режима параметрического усилителя. Если частота ч модуляции емкости превышает частоту а„ не точно вдвое (имеется расстройка) то неустойчивость системы возникает при ббльших значениях гл чем 2/(/.
В этом случае чз,т ИЛИ д=2 ~~1+~ 2йм О) =2У1+~', а=(2б 1 ся)Я. мое (10.96') График зависимости т„рЯ от а изображен на рис. 10.26 (сплошная кривая). Двойной штриховкой обозначена область возбуждения колебаний (при лт) т„р), а горизонтальной — область неустой- Рис. !0.2У. Модуляция емкости и законы изменения заряда, обеспечивающие (график !) или не обеспечивающие (график П) параметрическое воз- 4~ бумдение колебания. а Рнс.
10.26. Зоны устойчивости и неустойчивости решений уравнения Матье в окрестности точки 4=1, е=О. -д -Х -г тт 1 я 5 л= — (7 тли мте чивых решений уравнения Матье, которые, однако, после умножения на е — к' приводятся к устойчивым решениям. Наконец, незаштрихованная область соответствует устойчивым решениям уравнения Матье и тем более устойчивым решениям уравнения (10.74). Рнс.
10.26 по сушеству является изображением в увеличенном масштабе одного кязыка» диаграммы рис. !0.25 в окрестности точек б = 1, и = О. На основании проведенного рассмотрения нетрудно определить все параметры свободного колебания в параметрическом контуре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
