Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В таких случаях приходится прибегать к приближенным методам, позволяющим, хотя и ие вполне точно, находить колебание на вы- з Не ззвисящий ст частоты фазовый сдвиг, ииирииер, ив ЭО", иак и синие ни рис. 6.27, здесь ие учитывается. ходе цепи по заданному закону изменения мгновенной частоты э д. с. и по заданным частотно-фазовым характеристикам цепи без разложения э. д. с. в спектр. Эти методы, называемые метода ми м г нове и н о й ч а с т о т ы, основаны на допушении о медленности изменения часпиы. Частота модуляции считается настолько малой, что амплитуду и фазу колебания иа выходе цепи в каждый момент времени можно без большой погрешности определить по часто~ной и фазовой характеристикам цепи так же, как и в стационарном режиме.
Таким образом, принимается, что установление стационарных колебаний иа выходе происходит почти одновременное изменением частоты яа входе цепи. Эти предпосылки тем ближе к истине, чем больше период моду ляции 2п/Й я чем меныце постоянная времени цепи т. Так как последняя обратно пропорциональна полосе пропускания цепи 2бы,, то одним из условий применимости метода мгновенной частоты является неравенство Й/Лв„« ]. При одной я той же частоте Р скорость изменения мгновенной частоты э. д. с.
зависит от амплитуды частотного отклонения мд, поэтому соблюдения только этогс неравенства еще недостаточно. должны быть наложены ограничения я на отношение ы„Иы . Более подробное рассмотрение (б] показывает, что если ы„/в„ меныпе единицы или близко к яей, то метод мгновенной частоты обеспечивает вполне достаточную зля практики точность. При выполнении указанных условий напряжение на выходе пепи можно определить е помошыо выражения и (/)=Е,]<е(еч ч1(<(]ы))=Е,К(щ (<в(в']ч ">+зим]), где ф (() = в,(+ щ гйп О( — полная фаза э. д.
в. на входе пепи (см. $ 3.4); ~р (в) — аргумент коэффициента передачи цепи. Из этого выражения видно, что амплитуда выходного напряжения изменяется по закону (/ (() = Е„К (со) = Еоб (ыо -) ч л ооь ы()з а мгноееннан частота — по закону Так как первый член в правой части этого выражения представляет собой мгновенную частоту входной ч. д. с. ы (/], го ~ (/] = = лр/пг характеризует влияние рассматриваемой цепи иа частоту выходного колебания. При выполнении оговоренного выше условия медленности модуляции величина $, как правило, мала по сравнению с а„. Итак, (6.94) ы„ , (й = ы (/) + з (С). Если известно уравнение фазовой характеристики ~р (аг), то, подставляя в (6.94) вместо ы в соответствии с выражением (6.93) величину аг (() = ы, + агд соз й( и дифференцируя по (, получаем общее выражение для $ ((): (6.96) $ (() = — ( <р (аг + агд сов й()).
дг При периодической модуляции частоты $ (г) также являегся периодической функцией времени и может быть разложена в ряд Фурье. Так как при настройке цепи на среднее значение вынуждающей частоты «гд фазоваЯ хаРактеРистика обычно антиснмметРична относительно аг„то ряд Фурье содержит одни лишь нечетные гармоники: й, Зй, Зй ... Учитывая, наконец, что при изменении частоты по закону (6.93) производная аг, т. е. $ (г), является нечетной функцией времени, приходим к выводу, что ряд Фурье содергкит одни лишь синусоидальные члены, т. е. (6.96) $ (() = $, з! п й( + й, Ып Зйг + где Зо йм ... — амплитуды гармоник функции $ ((). Подставляя вырагкение (6.96) в (6.94), получаем Огвыд (() ж Огд+ агд соз йг+ ~г Яп (И + $~ Яп Зйг + ...
ж жег,+~ "огд+9) соз(йà — У)+З,Яп ЗйГ+... ж аг„+ +дгдсоз(йГ+у)+В,з(пЗйГ+... (6.97) Слагаемое $з под знаком радикала отброшено как величина высшего порядка малости по сравнению с агд'. Сопоставление выражений (6.93) и (6.97) позволяет сделать вывод, что влияние цепи на выходное колебание заключается в запаздывании фазы сообщения на угол у, определяемый выражением у = агс(н (В,магд), (6,98) и в возникновении нечетных гармоник в законе изменения мгновенной частоты. Как отмечалось выше, наибольшее значение обычно имеет последнее обстоятельство, Поясним применение метода мгновенной частоты на примере одиночного колебательного контура. Подразумевая под К ((аг) отношение комплексной амплнтудн напряжения на конденсаторе к амплитуде з, д, с„ включенной последовательно в контур, получаем К (Ь) 1/!ас . П+'( —,) тд)* Учитывая, что аг — ага = «гд соФИ и пренебрегая изменением га в числителе, так как величина гад обычно мала по сравнению с азн.
можем написать К(газ) ж , еч, г (1+1гаяти соз йм) '$/!+ (агд г„соз 111)з где гр = — ~ — + агс1н (азя т„соз йг)~. На основании соотношения (6,95) находим агу агав т„з1п зл' гй' 1+ад та созз гл Р (6.99) лгг ту з 416 ЩХ йд (5 нгдгн Рас. 6.«0. Зависимость коэффициента гармоник ат девиации гад при заданвай величине постоянной времеви контура т,. Рис. 6.30. Возникновение пвразитной амплитудной мадулянии при модуляции частоты, Применяя формулу (2.24), находим 9 = — ~ $ (1) з1п за (И), 9з = — ~ й (1) з(п З~М (ззг).
Произведя интегрирование [см. (2.553.3), (2.554.2) и (3.644.3) в И1, получим следующие окончательные формулы для амплитуд первой и третьей гармоник функции $ (1): й о гт,—.~" И,= — Ь'1+ ат: — 1). 9,= —,,' ' . (6.ИЕ) ягтн ~тн ын тн Здесь пт = аз /О.
Далее, по Чгормуле (6.98) находим фазовый сдвиг для сообщения у=ага(н — ' =ага(д ~ ()Г1+азд'т,',— 1)~. (6,101) гэл 1 "«ея ти Теперь нетрудно определить коэффициент гармоник по частоте 3ьд на выходе частотного детектора, для этого нужно разделить ам- плитуду Ф, третьей гармоники функции $ на амплитуду ы„основной частоты И (см. формулу (6.100)1: К,= — '=— (6 102) О>а .,1 .п,н График зависимости тК„,(в„т„) изображен на рис. 6.29.
Прп мат, (С 1 формулы (6.101) и (6.102) упрощаются: т ж Йт„; К„, (о т„) /4пь При ьат„-~ 1 (но и )) 1), т. е. при девиации, почти равной полосе пропускания контура, формулы (6.101) и (6.102) дают у 0,8/т, К,а = — 0,13/пь Итак, в условиях, когда метод мгновенной частоты применим, предельные искажения в одиночном контуре не превышакп долей процента. Нетрудно найти амплитудные изменения выходного колебания.
Лля этого можно воспользоваться резонансной кривой контура н произвести построение, показанное на рис. 6.30. Нетрудно видеть, что основная частота изменения огибающей амплитуд (/ вдвое превышает частоту модуляции й. Глава 7 ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАИНЫХ КОЛЕЕАНИИ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ тд ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАИИОГО ПРОЦЕССА Ограничиваясь рассмотрением стационарных случайных процессов, поставим задачу следующим образом: на входе линейного четырехполюсника (рнс.
7.1) с передаточной функцией К (йо) н импульсной характеристикой д (1) действует напряжение з ((), представляющее собой случайную функцию времени с энергетическим спектром )Г, (ш) и корреляционной функцией В,(т); требуется найти энергетический спектр (р,а (е) и корреляционнуюфункпию В, (т) колебания з„,„(г) на выходе чегырехполюсника. Задача легко решается с помощью рассуждений, приводяпшх к определению понятия аэнергетический спектр случайного процесса» (в з 4.3 см.
(4.31) — (4.33)). Если спектральную плотность ~ Хат (ы) ~ Ьй реализации в формуле (4.32) умножить на модуль передаточной функции К (со), по лучим спектральную плотность этой же реализации на выходе четырехполюсника. Отсюда вытекает следующее соотношение: ((тепыт (в) )Рт (в)К (в)' (7. 1) Возведение передаточной функции в квадрат объясняется тем, что уй,(в) является спектральной плотностью мощноспш случайной функции, между тем как К (в) определяет отношение напряжений (или токов) на выходе н входе. еИ Кщ (, емпМ То обстоятельство, что фазоча- ,РГт7 статная характеристика фильтра не играет никакой роли при опре- Рнс.
7.1. Линейный петыреипопюсделении (Р, „„(в), объясняется нии с постопннымн параметрами случайностью фаз спектральных составляющих входного колебания: добавление к ним фазовых сдвигов в фильтре ничего не изменяет в структуре колебания. Корреляционная функция случайного процесса на выходе фильтра определяется с помощью выражения (4.39): В,„„„(т)= — (р', „, (в) е'мтпв= — ) У,(в) К'(в) е'"тс(в. (7.2) 1 1 1' Соотношения между статистическими характеристиками случай.
ных процессов на входе и выходе цепи можно вывести также н па основе заданной импульсной характеристики цепи. действительно, поскольку спектральной функции (р'„(в) соответствует корреляционная функция В,(т)= — ' ~ В',(в)е"'ав, 2п а спектральной функции К ' (в)— В (т) = — ' ( Кт (в) е' ото, еп т. е.
корреляционная функция импульсной характеристики а (() (см., например, (2.118), в которой нужно Яе (в) заменить на К ' (в)], то произведению спектральных функций )р', (в) и К' (со) соотаетст. вует свертка функций В, (т) и В, (т) (см. (2.64)): В, „(т)= ~ В,(х) Ве(т — х)йх.
Таким образом, по заданным корреляционным функциям Вв (т) и В„(т) определяется корреляционная функция на выходе В„, (т), после чего находится энергетический спектр ввых (ге) ) Вввых (е) е Итак, спектральный и корреляционный анализ прохождения стационарного случайного процесса через линейную цепь с постоянными параметрами не связан с какими-либо трудностями. Иначе обстоит дело с определением закона распределения случайного процесса на выходе линейной цепи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
