Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Тогда уравнение цепи в соответствии с (10.25) и (10.31) можно записать в форме г — +, д=б (/ — х). дд 1+ т в1п ГЪ гк' Ся (10.32) Подставляя в (10.30) а. (/) = г, ао (/) = (1 + т в!п Я/)/С„ получаем с д(/, х) = — ехр — ~ ди 1 ! г 1+тяп И~ [,) гС, 1 Г г — к т — ехр ~ — + — (сов Ы вЂ” сов Йх)~= г ( гСя гбя 11 ! Г о т = — ехр ~ — — + — (сов Ф вЂ” сов !1 (/ — а) 1) . г ~ гСс гСя 11 (10.33) Продифференцировав это выражение по Г, можно найти ток ! (/). В момент / = х (т.
е. при а = О), когда д (/, х) образует скачок, равный !/г, ток будет (1/г) б (/ — х), а напряжение на сопротивлении — б (/ — х) Напряжение же на емкости можно определить делением выражения (10.33) на С (/). г/с, Из выражения (10.33) видно, Ф 1 как вариация емкости по закону ! ! (10.31) влияет на характер разря- ! да: в аргументе экспоненты кроме — (/ — х)/гС, (как и при постоян- л ~ ~~к ной емкости С ) появляется периодическое слагаемое (гп/гСоИ Х к ггк Х (СОВ й/ — СОВ (à — а)).. //Х К гу/Хк/ Закон изменения С (Г)/Со пока- дг ван на рис. 10,?, а, график функ- д уг гт в хт аг цин п? (/, х) при ГСо(1 = 1 и г гх т = 0,25 — на рис. 10.7, б.
Отсчет безРазмерного времени Я/ на Рис. Ю.7. Зккок иодУлапкк викопне юо сти (о! и импульсная карактери- едется от момента стикя пипи (а! поккяяииоа ия к)х = и/2, соответствующего про- рис. 10.6. хождению С(~)/С, через минимум. Штриховой линией показана зависимость е-и-хм'с~, соответствующая импульсной характери- стике цепи при постоянной емкости Со (гп =-- О). Обратимся теперь к общему случаю — цепи, описываемой уравненные л-го порядка: а (г) угю(1)+а,(1) у'я-о(г)+ае(г)у(г)=г (у), (10.34) в котоРом все коэффицненгы ип, и„м ..., и„могУт Явлагьса фУницимми а (во не и).
Рнс. 1О 3 Импульсная характернстнка пе- пи, описываемой уравнением (10.35), Как и в предыдущем влучае, приравниваем 7 (О дельта-функции 3 (1 — х), что позволяет перепвяать уравнение (10.34) в форме а„(У) — ~ + а„, (г) + ... +а,(г) д=й(г' — х). (10 35) дв да — ! гз" гпв Импульсную хараитериатику ищем в вице решения однородного уран. ненни а„(г) а У + а„г(У) ау+...+а (У)у=О.
(1036) дгп ага — т Общее решение этого уравнения предетавляет собой сумму иа л линейно независимых решений д (г, х) = ~ грг (х) у, (г). г=! (10.37) гр, (х) у, (х) + гра (х) уа (х)+ ... + гр„(х) у„(х) =О, г1ув(') $ О Для определенна функций грг (х) можно попользовать наев пьные уеловия, вытекающие нэ уравнения (10.34). Вотличиеотрассмотреиного уравнения (10.25) в данном случае необходимо а точке 1 = х приравнить нулю аае производные функции у (й х) порядка не аыще и — 2.
Производная же порядка л — 1 в точке Г= хдолжва совершать скачок на величину Пои (х) (рно. 10.8). При этих начальных условиях вйражение (10.37) ебраэует аистему уравнений (при дифференцировании по Г и поастановке 1 = х) и"-'р (О ! и -яр (О гр,(х), ~ +дуг(х), ! +...+ !д и д"-г ув (О -1- фл (х) ~ =О, !г х д.-~р (О ! + др„(х) ,д.
~ ~, „ли(л)' (10.ЗВ) у, (х) д, (х) ... У„(х) у! (х) уг (х) . у,' (х) Г(х) = Уд (х) УЬ (х) - Ул (х) называемый олределиталсл Врслмимо. Применяя правило Крамера, получаем еледующее общее выражение хля рд (ки др, (х) = ( — 1)а+д М„; (х))п„(х) Ог (х), Где 34ад (х) — минор, получаемый из определителя (Р (х) вычеркиванием т-й строки !еоствеютвующей производным порядка л —. 1) и етолбца д, на дересеченнн которых стоит злемент рга '1 (х). Подставляя (10.391 в общее решение (10.37), получаем д(1, х)= 1 (( — 1)ь+! М д, И+( — 1)л+гдс ав (х) 1Р (х) х М„у,(1) + ...
+( — 1)'+" Мину„Щ (10АО) Выражение, етоящее в квадратных скобках, можно рассматривать кав дазложение еоответатвующего определителя по сгроке рг (Г). рг (О, ..., ри (1). :1бозначив зтот новый определитель через а. можем напиаать с(=А,ту,(д)+Аы д,(д)+ ..+ Ада у„(у), ггкузл вытекает еледующее равенство ала алгебраических аополнений Атд: Аы — ( — 1)" +' М„н (! 0.41) 1 ДРУГОЙ атОРОНЫ, В ИСКОМОМ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕ П аЛГЕбРаИЧЕСКИЕ аОПОЛНЕННЯ Аы вязаны с соответствующими им минорами дИдд аоодношеннем с Аы — ( — 1)'+ ' М",„.
Следовательно, миноры нового определителя выражаются через миноры >пределнтеля Вронского с помощью слеаующей формулы: Ма (- 1! ""вд ( 1)ч-д.М 1 — 1) '+' Твя кан частные решения рг (г) и яз производные в точке 1= х предло. латаются известнымн, то система (!0.88), содержащая л уравнений, позволяет найти все функции фг (х). Виатеме уравнений (10.88) еоответетвует опреде- литель По минор М„д, как уже отмечалось, получаетсн нэ определителя Вронского вычеркнвайнем 1-го столбца н строки, соответствующей пронэводным порядка и — 1. Поэтому нсхомый определнтель и должен иметь внд и (1) рв (1) - й. (1) уд (х) уа (х) ...
р, (х) у~! (х) у~ ' (х) Таким обрааом, окончательно р, (() К (1) -. и. (() уд ( ) рт » -. р. (х) ~«-а~( ) !к-э1( ) !к-э~( д((,х)= ( о" (к) дг'(к) (10.42) Определяемая вырвженнем (10.43! функция д !А к! евть не что нное, как односжоронняа функция Гроко линейного анфференцнального оператора Е=а„(Г) р +а„д(Г) р -~+ ...+ае(1) соответствующего уравненнв (10.34). В георяа линейных неоднородных уравненнй функция Грина ясполь. ауется для предвтавлення решения уравнения (10.341 в форме р(1)= ~ д((,х)7(х)г(х (! 0.43) прн начальных условиях уао (0) = О, й = О, 1, ..., (л — 1). Выраженно [!0.43) совпадает с (!0.13).
1ОЛ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В КЕПИ С НЕЛИНЕЙНЫМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ПРН ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ В 310.1 отмечалось, что электронный способ осуществления переменной емкости (линейной) основан на применении нелинейной емкости, находящейся под воздействием управляющего колебания. Особенностью бигармонического воздействия (сигнал и управ. ляющее колебание) на нелинейный реактивный элемент является обмен энергией между источниками отдельных колебаний. Расходуемая в параметрической цепи энергия поставляется (енакачивается») источником управляющего колебания.
В связи с этим его часто называют генератором накачки, а управляющее колебание— напряжением накачки. Управляющее колебание наряду с обозначением ет (() = Ет сон (ш (+ 9„) в дальнейшем часто будет записываться в форме са (г) = Е„соз (од„(+ 9„). Рассмотрим воздействие на нелинейную емкость С (варикап) двух гармонических колебаний (рис. 10.9): е (() = ед (г) + е„(1) = Е, соз (пддд + 9д) + Е„соз (од„( + + 9в). (10А4) Вольт-кулонную характеристику варикапа аппроксимируем, как и в 9 10.1, полиномом второй степени Ч = Че+ Ьсе+ Ь,ее.
(10 45) где Ьс = Се определяется выражением (8.4), а Применяя первое выражение (8.3) к ряду (10АБ), находим ток через нелинейную емкость 1(Г) = — — = (Ь, + 2Ь, н) — =Ь, — + 2Ь, е —. (10.47) лс Ф ну и! ья Подставляя в это уравнение внешнее воздействие (10.44), после несложных тригонометрических преобразований получаем окончательное выражение ! (Г) = — (Ь,в,Е, з!и (а,г + 0,) + Ь,в„Е„з!п (в„г + 0„)— — Ь,в,Е1 зйп 2 (в,Г + 0 ) + Ь,внЕ, 'з!и 2 (в,Г + Ои) + + Ь, (оу„+ ас) ЕсЕи з(п ((ве + в,) 1+ (Ои + Ос))— — Ьс (в„— о1с) Е,Е„з!и ((со„— а,) ! + (΄— Ос)Ц.
(10,48) Рис. !0.9. Бнглрмоническое еоздействне нн нелинейную емкость. Два первых слагаемых в полученном выражении соответствуют токам частот а, и в„, которые имели бы место при линейной емкости, равной Ь;, остальные слагаемые — гармоники с частотами 2в„ 2в„н комбинационные колебания с частотами в„+ в„в„— в, являются продуктом ю'(гу взаимодействия двух гармонических колеба- нг му ний в квадратичной нелинейности. Заметим, что по своему составу спектр сь в„ тока через нелинейную емкость отличается от спектра тока через резисгивный нелинейный элемент только отсутствием постоянной составляющей [см.
(8.28) — (8.30)1. + се— рассмотрим энергетические соотношения. Первые два тока (с коэффициентами Ь,), сдвинутые по фазе на 90' относительно соответствующих э.д.о. е,(() и а„(1), не создают расхода энергии (как и в обычном линейном конденсаторе без потерь). Ток с частотой вн+ ас может также не учитываться при энергетических расчетах, так как средняя мощность> отдаваемая генератором э.
д. в. частоты вс или вн при протекании через них тока с частотой в„+ в„равна нулю. Нагрузка же генераторов, создаваемая остальными токами с частотами 2в„2в и в„— в, зависит от соотношения фаз О, и 0„. Если частоты в, и ви находятся в кратном соотношении, совпадающем со степенью аппроксимирующего полинома (т. е. с порядком нелинейности), то при определенном соотношении фаз О, и О„эти токи могут оказаться в фазе (или в противофазе) с электрсдвижущими силами е,(1) или е„(1).
В частности, в рассматриваемом случае квадратичной нелинейности, при выполнении условия в„ = 2а„ комбинационная частота ℠— а, совпадает с частотой э. д. с. а, (соответственно при а, = = 2а, ( в„— в,( = Ч а, = а,). При этом токи с частотами 2а„ и а„+а, можно не учитывать, токи же с частотами а„н вх представим в виде 1<„(1) = — Ь,в,Е', з1п 2 (а,1+ ОД '= — Ьаа~Е( з)п (ан1 + + 20,) = Ьоа Еэ соз (а„1 + 20, + и/2), 1„(1) = — Ьо (а„— вД Е,Е„з(п ((в„— в,) 1+ (Оо — 0~)) — Ь а,Е,Е„з1п (ах1+ (Оо О,)) = Ь,в,Е,Е„сов(вю1+ + (΄— ОД+ и/2). Так как ток 1„(1) сдвинут по фазе относительно е„(1) = Е„х Ы х сов (а„1 + 8„) на угол ΄— (20, + и/2)=0„— 28, — и/2, то средняя мощность, отдаваемая генератором э.
д. с. ео (1)„будет равна Роо = х/,Ь,,а,Е(Е„аи (΄— 20, — и/2) = ~ '/гЬовьЕзЕн з)п (Оо — 20т)- (10.491 Соответственно мощность, отдаваемая генератором на частоте а, при сдвиге фаз Ох — ((΄— ОД + и/2) = 20, — ΄— и/2, Р„, = ЧоЬоа,Е(Ео соз!20, — 0„— и/2) = = '/,Ьов,Е(Е„з(п (20 — 0„). (10.50) Заметим, что при любых фазах О, и О„выполняется условие Роо+ Р~ — — О. Наложим теперь на фазы добавочное условие: 8„— 20, = и/2. Тогда Р,~ — положительна, а Р... — отрицательна. Это означает, что генератор э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
