Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Спектр уакополосного радиосигнала (а) и комплексной огибающей итого сигнала (6). зательно симметричен относительно центральной частоты гос = (го, + го )/2, Под узкополосностью сигнала подразумевается условие Л Ъ, =' АЫ, <С 1, где глДа бгоа/2п = )и — ~, — полоса частот, Гц. Предполагается, что функция А (г) является простейшей огибающей, т. е. что А (~) и ф (1) отвечают соотношениям (3.60) и (3.61). Если при дискретизации подобного сигнала исходить из ряда (2.120), то интервал между выборками должен быть не больше чем 1~2Га, где Ве — наивысшая частота в спектре сигнала. Нецелесооб- разность такого подхода очевидна, так как информация о сигнале заложена не в частоту /, (или /,), а в огибающую А (/) или в фазу О (О, которые изменяются во времени медленно, с относительно низкими частотами модуляции.
Желательно поэтому так преобразовать выражение (2.120), чтобы интервалы между выборками определялись фактической шириной спектра, т. е. величиной Л/и а не верхней частотой /и Для этого перейдем к аналитическому сигналу, соответствующему заданной функции а (/1: г (/) А (/) е~эа~ А (/) ежсче'в. А (/) е ам (3 100) где комплексная огибающая А (/) = А (/) е'э~о представляет собой низкочастотную функцию, спсктр которой $л (Й) примыкает к нулевой частоте (рнс. 3.30, б).
Разложим комплексную функцию А (/) = А (О е'эсо по ортогональной системе (3.110) А (/) =- ~' с„ т„ (/), й= — оо где базисная функция ч„(/) определяется выражением (2,121). Подставив этот ряд в (3.109), получим г, (/) = 'У с„ср„(/) е""", (3.111) после чего исходное колебание а (О определим как действительную часть функции г„(/): (3.112) Как видим, задача дискретизации высокочастотного колебания свелась к задаче дискретизации комплексной огибающей А (/). При определении наибольшего допустимого интервала между выборками в разложении (3.110) необходимо исходить из наивысшей частоты в спектре функции А (/).
Из определения ыэ как средней частоты в полосе Ла, очевидно, что эта частота, отсчитываемая от Й = О, равна Ла,/2, или в герцах Л|э/2. Следовательно, интервал между выборками не должен превышать Л/ 1/2 (Л/о/2) 1/Л/и (3,113) а функция чь, (/) должна иметь вид (3.114) р. (/)— (Лаю/2) (/ — адО яд1о (/ — лЛО От аналогичной функции, использованной в 5 2.14, ~р„(/) отличается только заменой м на Ла,/2, Следовательно, спектральная плотность Ф (11) функции срр (/) равна 2п/Лв, = 1/Л/, в полосе частот (й! ( Лгоо/2 (рис. 3.30), а спектральная плотность функции а/„(/) л . ! е-/ ага е — / тги при !й(( две аве/2 а/а 2 0 при )й(~ —.
2 (3.115) Ф„(й) = Квадрат нормы функцни гр„(/) по аналогии с выражением (2.!23) !! р ((' = и/0,6Лгоа = 1/Л/а. (3. 116) Далее по формуле (2.9) с учетом (3.1!6) с„= ) А (/) <р„!/) г//=Л/а ~ А (/)го„(/) г(Л (3.! 17) )гг Г Используя формулу (2.63), в которой заменяем го на йт, получаем Ьвю/2 са = Л/о — ~ 8л (й) ГРа ( — й) «й= 1 ап ьв*/ т Ьвю/2 =Л/о — ! Ял(й) — е/" г(й = А (пИ) = А (пЛ/) е/омал. 2л о/о — аво/я (3.118) В выражении (3.! 18) Зл — спектр комплексной огибающей А (/), а А (пИ) — ее значение в отсчетной точке / =- пИ. Итак, коэффициенты ряда (3.110) являются выборками функции А (/), взятыми через интервалы И = 1/Л/а.
Подставляя (3.118) в (3.!11), получаем аа (/) = ~~ А (пИ) г(/о (/) е' и по формуле (3.112) определяем а(/) = Я А(пЛ/) гр„(/) соя[в„/+ О(пИ))= , А,,„а ч/.(г — вб, 1„,+О(„ЛО! (3110) па!, (/ — ло/) т Поскольку алесь рассмаграаается спектр огибая/щеа. При заданной длительности сигнала Т, число отсчетных точек Т,/И = ТоЛ/„причем в каждой точке должны быть заданы два параметра: А (пЛ1) и О (лЛ/). Следует иметь в виду, что при несимметричном (в полосе Лв«) спектре введенная в данном параграфе частота «з = (м, + свД/2 может ие совпадать со «средней частотой> в выражении (3.73), Иными словами, фаза 9 (/) может содержать слагаемое, линейно зависящее от времени, Проиллюстрвруем выражение (3.1!9) на примерах колебания, промодулированного по амплитуде или по частоте. При АМ исходим из колебания а (/) = А (Г) соз а> Г, в котором А (г) — вещественная функция со спектром 3л (о), ограниченным наивысшей частотой Й = 2пг .
В этом случае ширина спектра модулированного колебания а (/) равна Л/,„= 2Е, причем в пределах этой полосы спектральная плотность Я, («в) симметрична относительно «>>, Интервал между выборками в соответствии с формулой (3.1!3) должен быть не болыпе чем Л/ = 1/Л/«„= 1/2г", т. е. таким же как и при дискретизации исходного сообщения (модулирующего напряжения). Так как фаза высокочастотного заполнения при чисто амплитудной модуляции постоянна, то передавать ее нет необходимости.
Отсюда вытекает очевидный результат: амплитудно-модулированное колебание вполне определяется значениями своих амплитуд, взятыми через интервал 1/2г", где г" — верхняя частота в спектре модулирующей сву»и«иии (т. е. в спектре передаваемого сообщения).
Иными словами, при чисто амплитудной модуляции число степеней свободы модулированного колебания такое же, как и число степеней свободы модулирующей функции. Рассмотрим теперь частотно-модулированное колебание а(Г) = А сов!о 1+ О (Г)1, когда мгновенная частота «> (/) = «>, + йо/Ж модулирована тем же сообщением, что и в предыдущем случае, причем максимальная девиация частоты /д велика по сравнению с р, так что ширину Л/, полосы частот модулированного колебания можно приравнять к 2/ (случай «широкополосной» частотной модуляции, (3.34)). Интервал между выборками должен быть взят ЛГ(1/Л/, = 1/2/д.
Так как при ЧМ амплитуда колебания неизменна, то передавать ее нет необходимости. Следовательно, для однозначного представления частотно-модулированного колебания достаточно задавать фазу О (пЛг) этого колебания в отсчетных точках, отстоящих одна от другой на время Л/ ( 1/2/д. При одной и той же длительности сообщения Т, число выборок фазы при ЧМ равно Л/,„Т, = =2/к Т„а число выборок огибающей при АМ равно Л/>нТ« = 2с Т,.
Отсюда видно, что при одинаковом передаваемом сообщении (при одинаковом количестве информации) частотно-модулированный сигнал обладает числом степеней свободы в Д„/г = т раз большим, чем амплитудно-модулированный сигнал. Это является результатом расширения спектра сигнала при ЧМ. На приемной стороне канала связи после частотного детектирования модулированного колебания выделяется напряжение, которое имеет спектр и число степеней свободы такие же, как и исходное сообщение. Из приведенного примера видно, что при одной и той же ширине спектра информационная емкость радиосигнала различна в зависимости от вида модуляции. При смешанной модуляции — амплитудной и угловой — в каждой отсчетной точке нужно брать две выборки: амплитуды и фазы, Глава 4 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ 4Л.
ОВЩИВ ОПРКДПЛННИЯ СЛиЧАИИЫХ ПРОЦКССОВ лу ной после приема сообщения, называется реализацией случайного процесса. Эта реализация является уже ие случайной, а детерминированной функцией времени. Важной но не исче пываю- "Ъ и Р щей характеристикой случайл ~ ного процесса является присуо щий ему одномерный закон распределения вероятностей.
На рис. 4.1 изображена совокупРис. 4.!. Совокупность функпнй, оа- ность функций хт (г) (хв Ф раауниннх случайный пйопссс. образующих случайный процесс Х (1). Значения, которые могут принимать отдельные функции в момент времени 1 = 1„образуют совокупность случайных величин хт (ут), х, (1,), ...
Вероятность того, что величина ха (1,) при измерении попадает В какой-либо заданный интервал (а, Ь) (рис. 4.1), определяется вы- ражением Информация, передаваемая по каналу связи или извлекаемая в результате измерения, заключена в сигнале. До приема сообщения (до испытания) сигнал следует рассматривать как случайный процесс, представляющий собой совокупность (ансамбль) функций времени, подчиняющихся некоторой общей для ннх статистической закономерности. Одна из этих функ- ций, ставшая полностью извест- Функция р (х; г») представляет собой дифференциальный закон распределения для случайной величины х (Г,); р (х; г«) называется одномерной плотностью вероятности, а Рь — интегральной вероятностью.
Функция р (х; й) имеет смысл для случайных х непрерывного типа, могущих принимать любое значение а некотором интервале. Прн любом характере функции Р (х; г») должно выполняться ра- венство маке р(ж г,)дх=1, мин (4.2) где хм,„и х„„„, — границы возможных значений х (г«). Если жс х является случайной величиной дискретного типа и можег принимать лишь одно яз конечного числа дискретных значений, то (4.2) следует заменить суммой (4 "') где Р, — вероятность, соответствующая величине х,. Задание одномерной плотности вероятности р (х; г«) позволяет произвести статистическое усреднение как самой величины х, так н любой функции г (х). Под статистическим усреднением подразумевается усреднение х по множеству (по ансамблю) в каком-либо «сечении» процесса, т.
е. в фиксированный момент времени.- Для практических приложений наибольшее значение имеют следующие параметры случайного процесса: — среднее значение (математическое ожидание, первый момент> (х (г,) ) = ( хр (х; («) г(х, (4.3) — средний квадрат (второй момент) (х»(г',))= ~ ха р (х", Г«) йх, см (4.4) — средний квадрат флуктуации (дисперсия) о,' («а) = <: (х — м. х))а=» = (х») — ((х))з. (4.5) В выражениях (4.3) — (4.5) угловые скобки означают операцию усреднения по множеству (ансамблю). Одномерная плотность вероятности недостаточна для полной характеристики случайного процесса, так как она дает вероятностное представление о случайном процессе Х (Г) только в отдельные Фиксированные моменты времени Более полной характеристикой является двумерная плотность вероятности' р (х„х,; (г, гз), позволяющая учитывать связь значений х, и х„принимаемых случайной функцией в произвольно выбранные моменты времени (г и (з.
Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса является и-мерная плотность вероятности при достаточно больших п. Однако большое числозадач, связанныхсописанием случайных сигналов, удается решать на основе двумерной плотности вероятности. Задание двумерной плотности вероятности р (х„ х,; гг, гз) позволяет, в частности, определить важную характеристику случайного процесса — коррелянионную функцию (второй смешанный момент) (4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
