Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 49
Текст из файла (страница 49)
1, и на напряжение '-игнала е„ получаем 1 ((/, + е,) = с' ((/е) 4- а„е, + ааез, (8,13) Соответствующая этой аппроксимации характеристика показана на рис. 8.5 штриховой линией. Напряжение (/и, соответствующее экстремумам аппроксимирующей функции и отсчитываемое от и = = 1/„, иногда называют напряжением насыщения. Заданием этого напряжения, а также а, (крутизны Я в точке (/я) однозначно определяют коэффициент а„в выражении (8.13). Действительно, в точке (/ + (/м, т. е. при амплитуде входного сигнала равной (/м, выполняется тождество ( .).——  — = а,-(-За,(/м =О, х/е, /хх=им откуда ах — — — а,/3(/и = — 5/3(/м.
(8. 14) Отметим, что аппроксимацией (8.13) допустимо пользоваться, когда напряжение сигнала не выходит за пределы +-(/и. 3. Рабочая точка находится на нижнем сгибе характеристики, изображенной на рис. 8.6. Если изменение напряжения настолько велико, что используетси участок, обозначенный на оси абсцисс буквами а, Ь, то для удовлетворительной аппроксимации требуется полипом пятой или более высокой степени.
При этом анализ сильно усложняется и применение степенного полинома для практических расчетов оказывается неэффективным. При очень больших амплитудах сигнала часто оказывается удобным заменять реаль- 1 ную характеристику идеализированной, линейно-ломаной, составленной из отрез- Ф я /хя л „ков прямых линий. Такое представление характеристики называется к у с о ч н о ° ряс. зб, Прямер харак линейной а и п р о к с и м а и и е й.
тярпятяяя, для яппрьхяя- Некоторые примеры кусочно-линейной апмяцяя хптьрья трясуетпя проксимации изображены на рис. 8.7. поланьи Янськпй степени. Рис. 8.7, а соответствует едуча/о, когда используется нижний сгиб и линейная часть характеристики (участок а — с); рис. 8.7, б — когда сигнал захватывает нижний и верхний сгибы (участок а — й), а рис.8.7, и— когда сигнал достигает также и падающего участка характеристики (участок а — /). Следует особо подчеркнуть, что замена реальной нелинейной характеристики линейными отрезками не означает линеаризации цеяи. Так, например, несмотря на то, что на участке Ь вЂ” с (рис. 8.7, а) характеристика линейна, по отношению к сигналу, захватывающему область изменения а — с, система в целом является существенно нелинейной.
Кусочна-линейная аппроксимация особенно проста и удобна для исследований и расчетов, когда основное значение имеет нижний сгиб характеристики, т. е. когда можно ограничиваться двумя пря- мыми (рис. 8.7, а). При более сложной форме используемого участка характеристики число.аппроксимируюших отрезков растет и кусоч но-линейная аппроксимация теряет свои преимушества. В подобных случаях иногда для аппроксимации применяются различные транс- р л в с л Р л 1 с в'и е х в г ссГХ гУ 7Р Рис.
8.7, Примеры кусочно-линейной аппрокснмапии характеристики при рвв- лвчимх прелелах ее иаюльвованин. цендентные функции, например гиперболический тангенс (4), экспоненциальные функции и некоторые другие. Описанные выше приемы аппроксимации применимы и к соответствующим характеристикам р е а к т и в н ы х нелинейных элементов. 83. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИИ НА ЦЕПИ С БЕЗЫНЕРЦИОННЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ Основные свойства таких цепей можно выявить из анализа воздействия гармонических колебаний иа р е з и с т и в н ы е элементы. В качестве такого элемента можно взять любой усилительный прибор с нелинейной вольт-амперной характеристикой.
Сначала рассмотрим режим работы, представленный на рис. 8.8, при котором напряжение сигнала е, (7) не выходит за пределы точки О, и вольт-амперная характеристика ((и) удовлетворительно аппроксимируется степенным полиномом (8.8). Подставив в (8.8) и = *= е, (!) = Е соз со,г, попучим ! (!) = ! ((7е) + отЕ соз оух! + ааЕ' созвсв,! + авЕв созе со,т +... (8.18) Форма тока ((г) показана иа рис. 8.8. С помошью тригонометрических соотношений ! 1, 3 1 со5 х = — + — сов йх; соз х = — со5 х + — соз Зх; 2 2 4 4 3 1 1 в 8 созе х = — + — соз 2х + — соз 4х; соз х = — соз х + 8 2 8 8 + — соз Зх+ — соз бх и т.
д., б ! 1б 18 выражение (8.15) приводим к виду !(!)=~!((/) + — ааЕ'+ — а Е' + ...1+ +~а Е-1- 8 авЕа ! а Еа+...) соэгвг/+ 4 В + ~ — а Ев-1- — а Е'-1- ..) соэ2со /+11 — а Е + — а,Е +.. ) Х / 1 1 /1 а Ь 'т2 В ) т4 1В ХсозЗоут/+11 — а Е'+ ...)соа4отг/+~ — ааЕ + ..) Х Х соз 5/вт /+ ... = Ув+ /, соа вт, /+ /а соа 2/о, /+ /„соэ Згв, /+ ... 18. 18) Из этого выражения видны следующие проявления нелинейности вольт-амперной характеристики при гармоническом воздействии: па/г/ Рис. 8,8. Слабо-нелинейный режим ра- Рис.
Вд. Спектр тока в режиме, прел- боты усилительного прибора ставленном нв рис. В. — ток покоя ! ((/в) получает приращение, обусловленное коэффициентами а„аа, ... при четных степенях полиномв (8.8): гв=!((/в)+ отЕ + атйм+-. (8.17)  — амплитуда У, гармоники основной частоты гв, связана с амплитудой возбуждения Е нелинейным соотношением, обусловленным нечетными степенями полинома (8.8): / а, Е+ — атЕ'+...; 3 (8.18) — ток ((/) содержит высшие гармоники с частотами пгоо кратными частоте воздействия го,.
Гармоники с частотами 2ым 4гп„... обусловлены четными степенями, а гармоники о частотами Згл„нгво . — нечетными степенями полинома (8.8). Спектр тока при коэффициентах а, 2мА/В, ал О,!5 мА/В", Рв = 0,03 мА/Вв, 1 ((/в) = 1О мА и амплитуде Е = 5 В показан на рис. 8.9. В данном примере всеми слагаемыми со степенью выше второй в выражении (8.15) можно пренебречь. Рассмотрим теперь работу того же нелинейного элемента в режиме существенно более нелинейном (рис. 8.10, а), получаемом при сдвиге рабочей точки (/в влево и соответствующем увеличении ам. плитуды возбуждающего напряжения Е.
В данном случае целе- Рнс. ЗДО. Существенно нелннедныа режнм рвбптм усилительного прибора. сообразно применить кусочно-линейную аппроксимацию волы амперной характеристики (см. 28.2, комментарий к рис. 8.7, а). При гармоническом возбуждении ток / (Й приобретает импульо ную форму (рис. 8.10, б) Угол 6, соответствующий изменению тона от максимального значения („, до нуля„получил название угла отсечки тока. Длительность импульсов тока равна 26 (рис. 8.10, б). Из рис. 8.10, а очевидно следующее выражение: соз 6 = ((/ь — (/в)/Е, (8.19) Амплитуда тока - о, (Š— ((/. — У„)) = а,Е (1 — со 6), (8.20) где а, — крутизна линейной части вольт-амперной характеристики (см.
выражение (8.9)1. При гармоническом возбуждении нелинейного элемента форма импульса гока в пределах — 6 ~ гвг «6 близка к отсеченной ко-'ииусоиде и, если пренебречь кривизной вольт-амперной харак- 1(У) = ) (соз 1 О), — 0 ~ юг ~ О. (8 21) Символом ! ' обозначено значение импульса, которое получилось бы при 0 = и/2. Так как амплитуда реального импульса ! соответствует моменту сог = О, имеет место соотношение 1,„= 1 (О) = 1;„(1 — соз 9), откуда !„'= I I(! — соз О).
Подставив зто выражение в (8,21), получим окончательно 1(1)= ' (со г — з0), — 0 Сю1~0. (8.22) 1 сове Основываясь на атом выражении нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье для периодической последовательности им- Рис. 6.11. Импульсный тои, соответст. вующий режиму, представленному иа рис. З.10. пульсов, представленной на рис. 8.!1. Ввиду четности функпии 1 (1) относительно 1 (см.
(8 22)) ряд содержит одни лишь косинусои- дальные члены. Применяя формулы (2.24) и (2.32), находим !в= — ~ 1(1) д(юг) =- ~(созтоŠ— сов0)л(со1)= 1 Р А в 2 п(1 — сов 6) -а о в1п Π— О сов 6 (8.23) и(! 61 1 = — ~ 1(г) созтоЫ(ю() 1 -в г1„, ~ (сов юу — сов О) сов соуп (сов)= п(1 — сов 6) о 6 — в1пзсовО и (1 — сов 6) (8.24) геристики на нижнем сгибе (рис. 8.10, а), мгновенное значение тока можно выразить уравнением Диалогично можно получить общее выражение для амплитуды и-й гармоники 2 (з1п Е соз 6 — в соз пе з1 и 6) ап (нз — 1) (! — ож 6) Отношения з(ое-6 Е оса (6) = — = ге )т 11 и (9)=- — т= саз (6) = —, lр )т и (1-соз 6) Š— МпЕ 6 и (1 — соз 8) (8.26) а„(0) = —" )т Рнс.
6.12. Коэффициенты разложения импульсного тока в ряд Фурье в за висимости от угла отсеаки 6. Растет. Кроме того, с повышением номера гармоники максимумы функций па (9) перемещаются в область малых значений 8. Все эти обстоятельства оказывают существенное влияние на выбор Режима работы нелинейного элемента при усилении колебаний, называются коэффициентами, соответственно, постоянной составляющей, первой гармоники и т. д.
функции Берга). Графики коэффициентов а„сс„аз, ..., а также отношения у = = а,йаа при изменении угла отсечки от 0 = О до 6 = 189' показаны на рис. 8.12, При 0 = О ток вообще равен нулю (нелиней- и ный элемент заперт на протяжении всего периода); при 4а 2 и 0 = 180' отсечка тока отсутст.- вует и режим работы стано- мг в вится линейным. Спектр тока 42 для нескольких значений угла нз отсечки представлен на рис. 8.13 (при 1' = 1).
Из рассмотрения графиков " зр ва ж вл а функций сс„(0) и спектрограмм тока можно вывести важные заключения. Бросается в глаза, что при работе с углом отсечки меньше 180' отношение вмплитУды пеРвой гаРмоники /, к постоаниой составлающей )а больше единицы, между тем как в линейном режиме это отношение много меньше единицы. Видно, что с уменьшением О отношение 7 = й~ ! 6 — 3!и 6 соз 6 (8.2"г) аа !а яп8 — есоз8 умножении частоты и на ряд других преобразований, которые изучаются в последующих параграфах данной главы. Рассмотрим теперь воздействие на нелинейный резисгивный элемент бигарлюыичеекого колебания е, (г) = Е, соз в,1+ Е, соз вт4.
Для упрощения анализа ограничимся в данном параграфе рас смотрением слабо нелинейного режима (рнс. 8.8), когда достаточно учитывать только линейный и квадратичный члены в полиноме (8.8). 4/4 =лт Иге Кум Рис, 8.13. Спектры импульсного тока при нескольких значенинх угла отсеч. «е. Подстановка (8.28) в ряд (8.8) приводит к следующим резуль. татам: — для линейною члена. ряда а„е, (г) = а,Е, соз в,1 + а,Ек соз вкй (8.29) для квадратичного члена ряда а, е,' (1) = а, (Ет соз в, 1-(- Еэ соз в, 1)к = а, Е1 соти в, г + +а,Еэсоз'вкг+2ат Е,Е,созв,1созв,г= е = — ат(Е1+Ет)+ — ак Е( сок 2вг т+ — а, Ет поз 2в, Г-)- 1 2 2 2 + а, Е, Е, (соз (в, -(-вн) т+ соз (в, — вт) Г), (8.
30) Первое слагаемое, не зависяшее от времени, определяет приращение постоянного тока. Слагаемые с частотами 2в, и 2о> пред. ставляют собой еторые гармоники от соответствуюших компонентов входного сигнала. Слагаемые же с частотами со, + в, н в, — в, представляют комбинационные колебания В более общем случае, проделав аналогичные преобразования над кубическим слагаемым а е', (т), убедимся, что это слагаемое нно. сит в спектр: в, в, — основные частоты; Зв„Зв, — третьи гармоники; в, + 2вт, ~ вх — 2вх!, 2в, + вт, ~2вт — вк! — комби. национные частоты. Продолжив подобный анализ для более высоких степеней ряда (8.8), можно показать, что при воздействии на нелинейное устройство бигармонического колебании в спектре на выходе нелинейности, описываемой полиномом я-й степени, могут присутствовать следующие частоты: в = 0 — постоянная составляющая", в = лв„ л = 1, 2, ..., А, — гармоники частоты в,; в = лв„л = 1, 2, „...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
