Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Пусть иа контур воздейст- ! вует непрерывное колебание с ! постоянной амплитудой и с частотой, модулированной по пи- 1 лообразному закону со случай- Рис. 7.9, Отклики колебательной цепи ным периодом (рис. 7.10). При нв отдельные импульсы хаотической обе астоты через последовательности. каждом пробеге частоты че ез полосу прозрачности контура 2бох„ в последнем возникает свободное колебание, амплитуда которого обратно пропорциональна наклону епилы». Так как моменты пересечения полосы прозрачности расположены на оси времени случайным образом, то и свободные колебания образуют импульсную последовательность со случайными интервалами (г„, (н ь т) При медленном качании частоты, когда интервалы велики по сравнению с постоянной времени контура т„, свободные колебания не перекрываются. Предположим, что т„велико по сравнению со средним значением интервалов Т, .
Тогда в любой момент времени будет накладываться много колебаний со случайными и взаимно независимыми фазами и амплитудами. При этом входное колебание, закон распределения которого определяется формулой (4.25) (изменение мгновенной частоты не отражается на одномерном законе распределения высокочастотного колебания с постоянной амплитудой), преобразуется в случайную функцию с распределением, близким к нормальному. Нормализация будет тем полнее, чем больше т„по сравнению с Т,п. ъч $ Учитывая, что для одиночного контура имеет место соотношение бозатн = 1, а средняя частота «пилыа 7«, = ИТсо, условие нормализации можно записать в форме неравенства )ср ~ ~~«ос (7.44) В широкополосных линейных цепях при некоторых условиях может иметь место эффект, обратный описанному выше эффекту нормализации: распределение процесса на выходе цепи может отличаться от нормального распределения больше, чем на входе. Можно привести простой пример подобного эффекта.
Рис. 7ЛО Изменение частоты колеааниэ по пилооаразному закону со случай. ным периодом. Пусть на вход дифференцирующего устройства подается совокупностьотносительнодлинных импульсов, имеющая распределение, близкое к нормальному. В результате дифференцирования каждый из импульсов превращается на выходе в пару очень коротких импульсов, соответствующих фронтам входного импульса. Число взаимно перекрывающихся импульсов на выходе сокращается, благодаря чему приближение к нормальному закону на выходе оказывается худшим, чем на входе. Подобный эффект иногда называют «денормализациейа процесса. Следует подчеркнуть, что отмеченный эффект не противоречит тому, что в любой линейной цепи нормальный процесс сохраняет нормальный закон распределения.
Если в приведенном выше примере среднее число импульсов в единицу времени довести до бесконечности (что необходимо для получения строго нормального распределения), то при любом сжатии импульсов, которое можно осуществить в физически реализуемой цепи, процесс будет нормальным также и на выходе цепи. 76. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СУММЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ ФАЗАМИ Этот вопрос приобретает большое значение в связи с распространенностью спектрального представления сигналов и случайных процессов.
Из центральной предельной теоремы (см. сноску на с.йбй) вытекает, что суммирование достаточно большого числа гарме'*-и- ческих колебаний со случайными и взаимно независнмымн амплитудами н фазами образует случайную функцию с нормальным законом распределения В практике часто встречаются задачи, в которых число слагаемых относительно мало, так что условия применимости центральной предельной теоремы на выполняются и полной нормализации не наблюдается.
Для выяснения зависимости степени нормализации от числа случайных слагаемых (с не нормальным распределением) можно воспользоваться м е т о д о м х а р а к т е р и с т н ч е с к и х функций. В теории вероятностей под характеристической функцией 0 (т~) случайной величины х, или характеристической функцией данного распределения р (х), подразумевается среднее значение функции е 1, т. е. 0 (П) = егч». (7.45) Здесь и — вещественная переменная. При заданной плотности вероятности р (х) среднее значение величины е'ч" можно определить с помощью выражения ~а~х ~ е~ч» р (х)»тх (7.46) Правая часть этого выражения есть не что иное, как преобразование Фурье функции р (х).
Следовательно, если известна характеристическая функция 0 (и) какой-либо случайной величины х, то плотность вероятности р (х) можно найти с помощью обратного по отношению к (7.46) преобразования Фурье (7.47) »ч»»чан+» + ..' +»»)»ч»~ ~ч»» Них 0 (п)=е =е ' '" "=е е ...е х =0„, (и) 0„(ц) ...0.„®, (7.48) г. е. характеристическая функция суммы независимых случайных з личин ранна произведению характеристических функций слагае- мых. Характеристическая функция обладает рядом важных свойств, позволяющих весьма просто определять параметры распределения р (х). Для поставленной выше задачи особенно важно, что для )у' взаимно независимых слагаемых х„х„..., хв характеристическая функция суммы имеет следующий вид: Для частного случая, когда все слагаемые обладают одинаковыми распределениями и, следовательно, одинаковыми характеристическими функциями, получаем 6.
(и) = (6, (п)(м. (7.49) Для наиболее важного и распространенного в природе нормального закона распределения р (х) = = ехр ~ — —,~ Т'Ь.„~ 2.) 7' характеристическая функция в оютветствии с (7.46) равна 8 (т)) =- — ~ ехр ~ —,1 ехр (рйх) г(х, С помощью преобразований, аналогичных (2.75) и (2.77), получаем' О(г))=ехр ~ — — — ). о" г~е (7. 50) е'ч' аг е,(и)= — ) 6 . (/Л'„— хг ' В общем случае, когда среднее значение случайной величины нс равно иулго и (к — х)г 1 р (л) =,— екр (/2гго „~ 2оав характеристнческая функпчя В(Ч)=ехр (ЙЧ-о» Ч"72) (см., например, 171).
Таким образом, при нормальном распределении график характеристической функции относительно г) имеет такую же форму, как н график плотности вероятности относительно х. Поэтому о степени приближения распределения какой-либо случайной величины к нормальному закону можно судить по тому, насколько характеристическая функция рассматриваемой величины приближается к функции, определяемой выражением (7.50). Используем выражения (7.46) — (7.50) в задаче о распределении суммы нескольких синусоидальных колебаний со случайными фазами. Для выборки х, взятой из гармонического колебания с амплитудой Ав и со случайной фазой. плотность вероятности (см.
(4.25)) р (х)=1/и '(гАо' — х', — Ае ( х «Аа (7.51) С помощью выражения (7.46) находим характеристическую функцию этого распределения Подставляя е'ч' = созе)х+ Г з1п Чх и учитывая, что нгз*з Л вЂ” зз * ~ зег зз З*. з зе .З.ГЗз.з в И) лз й (т))= — ( — '~ г(х=(е(Ае ) (7.53) д (ггА' — ха е где .)е — бесселева функция первого рода нулевого порядка. Для выборки, взятой из суммы йг гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами Ае/Ж, но со случайными взаимно независимыми фазами, характеристическая функция в соответствии с (7.49) будет йм(з))=(7 (А т)/Уй!~.
(7.б4) Амплитуда каждой из синусоид приравнена Ае ~ Ж для того, чтобы дисперсия суммы, равная 0,5Л' (АеУ)l Ф)а оставалась при увеличении числа синусоид неизменной. Рис. 7Л П Харакзернстические функнии ала суммы И гарманических колебаний со случаянымн фааамн. На рис. 7.!1 изображены характеристические функции для различных значений )у*. При Ф = 4...5 функция Ом (з)) быстро приближается к предельной кривой Ф -з.
еа, соответствующей нормальному распределению суммы. Для отыскания плотности вероятности суммы Ж гармонических колебаний необходимо в соответствии с выражением (7А7) вычислить интеграл зч чз ~ ~~г, ( ~~ )1 ч з . (гзз) СО При (т' = 1 получается исходное выражение р (х) для одной синусоиды 1формула (7.51)1, а при й1=3...4 функции рм(х) имеют вид, показанный на рис. 7.12, построенном для А, = 1 (интегралы были вычислены с помощью приближенного метода). Сплошной линией изображена функция рм (х) при нормальном распределении (Ф-ь ос).
Полученные результаты показывают, что при суммировании хотя бы пяти-шести гармонических колебаний со случайными и взаимно независимыми фазами получается стационарный случайный процесс, близкий к нормальному. ~э -гр -дю -йг р йд др гр ха л Рис. 7.12. Плотность аероитности суммы Ф гармонических колебаний со сну* чайными фанами (рис. 7.1!). Это справедливо для значений х, заключенных в области ( х ( « ( $~Й (при А»= 1). При ббльших значениях (х( рм(х) = О, в го время как при нормальном распределении р (х) отлично от нуля. Таким образом, при конечном числе слагаемых 7т' на «хвостах» кривой распределения неизбежно расхождение между рм(х) и р (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
