Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 78
Текст из файла (страница 78)
терминированный, так и случайный процесс. Входной сигнал з(!) также может быть либо детерминированным, либо случайным процессом. Составим выражение для корреляционной функции выходного сигнала з„ (!): В (г ,) < ~.„,(!) ~.„, (! + ) = ~~ ~~ ' + + т) з (Г)з (г + т)). (11.66) Нас интересует случай, когда передаточная функция К (г) не зависит от входного сигнала з (г). Тогда среднее значение произведения в (11.65) равно произведению средних значений соответствующих сомножителей, т. е.
В,„„(й т) = (К (г) К (! + т)) ~' з (1) а ((+ т)) = = Вк (г, т) В. ((, т), (11.66) где В, (Г, т) есть корреляционная функция входного сигнала, а Вк (й т) = (К (() К (1+ т)) (11.67) — корреляционная функция цепи с коэффициентом передачи К (г) цг, „(ю)= ) В (т)е-'отг(т.
(11.68) Проиллюстрируем соотношения (11.65) — (11.68) на примерах. 1. Гармонический сигнал з(!) = соз ве! действует иа владе линейной пепи е передзточиой функцией К (!) = Ке + ЬК (!), (1!.89) где Кр — среднее значение козффяциеитв усилеиия цепи; АК (!) — Флукту. епия коьффициеите усиления, представляющая собой нормально ряспреде. лепный стационарный случзйиый процесс с диепероией о'. Для полной кврвктеристики измеиеиия во времени передаточной фуииции цепи должны быть звдаиы либо корреляционная функция В (т), либо зиергетичеокий спектр аг .(ы) елучвйиого процесса К (Г).
Очевидно, что постоянной составляющей Ке соответствует виергетический епектр В'ке (ге) 2лК'й(ю)д Зиергетический зпектр второго слагаемого, ю е. ЛК (Г), зададим в форме Чген !сб! 2С/(аз+ ыз) ° где а и е — поетояииые яеличииы. Таким образом, зиергетический спектр суммы Кэ + ЛК (6 йГК(м)=2 К;б(ю)+2е(( + !. Заданному энергетическому епектру Р'к(ю! соответствует корреляциои.
иая функция (1! .70) В Гцг () ю ) 2якйб()е ам+ 1 Г 2я + — ) 1 г 2с емм ам=К(+ — е е от! 2п,) а'+ее а э (11 .71) „„„у Й К Ю"" функция равна Ке. Следовательно. по формуле (11.68! эиергетический спектр (рКО (ю)=Кеь )' е~~ ат=2пКег б (ы), Из выражения (11.66) вытекаег важное свойство линейной цепи с переменньпяи параметрами: корреляционная функция еыходноео сигнала равна произведению корреляционных функций входного сигнала В, ((, г) и цепи Вк (! т). Корреляционные функции в (11.66), (11.67) в случае нестациоиарных процессов зависят не только от временнбго сдвига т, но и от времени й Этими характеристиками не всегда удобно пользоваться.
Далее в примерах используются функции В (т)„получаемые усреднением В (1, т) по ! (см. 2 4.7, формулу (4.89)). Применяя преобразование Фурье к усредненной по времени функции В,, (т), получаем также усредненный энергетический спектр выходйого сигнала получаем Во,х (т) = Вк (т) Во (т) = — (Ко+ — е ) соз во т.
с 2 ' а Находим теперь энергетический спектр о помощью выражения (11.63)1 Оо (рама(в)= — ~ (Ко+ — е '"к1)созвоте дт= СО .= — к~[) -' -" к..~ ),-к + ""к,1О 4 + — — ~)е е + — г — о !М мв — кокто à — а! т! — Ма+во! т д. ао+ ) е е 4 а~,) Первые два интеграла данн дельта-функции 2пй (в — во) н 2пб (в +,гоо)' Последние же два интеграла дают соответственно 2а/(аз+ (в — во)о! и 2ак(аз + (в+ во)о).
Таким образом, онончательно )р (в) = — К' (6 (в — )+6 (в+во))+ 2 с ) 1 ! (1!.73) ".+в.,1 Функция (Роых(в) изображена на риа. 11.13 Монохроматической составляющей выходного гигнала соответствуют две ан"кретные спектральные линии, а шумовой составляющей, обусловленной флуктуациями усиления ЬК ((), — сплошной спек>р (на рис. 11 13 заштриховав), Этот спектр состоит аз комбинационных частот, располагающихся симметрично относительно частоты сигнала в, (в области отрипательных в симметрично относнтельво). 2. Нормально распределенный случайный процеса о (Г) е анергетическим спекгром (рис.
1!.14) В'о (в) 2Д/(Ьо+вз), группнрующимся вблизв нулевой частоты, действует на входе даточной функцией К (()=Ко (1+л4 со50Г) пви М (1. Находим корреляционную функцию входного сигнала о ! Г 2а, о) В, (т) = — ! — е'вт Ов = — е йи,) ба+ в 6 и корреляционную функцию цепи (11. 74) цепи о пере- (1!.Уб) (11.76) 1 Вц (т)=К'„+ — й(о Коо соз 4)т, 2 Найдем корреляционную функцию и внергетическпй спектр снгаало на выходе цепи. Имея в виду соотношения (11.66) и (!1.71), а также учигыная, что корреляционная функция сигнала з (4) = соз во( равна ! Во (т) соз в 'о Тогда в соответствнн с соотношением (11.66) коррелнционная функция выходного сигнала о( / Ввых (т)= Вд (т) Ва (т) = Ко+ д(о Ко сох 1)т) е-ь(т( н внергетический спектр Ь,, (й(оК,о Р Ы (м)= Ко ~ е ь1т1е ~в~от( —" ~ е ыц а — ает вых ' — о 26 2ат, [ 1 =-Ко,о„а+ „-; Функция В'вых (в) изображена на рнс.
11.!4. 3. Нормально распределенный случайный процесс з (2) действует на входе цепи, передаточная функция К (Г) которой является также случайным процессом с нормальным распределением. Аде(а' ааа) л' 2 г — луд У~Ъ алг) л' 2 я 2„-2 Энергетическнеспектры процессов з (1) н К (2) зададим в форме йта(ы) = = 2а(Г(ьа + вао) — как в примере 2, )Рк(ю) = 2пК3~6 (ы) + Ы(оо + еах) — как в примере 1. Корреляционные функция входного сигнала н рассматриваемой цепи соответсгвенно равны В, (т) =(ДЬ) е Ь1П, ВД (т) =Ко+(с/о) е Находим корреляционную функцию выходного сигнала Воых (т)=В (т) В,(т) = — Ка е Ь(т(+ — е 1 (11,36) н знергетнческий спектр йа ы =Ко 2а( со( 2 (а+ 3) вых ( ) о йа ( ыо + ел ((л+ Ь)о+ оав) (11.31) не аад аа Рнс, 11.13.
Энергетический спектр на выходе параметрической цепи со случайной передаточной функцией при гармоянческом воздействии. Рнс. 11.14. Энергетнческнй спектр на выходе параметрической цепв с передаточной функцией, неменяющейся по гармоническому закону, прн воздействнн нормальным случайным процессом. Первое слагаемое в правой части соответствует сигналу на выходе цепи с передаточной функцией Ке (в отсутствие мультипликативной помехи), а второе слагаемое соответствует мультипликативной помехе. Величина этого слагаемого пропорциональна произведению параметра м, характеризующего интенсивность сигнала, и параметра с, который опрсделвет дисперсию флук. туацин передаточной функции цепи оке. 11.9.
ВЛИЯНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ПОйгЕХИ МА ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИГНАЛА земх (1) = К (1) з (1) = К,з (1) + АК (1) а (1) = дьыл лет (1) + аеых ел (1)' (11.82) Рассмотренные в предыдущем параграфе характеристики случайного сигнала — корреляционная и спектральная — не являются исчерпывающими. Для прикладных задач большой интерес представляет определение плотносги вероятности р (з„,„). В общем случае, когда передаточная функция цепи К (!го, 1) является функцией двух переменных — частоты и времени, отыскать р (а,,) при произвольном законе распределения входного сиг11ала весьма затруднительно. Задача сильно упрощается при мультипликативной помехе типа амплитудной модуляции, когда передаточная функция К (1) зависит только от одной переменной— времени Имея в виду это условие, рассмотрим следующие три характерные ситуации: 1) в (4 — случайный, а К (г) — детерминированный процесськ 2) а(г) — детерминированный, а К(1) — случайный процессы; 3) а (1) и К (1) — случайные процессы.
Ситуации 1 и 2 приводят к задаче нахождения закона распределения произведения з (г), К (1), в котором один из сомножителей является случайной, а другой — детерминированной величиной. Если случайный процесс стационарный, задача легко решается. Из теории случайных функций известно, что при умножении случайной функции х (1) (стационариыв процесс) с диффереишгальным законом распределения р (х), с нулевым средним и дисперсией ое иа детерминированную функцию времени у (1) получается нестационарный процесс х(1) у (1) с прежним законом распределения, ио с дисперсией о' „= о,'у' (1).
В частности, если входной сигнал а (1) — стационарный, нормально распределенный процесс с дисперсией о,', а передаточная функция системы К (1) — детерминированная (случай 1), то выходной сигнал сохраняет нормальное распределение, однако каждому фиксированному моменту времени соответствует своя дисперсия о,'„„= о.' К' (г). При детерминированном сигнале з (1) и случайной функции К (1) (случай 2), если последнюю можно представить в форме К (1) = = К, + АК (1), выходной сигнал целесообразно записать в виде Первое слагаемое в правой части характеризует полезный выходной сигнал (детерминированный), а второе — мультипликативную помеху (случайную). Закон распределения этого слагаемого такой же, как у случайного процесса /1К (/), но с дисперсией о,з~ (/) (при ЛК (/) = О).
рассмотрим случай 3. Пусть оба процесса з (/) и К (/) стационарные, с плотностями вероятности соответственно р (з) и р (К). Задача заключается в нахождении плотности вероятности случайного процесса з,„, (/), являющегося произведением з (/) н К (/) Из теории вероятности известно, что если взаимно независимым случайным величинам х и у соответствуют плотности вероятности р (х) и р (!/), то произведению г = ху соответствует плотность вероятности р (г), определяемая выражением ,(г)= ~,(х)р~ 1".. (1! .83) 'та/ |к! Подразумевая под х входной сигнал з (/), под у передаточную функцию К (/), а под г произведение з, х (/) = з (/) К (/), получаем выражение для определения плотностй вероятностей выходного сигнала зо .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
