Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Хв). где К вЂ” сопротивление резистора, генерируюшего шум; я = =1,38 !О " Вт с/град — постоянная Больцмана; Т вЂ” абсолютная температура. Как и в выражении (7.12),(р'„(в) здесь определено для положительных и отрицательных частот. При отнесении мошности шума ~олько к положительным частотам коэффициент 2 следует заменить иа 4. К (т)=е " созсв с=в ясозвт т. График функции Кя (т) показан на рис.
7.7. Интервал корре. ляции в рассматриваемом случае определяется ходом огибающей функции К„(т), т. е. множите- леле е 'тп" в выражении (7.25). оа Пересчет напряжения шумов ко входу усилителя, как и для / апериодического усилителя, в-П'ъе можно сделать по формуле исв = о„(7(т, в которой под Кт следует подразумевать коэффициент усиления на резонансной 4 часто е.
1 Структура напряжения шума, выделяемого на высокодобротном колебательном контуре„ имеет вид, показанный на рис. 4.17. Приведенные в 5 4.б характеристики узкополосного случайного процесса могут быть полностью отнесены к дробовому'шуму в резонансном усилителе. Нужно иметь в виду, что изложенный в данном параграфе материал дает представление лишь о методе анализа характеристик собственных шумов, формируемых избирательной цепью усилителя.
Механизм образования шумов зависит от ряда физических и кон. структивиых особенностей усилительных (активных) элементов, которые здесь не рассматриваются. В заключение укажем, что приведенные выше соотношения можно использовать также при анализе формирования в избирательных цепях теплового шума. Необходимо лишь энергетический спектр такого шума определять по формуле, известной из физики, йг„(св) = 2(тТК, (7.26) 7.З.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ Пусть задан стационарный эргодический случайный процесс з (/) с энергетическим спектром йг, (в) и корреляционной функцией В, (т) и требуется найти аналогичные характеристики для производной з (/). Не останавливаясь здесь на рассмотрении всех условий дифференцируемости случайной функции, ограничимся основным требованием: энергетический спектр В', (в) при в-+. со должен убывать быстрее, чем 1/во, так что са ~ во)р,(в)дв~ оо.
(7.27) СО Это условие выполняется для большинства практических задач, так как энергетический спектр Ф', (в) формируется физической цепью, передаточная функция которой при в — з-оо убываег быстрее, чем 1/в (а ее квадрат модуля уменьшается быстрее, чем 1/в'). Условию-(7.27) не отвечает белый шум с бесконечно широким спектром, однако обычно рассматривается шум сограниченным спектром. Считая условие (7.27) выполненным, рассмотрим прохождение случайного сигнала з(/) через идеальную дифференцируюшую цепь, передаточная функция которой К ((в) =- /огг (см.
(6.17)1. Применяя выражения (7.1), (7.2), можем написать (Р, ч (в) = К' (в)В" (в) = тов'1Р, (в), (7.28) Ввых(т)=тО $ в )Ре (в) е' (7.29) Ю Дисперсия процесса на выходе устройства тй о,'„„= — ' ~ в~ )Р', (в) с(в. (7.30) Корреляционная функция подобного процесса (см. (4.41)1 В8 (т) = )Ро2);(з(п Лв1т/Лв1т), а дисперсия о! = — В„(О) =- (Ро2/м Нормированная корреляционная функпия /7, (т) = (з(п бв,т)/Лв,т. (7.31) (7.32) Рассмотрим следуюший пример: пусть спектр процесса на входе дифференцирующего устройства равиомерен в полосе частот — / ==/(Ь: 1(Ро при (в((2п/т=/)ви йг() ~1 о ( О при 1в / ) 2п/ =йв .
После дифференцирования соответственно получаем йтгых (в) = тов (Ро = (Лвхто) (в/Лвх) (Ро, ов, Ввых (т) то ~Ро а )г х Жв1 х сох Двх х+(ав) ™ М) о~п Двх г =(~в,то) о," (авх т)х и,'„„= В,, (0) = ~/г(Лв,то)'о'., /(,ы, (т) = Зу (т), (7.33) (7.34) где у (т) — дробь в выражении для В,, (т). Графики функций йх, (в) и ((г„„(в), а также функций /7, (т) и /7, (в) изображены на рис. 7.8, а и б; параметр Лвгто приравнен единице. Из этих графиков видно, что дифференцирование приводит к ослаблению нижних частот исходного процесса.
Относительное возрастание высших частот приводит к более четко выраженной осцилляции корреляционной функции (рис. 7,8, б), Рассмотрим теперь прохождение того же случайного сигнала через реальное дифференцирующее устройство в виде /7С-цепи (рис. 6.5, б). Квадрат передаточной функции дифференцирующей цепи в соответствии с (6,19) К' (в) = вота/(1 + вгто), то = /7С, Таким образом, энергетический спектр на выходе цепи (в)= ' йг = ( ~ ' ') ((г. (735) 1 [ вг х о 1 [ (дв, т 1г/в/дв,)г График (Р',„, (в) для Лвхто = 1 представлен на рис.
7.8, о штриховой лийией. Корреляционная функция ов, 1 Г вгсагвт (т) о о йо, .) 1+вот: ов, +в то а = — — [Лв, то — агс1п (Лв, то)!. (7.36) хо Результат вычисления нормированной корреляционной функ- ции /(оых (т) = В, (т)/о,'„, пРедставлен на Рис. 7.8, б штРиховой линией (для Лв,т = 1). Можно считать, что при Лвгт ( 1 физическая ВС-цепь осуществ- ляет дифференцирование рассматриваемого случаиного процесса, близкое к точному дифференцированию. рис. 7.8.
Внергетипеские спектры (а) и корреляционные функции Гб) иа входе и выходе дифференцируюгцей пени; — ие выходе идеальной цепи; — па выходе ИС-цепи, т 4, ИНТЕГРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ для выявления некоторых особенностей интегрирования случайной функции рассмотрим сначала прохождение стационарного случайного процесса через физическую интегрирующую ЯС-цепь (рис. 6.6, б). Пусть на входе этой цепи начиная с момента 1 = — оо действует случайная функция з (() с энергетическим спектром (а, (ог) и корреляционной функцией В, (ы).
Считая процесс на выходе установившимся, мы можем определить (аг,ы„(и) и В„„(т) с помощью выражений (7.!) и (7.2), подставив в них (см. (6.20)) (ог) = И( + (аота) ). Таким образом, )Рвыв (го) = ((' (ао) (Ув (ог) = (Р. (ы)7(( + от,'), (7.37) (7. 38) выв т в ) ~+ в г рассмотрим два частных случая: з (~) 0 и з (~) Ф О. В первом случае энергетический спектр (в',(ог) не содержит слагаемого с б-функцией (см. (4.35) — (4.37)). полагая йГ„(ы) йГа сопз( (белый шум), получаем корреляционную функцию та и,) 1(та+ага Ета о и дисперсию о) В'а/2та = (Рв/2)7С.
(7.40) Во втором случае (при з (() ~ 0), когда в соответствии с (4.35) энергетический спектр В',(ао)=~аз(Г))в 2пб(о))+ В' (ог) причем (р' (ао) (р сопз( (как и в предыдущем случае), корреляционная функция и дисперсия будут Ввы,(т)=~в(~)~в. 2п — ~ б(ы) ',", сего+ +тв Ф гв — д =(з(г)1'+ — 'е "'" (741) 1+то о' йтв «г овыв = Юа/2та —— (Гга/2НС. (7 42) Из приведенных соотношений видно, что в установившемся режиме процесс на выходе физической интегрирующей цепи является стационарным, как и иа входе.
Иначе обстоит дело при точном математическом интегрировании, которому соответствует нереализуемая передаточная функция К (гсо) = 1йсото (см. (б.18)!. Условие интегрируемости случайного процесса при этом принимает следующий вид: ОΠ— Д~> ч. оо. я', (оз) оз Если условие диффереицируемости случайной функции (7 27) накладывало требование досгаточно быстрого убывания йг, (ы) при в-~ оо, то при интегрировании аналогичное требование относится к поведению (Р, (ы) при м -+- О. Интегрирование стационарного процесса з (() с Ф, (О) Ф О приводит к нестапиояариомд процессу с неограниченно возрастающей дисперсией.
Если з (г) эь О. то математическое ожидание процесса на выходе также неограниченно возрастает. Следует иметь в виду, что идеальное интегрирующее устройство можно рассматривать как фильтр с бесконечно малой полосой про. пускания. Процесс установления в таком фильтре длится бесконечно долго. Поэтому статистические характеристики интеграла случайного процесса существенно зависят от пределов интеграла, т, е. от длительности иитегриро~ания. ?.6. НОРИАЛИЗАЦИЯ СЛУЧАИНЫХ ПРОЦЕССОВ В УЗКОПОЛОСНЫХ ЛИНЕИНЫХ ЦЕПЯХ Пусть на входе линейной цепи (с постоянными параметрами) действует стационарный случайный процесс с распределением, отличным от нормального.
Если интервал корреляции этого процесса меньше постоянной времени цепи (т. е. ширина энергетического спектра больше полосы пропускания цепи), то распределение случайного процесса на выходе приближается к нормальному. Эффект нормализации проявляется тем сильнее, чем уже полоса пропускания цепи. Поясним это положение на двух примерах. Сначала рассмотрим воздействие на высокодобротный колебательный контур последовательности коротких, иеперекрывающихся, случьйным образом расположенных на оси времени импульсов (рис.
7.9), причем постоянная времени контура т„велика по сравнению со средней величиной интервалов между импульсами. Напряжение на контуре в какой-либо момент времени Г, является суммой свободных колебаний, вызванных предыдущими импульсами и не успевших полностью затухнуть к рассматриваемому моменту. Чем уже полоса пропускания цепи, тем длительнее свободные коле- бания и, следовательно, тем ббльшсе число соизмеримых по величине н иекоррелироваиных слагаемых принимает участие в образовании результируюшего напряжения в момент 1х. В соответствии с центральной предельной теоремой эти предпосылки достаточны для приближения распределения к нормальному закону.
При спектральном подходе эффект нормализации можно объяснить следуюшим образом. Спектр колебания в контуре суммируется из спектров отдельных импульсов входной последовательности. Внутри каждого из этих парциальных спектров фазы спектральных составляюших полностью коррелированы, а между фазами составляюших из различ- „'Г'~' ных спектров никакой корреляции нет (из-за случайной расстановки импульсов на оси времени) Чем уже полоса прозрачности контура, тем меньшую роль играет корреляция фаз в парциальных спектрах. Приведем теперь другой пример, поясняюший явление нор- ! М мализации в узкополосной це- ! пи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
