Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 74
Текст из файла (страница 74)
В этом выражении и (г), как и в (11,1), — аддитивная помеха, а К (г) — коэффициент, характеризующий м у л ь т и п л и к а т и в- и у ю помеху. В Реальных условиях механизм обрааовання мультипликативной помехи более сложен и не всегда может быть сведен к простому перемножению помехи и сигнала Несмотря на это, под мультипликативной помехой обычно подразумевают помеху, являющуюся результатом нежелательного изменения параметров линейной системы, через которую передается сигнал.
В последующих параграфах данной главы сначала изучается воздействие нормального, в основном узкополосного шума на нелинейные устройства: амплитудный и частотный детекторы, нелинейный усилитель и амплитудный ограничитель. Затем в $11.8, 11.9 рягсмзтрнвается воздействие случайных процессов на параметрические пепи и влияние мультипликативной помехи иа передачу сигналов. ЫДЛ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НОРМАЛЬНОГО ПРОЦЕССА Н БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ Реальное нелинейное устройство представляет собой сочетание нелинейных безынерционных элементов с линейными инерционными электрическими цепями.
Зто очень усложняет нахождение статистических характеристик сигнала и шума на выходе всего устройства. Для линейных цепей просто определить корреляционную (или спектральную) функцию, но очень сложно — закон распределения. В нелинейных же, ио безынерционных элементах, наоборот, основная трудность состоит в нахождении корреляционной функции. Поэтому общих методов анализа преобразования случайных процессов в нелинейных устройствах не существует. Приходится ограничиваться некоторыми частными задачами, представляющими практический интерес и поддающимися решению, а также прибегать к различным идеализациям характеристик изучаемой модели устройства. Пусть на нелинейный элемент действует случайное колебание (напряжение, ток) с заданной плотносгью веРоятности р(х).
Требуется найти плотность вероятности р (у) выходной величины у. Связь между у и х определяется нелинейной зависимостью у = 1(х) имеющей смысл, например, вольт-амперной характеристпки электронного, полупроводникового или иного активного элемента. Если 1(х) определяет однозначное соответствие между х и у в каждый рассматриваемый момент, независимо от значений х в предыдущие моменты времени (безынерционный элемент), то плотность вероятности р (у) находится из очевидного соотношения (11.2) р (р) гну = р (х) с(х„ откуда с учетом неотрицательностн р (х) и р (у) р (у) = р (х)/1 с(дух(.
(11.3) Если обратная функция х = сд (у) неоднозначна, то где х„х,, ... — значения входной величины х, соответствую1цие рассматриваемому значению у. Если характеристика у = Г (х) постоянна на некотором интервале изменения х, то выражение (11.3) следует дополнить слагаемым с дельта-функцией, учитывающим интегральную вероятность пребывания х ниже (илн выше) определенного уровня. лгл Рнс. 1!.1. Воздействие случайного Рнс. 11.2. Дауктактное анлюченне процесса на нелинейный зленент днодоа. с кнадратнчной карактепнстнкой.
Нахождение р (р) проще всего пояснить иа практических примерах. 1. Воздействие нормально распределенного случайного процесса х (1) на элемент с симметричной квадратичной характеристикой (рис. !1.1). Показанную на рис. 11.1 вольт-амперную характеристику можно реализовать, например, с помощью двухтактного включения двух диодов, обладающих вблизи нуля квадратичными характеристиками (рис. ! 1.2).
При полярности напряжения, обозначенной иа рис. 11.2, ток, равный азха, проходит через диод Д1, при противоположной полярности — через диод Д,. Полагая у = аьха, г(у/г)х =- 2а,х и учитывая, по какому-либо фиксированному значению у соответствуют два значения х, а именно х, = + $' уУпа н хв = — )ггу1оы по формуле (11А) находим р(у) = р1+'(ггу(п )(2а„'ну1па+ р1 — Ъ'уеоа)!2аа (г у(па при у ~ О, прн у~ О. (11.6) Подставляя хцв = у/аа в выражение лля плотности вероятности р (х): — к1 ь)аог, е у~ о„Ъ'йн пл получаем окончательно -итте, ее е при у~О, (11.6) при у~О.
(у) = График этого распределения изображен на рис. 11.3 (при а = 11от). /Ыр д г)Х йр (Г у Рис. 11.4. Воздействие случайной функции на одиополупериодный детектор. Рис. 11.3. Плотность веронтиосги тока в цепи с квадратичной вольт.аиперной карантеристикой прн воздействии норнальаого случайного процесса. 2. Возделствие нормально распределенного пронесся на однополупериодный детектор с линейно ломаной характеристикой (рис. 11.4). В данном случае атх при х)0, у 0 при х<0. Очевидно, что в соответствии с (11.3) .(у)= = = уя....
„/а,) ' е ам~а«а при д О, 0 при д<0. Особое внимание следует обратить иа поведение функции р (у) в точке у = О. Так как д = 0 при любых отрицательных значениях х, то вероятность Р (у = 0) равна вероятности того, что х ( О. Но вероятность Р (х =' 0) = 1/2. Отсюда вытекаег, что плотность вероятности р (д = 0) = оо. « ау «о/* Уг/ и у, й/ Рис. 1!.б. Воздействие Рис. 11.7. Плотность не- случайной функции на ог- роитности случайного раничитель. процесса на входе (а) и выходе (б) ограничители, Рис. 1!.б.
Плотность вероатноств случайного процесса на входе (а) и выходе (6) однополупериодного детектора. Это обстоятельство можно учесть, записав выражение для р (д) в рорме Р(ч) = 1/2п аг о„ 0 прн у ~0. Слагаемое '/,6 (д) равно нулю всюду, кроме точки у = О, где оно обра1цается и бесконечность. При интегрировании же по у зто слагаеьюе дает 1/2. Графики р (х) и р (у) изображены на рис. 11.5. 3. Воздействие нормально распределенного процесса на ограничитель (рис. 11.6). По аналогии с предыдупгим случаем нетрудно составить вы- ражение (1/2) 6(д) + ' е-"'"" "" 1- аг )' 2п ах +Р(х ххо)6(у — до) при 0~ у . усо О при д«-О и д-ьд. Р(д)= (113) Графики распределения х и у изображены на рис.
11.7. Приведенных примеров достаточно для уяснения метода нахождения плотности вероятности случайной величины на выходе нелинейного безынерционного элемента с любой вольт-амперной характеристикой. Простота этого метода обусловлена тем, что не учитывается влияние выходных цепей (инерционных) на работу рассматриваемого нелинейного элемента. Ы.з.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА В БЕЗЫНЕРЦИОННОМ НЕЛИНЕЙНОМ ЭЛЕМЕНТЕ Прямое определение энергетического спектра выходного процесса по известному спектру на входе нелинейного элемента не представляется возможным. Единственный путь — это определение корреляционной функции с последующим применением преобразования Фурье. Если на входе нелинейного элемента с характеристикой у = Г (х) действует стационарный процесс х (Т), то корреляционная функция на выходе может быть представлена в форме Вэ (т) =<Игу+ тУ =(3 (ада(х+.)>. (11.9) где х, и х~~, — значения х (Т) в моменты времени г и Т+ т; у, н у +, — соответствующие им значения р на выходе нелинейного элемента. Для усреднения произведения ~(х,) Г(х~+,) должна быть известна двумерная плотность вероятности входного процесса р (хи х~+,). Если эта плотность вероятности известна, то корреляционную функцию В„(т) мохаго представить в виде следующего выражения: Вц(т)= ~ ~ ~(х,)~(хэ) р(х„х,)гЬ,бхэ, (11.10) где для удобства записи через к, и х, обозначены соответственно ха х~ + ,.
Этот интеграл удается вычислить далеко не во всех практически важных задачах. В связи с этим часто приходится прибегать к различным обходным способам, один из которых будет приведен далее. В качестве примера задачи, достаточно интересной для практики и лоступиой для решения прямым методом, рассмотрнм воздействие стационарного нормального процесса х (Г) на нелинейный элемент с квадратичной характеристикой д = а.,д' (см. пример 1 предыдущего параграфа). Двумерная плотность вероятности процесса х (д) равна' 1 ~ хдд+хд д— 2пхд хх ) 2яохд УГ-Ж ~ М (1- д'1 где Я вЂ” коэффициент корреляции величин хд и х„т.
е. Я = й„(т). Подставив выражение (1!.11), а также ~(х) = а,х' в (11.10), получим а( ( ( д ~ л'д+хд — 21!хд хх ~ 2дд„д (1 — ддд) ) Интеграл в фигурных скобках легко вычислить, дополнив выражение х, '— 2)дхдхх до квадрата разности х, '— 2)дхдхд = (хх— — йхд)х — яххд и заменив переменную х, — йхд = ьч ОО х \В =ехр ~ я "' 1 [ ~/2я од(1 — )(д)лгз+ 1 + О + У2п о„У 1 — )Р дауд х)~. Подставляя этот результат в (11.12), получаем ~/2я о„~ до В х д д-х 1.;.-ч*",.~. Далее определяем хне "д'~~" д(хд=У2под, хде "д "дгхд=' " 2п')пх д Си., например.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
