Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Именно модуляция частоты по закону ь„соз Й1 приводит к модуляции фазы по закону (со„/Й) з)п Йй Амплитуду изменения фазы Омана май (3.24) часто называют индексом угловой модуляции. Заметим, что индекс модуляции совершенно не зависит от средней (немодулированной) частоты вм а определяется исключительно величиной девиации ыд и модулирующей частотой Й. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда стабильное по частоте и фазе колебание пропускается через устройство, осу- Итак, общее выражение для 'высокочастотного колебания, амплитуда которого постоянна, т. е.
А (1) = А„а аргумент ф (1) модулирован, можно представить в форме а (О = Ао соз (м,(+ О (1) + Оэ), (3. 20) Соотношения (3.18), (3.19), устанавливающие связь между изменениями частоты и фазы, указывают на общность двух разновидностей угловой модуляции — частотной и фазовой. Поясним соотношения (3.18) — (3.20) на примере простейшей гармонической частотной модуляции, когда мгновенная частота колебания определяется выражением м (1) = м, + ы„соз Й(, (3.21) где а„= 2п)д представляет собой амплитуду частотного отклонения, Для краткости ы„в дальнейшем будем называть де в и ац н е й ч а с т о т ы или просто д е в и а ц и е й.
Через ы, и Й, как и при амплитудной модуляции, обозначены несущая частота и модулнрующая частота. Составим выражение для мгновенного значения колебания (тока нли напряжения), частота которого изменяется по закону (3.2Ц. а амплитуда постоянна. Подставляя в (3.19) в (1) из уравнения (3.21), получаем ф (1) = ~ (оэ, + а„соз Й() с(1+Ом о ществлягощее периодическую модуляцию фазы по закону О (() = = О „;, гйп й(, так что колебание на выходе устройства имеет вид а (() = Ао сок (гос(+ Омавс з1п й(+ Оо) Р 23) Какова частота этого колебания? Используя выражение (3.18), находим го (() = (юс (+Омаас з«п й(+Ос) юс+ Омавс Учитывая соотношение (3.24), приходим к выводу, что Ом,„,й = =- юв.
Таким образом, гармоническая модуляция фазы с индексом О .,„, эквивалентна частотной модуляции с девиацией юк = Омаасй. Из приведенного примера ,-.Л м Й ~ ф ь Ф, видно, что прн гармонической д". ф ~-кщ./ ~ф~ф'Г у~лозой модуляции по характеру "Усй колебания нельзя заключить, с ~ / "'1. какой модуляцией мы имеем де. ло — с частотной нли фазовой. с В обоих случаях вектор ОА, Гкс.
зд2. прадсгавлеивв высокосас- изображающяи на векторной тогкого колебания орв угловой моду- диаграмме модулированное колядки в виде качаюшвгосв вектора. лебание, качагтся относительно своего исходного положения таким образом, что угол О (рис. 3.12) изменяется во времени по закону О = О„,„, з1п й( при фазовой модуляции, О = (гов/й) з! и й( = = — Онако з1п й( при частотной модуляции (когда Лв = юк соз й().
Цифрами (, ((, (!( и ()/ отмечено положение вектора ОА при й( = О, и/2, и и Зп(2. Различие между частотной и фазовой модуляцией проявляется при изменении частоты модуляции. При частотной модуляции величина девиации год пропорциональна аигиштуде модулиругои«его напряжения и не зависит от частоты модуляции й. При фазовой модуляции величина О„,„, пропорциональна амплитуде мсдулируюи«его напряжения и не зависит от частоты модуляции й.
Эти положения поясняются рис. 3.13 и 3,14, на которых показаны частотные характеристики величин год и 0„,„, при частотной и фазовой модуляции. В обоих случаях предполагается, что на вход модулятора подается модулирующее напряжение с неизменной амплитудой «/, а частота й изменяется от й„ до й , , В первом случае, т. е. при частотной модуляции, величина гов, зависящая, как указывалось выше, только от амплитуды «/, будет постоянной величиной. Величина же индекса модуляции т =- ы /й = О„,„, с увеличением частоты будет убывать (рис.
3.13). Во втором случае, т, е. при фазовой модуляции, 0„„„, не зависит от !), а т» = О ,„,,ь) = тльа нзменяется пропорционально частоте модуляций (рнс. 3.14). Если на вход модулятора подается ма гармоническое, а сложное напряжение, то структура модулированного колебания различна при ЧМ н ФМ. В первом случае медленным изменениям сигнала, т. е.
низким частотам, соответствуют очень большие значения Ом,„, (рнс. 3.!3), а во втором — очень малые значения Фв (рнс. 3.14). Поясним это на примере. Пусть на вход частотного н фазового модуляторов подается одинаковое сянусоидальное напряжение, частота которого изменяется от г„„„ = 200 Гц до г"„,„, = 2000 Гц. Прн частотной модуляции зададим уд —— 20 кГц, а прн фазовой модуРис. ЗЛЗ. Зависимость девиации аа Рас. 334. Зависимость индекса т а и иидекса т ст модуаируюшей часто- девиации юа от модуаирующей часто- ты при сгМ. ты при ФМ. ляцни О„„„, = 0,5 рад, 'арнчем этн велнчнны прн заданной н нензменной амплитуде У остаются неизменными в полосе от 200 до 2000 Гц. Тогда прн ЧМ максимальное значение фазового отклонения прн гмии будет равно Омаес = )в!Рмиа = 20 000/200 = 100 рад, минимальное же значение фазового отклонения прн смаке составит При фазовой модуляции минимальная девиация, равная !д „„ = О ,„,1'„„и = 100 Гц, будет при нижней частоте модуля.
цнн г„ю,. Макснмальная же девиация, равная )д „„„ —— = Ом,„,г ,„, = 1000 Гц, будет прн верхней частоте модуляции. Помимо различия в структуре колебания (прн модуляция сложным сигналом), частотная н фазовая модуляции различаются по способу осуществления. В первом случае обычно применяется прямое воздействие на частоту колебаний генератора. Прн фазовой модуляцнн генератор дает стабильную частоту, а фаза колебання моду."лнруется в одном нз последующих элементов устройства, З.Ь. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ УГЛОВОЙ МОДУЛЯИИИ.
ОБШИЕ СООТНОШЕНИЯ Пусть задано колебание а(т) = А„сов (тэ,(.+ 6 (1)), (3.25) относительно которого известно, что передаваемое сообщение з (Г) заложено в функцию 6 (т). Если колебание а (Л получено с помощью фазовой модуляции, то 6 (т) и з (Г) полностью совпадают по форме и отличаются лишь постоянным коэффициентом. При этом, очевидно, с точностью до постоянного коэффициента совпадают и спектры функций 0(Т) и з (1). В случае же частотной модуляции функция 6 (() является интегралом от передаваемого сообщения з (().
Это вытекает из выражений (ЗАО) и (3.20). Так как интегрирование являстся линейным преобразованном, то прн частотной модуляции спектр функции О (т) состоит из тех >ке компонентов, что и спектр сообщения з (т), но с измененными амплитудами и фазами. Отвлекаясь от способа осуществления угловой модуляции— фазовой нли частотной и считая известным и заданным спектр функции О ((), найдем спектр модулированного колебания а ((). Для этого выражение (3.25) преобразуем к виду а (Т) =- А соз 0 (1) соз тэгТ вЂ” А, яп 6 (О яп я,( = = а„, (() — а,(() (3.26) Из (3.26) следует, что модулированное по углу колебание можно рассматривать как сумму двух знадратурнэтт колебаний; косинус- ного а, (()=А, соз 0 (т) соз я, ~ и синусного а, (() = А, яп 6 (() Х Х яп о,(, каждое из которых модулировано только по амплитуде; для косинусного колебания закон амплитудной модуляции определяется медленной функцией соз 0 (1), а для синуспого — фун1()тией яп О (т).
Ио в 3 З.З было установлено, что для определения спектра амплитудно-модулированного колебания достаточно сдвинуть на частоту я, спектр огибающей амплитуд. Следовательно, для нахождения спектра колебания а ((), определяемого выражением (3.26), необходимо сначала найти спектры функций соз О (() и яп О ((), т. е. спектры огибающих квадратурных колебаний. Перенос этих спектров на частоту таз можно затем осуществить таким же образом„ как и при обычной амплитудной модуляции. Из приведенных рассуждений следует, что при одном и том же передаваемом сообщении спектр колебания, модулированного по углу, значительно сложнее, чем модулированного по амплитуде.
Действительно, так как соз О (() и яп О (Г) являются нелинейными функциями своего аргумента О ((), то спектры этих функций могут существенно отличаться от спектра функции О (~): возможно возникновение кратных и комбинационных частот, как это имеет место при обычных нелинейных преобразованиях спектра. Это обстоятельство, а также наличие двух квадратурных слагаемых показывает, что при угловой модуляции спектр модулирован- ного колебания нельзя получить простым сдвигом спектра сообщения на величину несущей частоты со„как это имеет место при амплитудной модуляции. Связь между спектрами сообщения и модулированного колебания оказывается при угловой модуляции более сложной.
в.а. сйектР кОлеБАния НРИ ГАРмбническОЙ уГлОВОЙ МОДУЛЯЦНН Используем полученные выше результаты для анализа колебания вида а (1) = А, сов (ыо! + т яп Й1). (3.28') Это выражение совпадает с (3.23) и (3.23') при модуляции частоты по закону ы (1) = ыо + оо„сов И. Начальная фаза 0„ а также начальная фаза модулирующей функции у опущены для упрощения выкладок. В случае необходимости опи легко могут быть введены в окончательные выражения. В данном случае 0 (1) = и в!п И. Подставляя 0 (1) в выражение (3.26), получаем а (1) = А, сов (и яп Й1) сов во1 — Ао яп (и яп И)яп ооо1. (3 27) Учитывая, что множители сов (т яп Й() и в!и (т в!п Й() являются периодическими функциями времени, разложим их в ряд Фурье. В теории бесселевых функций доказываются следующие соотношенияя: яп (т яп И) = 2l, (т) яп Й1 + 2l о (т) яп ЗИ + + 2l, [т) яп бй1 +..., (3.28) сов (т в)п Й1) = (о (т) + 2.1о (т) сов 2Й1 + 2/о (т) Х х сов 4И + ..., (3.29) яп (т сов Й1) = 2/, (и) сов Й1 — 2/о (и) сов ЗИ + + 2/о (т) сов 5И вЂ” ..., (3.28') сов (т сов И) =- .1, (т) — 2.)о (т) сов 2Й1+ 2/о (т) х х сов4И вЂ”...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
