Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В соответствии с выражениями (3.60), (3.61) рассматриваемая функцня а (Е) представлена в виде проекция вектора А (Е) на ось абсцясс, относительно которой отсчитывается угол ф (Е) (рнс. 3.23). Для выяснения смысла выраженнй (3.60), (3.61), а также требовання, чтобы а, (Е) являлась функцпей, сопряженной по ГнльберГу исходной функции п (Е), рассмотрим сначала некоторые свойства А (Е), вытекающие непосредственно нз выражения (3.60) н справедлнвые прн любой функции а (Е), Прежде всего мы вндям, что в точках, где функцня а, (Е) равна нулю, имеет место равенство А (Е) = и (Е). Дифференцируя (3.60)„получаем г(А аа лат А — =а — +а,— бЕ аг а.
Из »того гримера видно, что прн нерациональном выборе аргумента ф (Е) (гоЕ вместо гооЕ) очень усложнялось выражение для А (Е), причем зта новая функция А (Е) по существу не является «огнбающей» в общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую а (Е) (вместо касания в точках, где а (Е) имеет максимальное значенне). Опернрованне подобной «огибающей» не имеет смысла, а в некоторых случаях н недопустнмо, так как может привести к ЕУ ошибочным практическим выводам (напрнмер, прн рассмотреннн работы амплитудного детектора). ф Неопределенности можно избежать прн представлении А (Е) я (уа ф (Е) с помощью следуюшнх соотношений: «т и л А (Е) = 'и'ат (Е) + а) (Е), (3 60) Рис.
З.кз К определению огибаю. щей амплиту«высокочастотного ф(Е) агс(й (а (Е)Еп (Е)) (3 61) колебании по Гильбевту. Отсюда видно, что при а, = О, когда А (Г) = о (Г), имеет место дополнительное равенство НА 0а и Н1 Следовательно, в точках, в котоРых ао (Г) = О, кРивые А (Г) и а (Г) имеют общие касательные. Этих условий, однако, еще недостаточно для того, чтобы можно было рассматривать А (1) как «простейп1ую» огибающую быстро осциллируоощей функции а (Г). Необходимо потребовать, чтобы кривая А (1) касалась кривой а (Г) в точках, в которых последняя имеет амплитудное или достаточно близкое к нему значение. Иными словами, в точках, где а, (Г) обращается в нуль, функция а (о) должна принимать значения, близкие к амплитудным.
Это условие как раз и обеспечивается, если функция а, (1) является сопряженной по Гильберту функции о (1). Это свойство преобразований Гильберта нагляднее всего иллюстрируется на примере гармонического сигнала. Пусть п(о) = соз ооой Найдем сопряженную функцию ао (1). Применяя общее выражение (3.62) и переходя к новой переменной х = т — 1, находим. а, (г) = — — ~ 1 Г а[с) ! Г соомот с(т = —— дт= ,) т — о и,) с — с 1 сао мок 1 . 1 5!п мок = — — соз соос с(х+ — з)п со,г ~ — дх. ,) к Ю о Известно, что — с(х=О соо к к (в смысле главного значения) и мпк — с1х = ос. к Следовательно, функции а (О = соз соог соответствует сопряженная функция а, (1) = з1п сооГ, которая проходит через нуль в моменты, когда исходная функция проходит через максимум.
Аналогичным образом нетрудно убедиться, что функции а (Г) = з(п сосу соответствует сопряженная функция по (о) соз сооГ Подставляя а (0 = соз в»» и а, (») = з1п в„г' в выражение (3.60), получаем для огибающей гармонического колебания общепринятое выражение А (») = соз» в»+ з(п в г = 1. Аналогичный результат получается и для а (0 = з1пв»г, а, (() = — соз в»~. Как видим, выражение (3.60) определяет огибающую в виде линии, касательной к точкам максимума исходной функции, и в случае гармонического колебания соединяющей два соседних максимума кратчайшим путем — прямой линией.
Таким образом, выражение (3.60) определяет хпростейшую» огибающую. Это свойство выражения (3.60) сохраняется и для сложного сигнала, если выполняется условие медленности изменения огибающей, т. е. если речь идет об узкополосном сигнале (см. выражения (3.2), (3.3)1. Если исходный сигнал представляет собой сумму спектральных составляющих а(Г) =~",(а„сов в„т+Ь„з1пв Г), (3.64) » то сопряженная функция а, (г) = ~ (а„з1п в„г — Ь„соз в„г). (3.66) Ряд (3.65) называется рядом, сопряженным ряду (3.64). Если сигнал а (г) представлен не рядом (3.64),. а интегралом Фурье О~ а (г) = — (а (в) соз в»+ Ь (в) з|п вг)ав, (3.66) 1 г то функция а, (г) может быть представлена в виде интеграла !» а, (~) = — ~ [а (в) з1п вг' — Ь (в) соз вг)с(в, (3.67) о .,сопряженного интегралу (3.66). Нетрудно установить связь между спектрами функций а(() 'и а, (»).
Так как при преобразовании гармонического колебания по ' Гильберту его амплитуда остается неизменной, то очевидно, что по модулю спектральная плотность 8, (в) сопряженной функции а, (г) -не может отличаться от спектральной плотности 3 (в) исходной функ'Йии а (г). Фазовая >ке характеристика спектра 3, (в) отличается от !фазовой характеристики спектра $ (в). Из сопоставления выражений '(3.67) н (3.66) непосредственно вытекает, что все спектральные со!в»тавляющие функции а, (Г) отстают по фазе на 90' от соответствую',щих составляющих функции а (г).
Следовательно, при в ) 0 .';::спектральные плотности Я, (в) и $ (в) связаны соотношением З,(в) = — 03(в), в)0, (3.68) В области отрицательных частот соответственно получается Ьд («о) = (б (в), в ~ О. (З.бй) Вследствие изменения фазовой характеристики сопряженная функция а, («) по своей форме может сильно отличаться от исходной функции а ((). Нетрудно, наконец, заметить, что если исходный сигнал записан в форме а (() = А (() созд[д (Г) = А (г) соз [в,М + 0 (г)+ 0„), (3.70) где огибающая А (Е) определена соотношением (3.60), то сопряженную функцию можно записать в аналогичной форме ад (() = А (() з(п ф (Г) = А (() Яп [во«+ 0 («) + Оо) (3.71) Это вытекает непосредственно из определения (3.61) и рис. 3,23. После того как найдена сопряженная функция а, (()„нетрудно с помощью выражений (3.60), (3.61) найти огибающую А (г), полную фазу дг («) и, наконец, мгновенную частоту узкополосного сигнала в («) «~~~ (О «~ [агс( ад (О[ а («) ад' 03 — ад (О а' (О (3 72) «(««(«[ о ГО ) од (О+а[ («) (3.74) а (Г) = А, соз вд«+ Ао соз вот, и требуется а («) представить в форме а (Г) = А (О соз [во( + 0 Щ + 0,).
(3.75) Расстройка [ддв[ = [в, — в,[ полагается настолько малой по сравнению с(в, + во)/2, что колебание.а (() можно считать узкополосным. Что следует в данном случае подразумевать под А (О, в, и О (Ю Непосредственно из выражения (3.74) трудно выявить структуру огибающей и фазы результирующего колебания а ((). Используем поэтому выражения (3.60), (З.б!). Сопряженная функция ад (() = Ад з(п вд( + А» з(п вой Выделив в найденной таким образом частоте в (() постоянную часть во, можно написать выражение для д[«(«): ф(Г) = во«+ 0(0+ О„ (3.73) в котором О (() не содержит слагаемого, линейно зависящего от времени.
Тем самым устраняется произвол в выборе «средней частоты» сигнала в, и соответственно функции О («). Поясним применение преобразования Гддльберта для о[)ределения огибающей фазы и мгновенной частоты сигнала на следующем примере. Пусть задан сигнал в виде суммы двух гармонических колебаний с близкими частотами в, и в,; Применяя формулу (3.60), находим огибающую сигнала а (»)» А (1) =) ~(А» соз е»»»+ А, соз со,1)'+(А» з»п «»,7+Аз з1п «»з 1)'= = А») 1+»»'+ 2й соз Л»з», й = А,/А»; Л»з = »з — е»„ (3.76) где причем для определенности считается, что и «=' 1 н Ле» » О. Полную фазу суммарного колебания находим по формуле (3.61)» ф(г) =агс1и — "'1) =агс18 '""» "~ . (3.77) а(») созе»»+з с»а»ь» Применяя далее формулу (3.72), после несложных алгебраических я тригонометрических преобразований приходим к следующему выражению для мгновенной частоты: »»+сов Ь»»» + ~, (~) (3 781 ! + /Р+ 2а соз Л»»» »»+соь ЬоМ 1 т»»ю + 2»» соз ае» (3.79) Так как постоянная составляющая функции т)((), равна нулю, то входящие в выражение (3.73) средняя частота»з, и функция О(т) будут »зо = »"»* (3.80) О (г) = »»»з ~ т» (») Ф.
о (3.81) Итак, на основания (3.76), (3.78) и (3.80) — (3.8!) выражение (3.76) приводится к виду (3.82) :где т» (О определяется выражением (3.79). При атом исключается произвол и неопределенность в выборе ;'огибающей и фазы суммарного колебания. Граф»»ки функции») характеризующие изменение частоты приведены на рис. 3.24 для некоторых значений й, При й-э.! :.~»олучаются выбросы, описываемые дельта-функциями, Это соот- ветствует производным скачкообразно изменяющейся фазы (на 180') в моменты времени, когда огибающая биений обращается в нуль.
При А~(1, т. е. при наложении слабого колебания А, соз ва1 на сильное А, соз агг, выРажениЯ (3.76) — (3.79) значительно УпРощаются: А (1) ж А, (1 + А соз Лв1), а, = аб в (1) ж а, + ЙЛа соз Лв1; (3.83) ф (г) як вх1 + из)п Лай В этом случае огибающая, частота и фаза суммарного колебания изменяются по гармоническому закону с частотой ! Ла~ =- ! в,— — а,~ относптельно своих средних значений соответственно А„ вг и а,1. Формулы (3.76) — (3.83) имеют болыпое прикладное значение, так как в радиотехнической практике часто приходится иметь дело с биениями двух гармонических колебаний, Рис. 3.24.
А4гновенная частота колебания, являвшегося суммой нвух гармони. ческих колебаний. В заключение следует отметить, что в некоторых специальных случаях выражения (3.60) — (3.69) используют также и для широкополосных сигналов, когда понятие согибающая» амплитуд теряет свой обычный смысл.
При этом отказываются от требования, чтобы огибающая А (1) касалась кривой а (1) вблизи точек, в которых а (г) имеет амплитудное значение. ЗДВ.АНАЛИТИЧЕСКИИ СИГНАЛ В электротехнике принято представлять гармоническое колебание (ток, напряжение) в форме а (1) = Ае сок (акт+ Ое) = Аа Ке(еп"и+ил) = Ке [Ао е"'и) (384) или а (Е) А, гйп (м,Едо В) =А» 1ш [еФ"'+ел[ =1гп [А, ен» "1, (384) где А, = А,е'໠— комплексная амплитуда. Часто символы Ке или 1ш опускают и пишут просто а (Е) = А спим+а 1 = Ао е'"', (3.85) подразумевая действительную или мнимую часть этого выражения.
В современной радиотехнике представление колебаний в комплексной форме получило дальнейшее развитие и распространено на негармонические колебания. Если задан физический сигнал в виде действительной функции а (Е), то соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме (3.86) г(Е) =а(Е)+ Еа,(Е), где а, (Е) — функция, сопряженная по Гильберту сигналу а (Е).
Определенная таким образом комплексная функция г (Е) называется комплексным или а н а л и т и ч е с к и м сигналом, соответствующим физическому сигналу а (Е). Заметим, что и в выражении (3.85) мнимая часть комплексной функции является функцией, сопряженной по Гильберту действительной части. При представлении а (Е) и а, (Е) в форме выражений (3.70), (3.71) аналитический сигнал можно записать следующим образом: г(Е) = А (е) ен»ю = А (Е) ел"г ьй~>+ал = А (Е) е' ' ~, (3 87) где (3.88) А (Е) = А (Е) еюЕвю+ел представляет собой комплексную огибающую узкополосного сигнала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
