Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(3. 29') Здесь )„(т) — бесселева функция первого рода и-го порядка от аргумента т. С помощью соотношений (3.28) и (3.29) уравнение (3.27) можно привести к виду (1) Ао ( )о (и) сов ыо1 2 71 (и) яп Й1 в)п !о~1 + + 2(о (и) сов 2Й1 сов соо1 — 2/о (т) яп ЗЙ1 яп мо! + ..), (З.ЗО) или в более развернутой форме а (Г) = Ао сов (гоо1 + т з)п й() Ао()о (т) сов соо( + + ) ~ (т) (сов (яо + й) 1 — сов (ыо — й) 1) + го (т) (сов (ооо + + 2й) Ф + сов (гоо — 2й) Л + !о (т) (сов (ооо + Зй) (— — сов (гоо — Зй) г) + ...) (3.31) Таким образом, при частотной и фазовой модуляции спектр колебания состоит из бесконечного числа боковых частот, расположенных попарно симметрично относительно несущей частоты гоо и отличающихся от последней на ий, где п — любое целое число.
Амплитуда и-й боковой составляющей равна А„= У„(гп) А„ где А, — амплитуда немодулированного колебания, а т — индекс модуляции. Отсюда следует, что удельный вес различных боковых частот определяется величиной т. Рассмотрим режимы угловой модуляции при малых и больших значениях т. Если т (( 1, так что имеют место приближенные равенства яп (т яп йг) ж т яп й1, сов (т в1п й1) = 1, то выражение (3.27) переходит в следующее: а(1) — Ао(сова 1 — тяпйГв)пгооГ)= = Ао ~сов ыо ( + — сов (ооо + й) ( — — сов (ооо й) 1~ .
(3.32) Сравним зто уравнение с уравнением для амплитудно-модулированного колебания, у которого модулирующая функция (т. е. передаваемое сообщение) такая же, как и при частотной модуляции. Так как выражение (3.32) получено из (3.25') для модуляциИ частоты по закону ы (Г) = ы, + ы сов й(, то для удобства сравнения зададим модуляцию амплитуды по аналогичному закону А (1) = А, (1 + М сов й(). Тогда амплитудно-модулированное колебание запишется в форме а„, (г) = А, (1+ М сов йГ) сов ы, г = Ао~совгооо + — сов(гоо + й)1+ — сов(гоо й)1~ . (3.33) М М Из сравнения (3.32) н (3.33) видно, что при малых значениях т спектр колебания, как и в случае амплитудной модуляции, состоит из несущей частоты гоо и двух боковых частот: верхней я, + й и нижней гоо — й. Единственное отличие заключается в фазировке колебаний боковых частот относительно несущего колебания.
При АМ фазы колебаний боковых частот симметричны относительно несущей частоты, а прн угловой модуляции фаза колебания нижней боковой частоты сдвинута иа 180' (знак минус перед последним слагаемым в (3.32)). Это положение иллюстрируется векторной диа- граммой, показанной на рис. 3.15, а. Направление вектора РСа при амплитудной модуляции обозначено штриховой линней. Изменение направления этого вектора на 180' приводит к тому, что вектор модуляции Рг всегда перпендикулярен к направлению вектора ОР, изображающего несущее колебание (рис.
3.15, а). Вектор Ог, изображающий результирующее колебание, изменяется как по фазе, так и по амплитуде; однако при т = 6„,„, (( 1 амплитудные изменения настолько малы, что ими можно пренебрегать и модуляцию можно в первом приближении рассматривать как чисто фазовую. и ФФ Жl РГ Гна аа11 Па л Х ! Рнс. 3.1б. Векторная диаграмма 1а) н спектр колебания 1б) ири угловой мо- дулянаи с индексом гл С1. Спектральная диаграмма угловой модуляции при т (( 1 показана на рис.3.15, б. Симметрия амплитуд колебаний боковых частот сохраняется, а фаза колебания нижней частоты сдвинута иа 180'.
Амплитуды колебаний боковых частот равны тлв/2 и поэтому в данном случае индекс модуляции т совпадает по величине с ковффициентом М, характеризующим глубину изменения амплитуды при амплитудной модуляции. Заметим, что ширина спектра при т((1 равна 2Й, как и при АМ. Этот результат показывает, что при очень малых девиациях го 1по сравнению с Й) ширина спектра от величины'гон не зависит. При увеличении фазового отклонения, т.
е. при возрастании величины т, уравнение 13.32) и диаграмма на рис. 3.15, а не дают правильного представления о действительной картине явлений при частотной или фазовой модуляции. Это объясняется тем, что с помопгью колебаний несущей частоты и всего лишь одной пары боковых частот невозможно представить колебание, частота или фаза которого изменяются в широких пределах, а амплитуда остается строго постоянной. Для получения правильной картины необходимо :учитывать боковые частоты высших порядков в соответствии с вы- :ражением (3,31). При значениях индексов и от 0,5 до 1 приобретает некоторое значение вторая пара боковьгх частот, ввиду чего ширина спектра должна быть приравнена 4Й. Далее, при 1 ~ и( 2 приходится учитывать третью н четвертую пары боковых частот и т.
д. Спектрограммы для и = 1 и и = 2 приведены на рис. 3.16. Фазы колебаний на этих рисунках не учитываются, однако следует иметь в виду, что при четных и симметрия фаз л гтаа сохраняется, а при нечетных п амплитуды нижних боковых частот следует брать со знаком минус. Амплитуды всех составляющих спектра представлены на этих рисунках в виде ве тикальных отрезЮ е/ ков, длины которых равны /а (и), Рнс.
3.!б. спектРы колебание пРн а Расстоиниа от отРезка /а (и), со- угловой монулаппп: ответствующего амплитуде колебав — пае м=н б — пре т Е ния несущей частоты, равны пй, где й — частота модуляции, а и— порядковый помер боковой частоты. Амплитуда результирующего колебания принята за 100е4, т. е. А = 1; обозначенные на рисунках величины и'„(и) дают амплитуды колебаний соответствующих частот в долях от амплитуды результирующего колебания. 3 Цлг/ -и~т еа 4а/гн/ /айт/ Рнс. 3.!7. Чгаанровка колебаний боковых частот в раалнчные моменты времени.
Векторные диаграммы для моментов Ы = О, и/2, и и Зи/2 при и = 1, построенные по выражению (3.30), представленные на рнс. 3.17, а, б, в и г. Рассмотрим теперь случай больших значений и. Вопрос сводится к выяснению зависимости бесселевой функции /„(и) от порядкового номера и при больших значениях аргумента и. Оказывается, что при и )) 1 величина )./„(и) ( более илн менее равномерна при всех целых значениях (п), меныпнх, чем аргумент и.
При )и), близких к и, )у„(и)! образует всплеск, а прн дальнейшем увеличении ) п) функция )./„(и) ) быстро убывает до нуля, Общий -я»с Р Ю« Зт. СПЕКТР РАДИОИМПУЛЬСА С ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫМ ЗАПОЛНЕНИЕМ При модуляции частоты колебания по закону, отличающемусяот гармонического, нахождение спектра колебания усложняется.
Выбор наиболее удобного метода анализа зависит от характера модулирующей функции, Поясним один из возможных методов на примере широко распространенного сигнала, так называемого ЛЧМ импульса, т. е. импульса с линейной частотной модуляцией.
Подобный сигнал изображен на рис. 3.19, а, а закон изменения частоты заполнения импульса — на рнс. 3.19, б. Мгновенную частоту заполнения оз (1) = 2п~ (1) можно определить выражением а(0 = ото + ()1, (11 «= Тс!2, где ~ = 2шд!Тс = 2 2п~лlТс (3.38) характер этой зависимости показан на рис. 3.18 для т = 100. Из исунги видно что наивысший номер и бекова» частоты, которую еще необходимо принимать в расчет, приблизительно равен индексу модуляции т (в данном случае и = 100). М) Приравнивая зто максимальное значение и„,„, величине т, приходим к выводу, что полная Р,т» ширина спектра модулированного Р,дг колебания равна 21пнаас[Й 2тй. йрс «то т = шл/Й, следовательно, при больших индексах модуляции пи«рина спекглра модулированного колебания близка к удвоенной де- "«"и'"'П ад виации частоты Рнс.
3.!8. Ширина спектра ЧМ ко- (анаис( «сл ( ) лебания при больших значениях с та полоса частот обозначена в индекса модуляции ль нижней части рис. 3.18. Заметим, что в соответствии с определением и 1см. (3.24)1, вьь ражение «модуляция с мальв«индексом» эквивалентно выражению «быстрая модуляция», а выражение «модуляция с болыпим индексом» эквивалентна выражению «медленная модуляция». Поэтому можно сформулировать следующее положение: при быстрой угловой мсдуляции (когда тои (( Й) ширина спектра модулированного колебания близка к величине 2Й; при медленной угловой модуляции (когда о»л )) Й) ширина спектра близка к величине 2«ол.
и/ -й/г тй+>~ б/ есть скорость линейного изменения частоты внутри импульса. Тогда ь мгновенное значение колебания, представленного на рнс. 3.19, а, тсР - г можно записать в виде -( а (») = А, соз О ы (») /»») = ! / р»гг = Ассоз ~/со» + 2 — (З.ЗУ и 2 Произведение полной девиации частоты на длительность импульса 2/'аТ, = пг (3.38) Рис. Зцэ. ЛЧ»й импульс (а) и изменение частоты его заполнения (б).
является основным параметром ЛЧМ сигнала, Сопоставление выражения (3.38) с (2.128) указывает на возможность трактовки гп как базы ЛЧМ сигнала. С учетом (3.38) выражение (3.36) можно записать в форме р = 2ппг»Т',. (3.39) При этом сигнал а (») определяется выражением а(»)=Ассог(о/с»+ — ) — — ~,с.»( — '.' (ЗАО) с Определим спектральную плотность этого сигнала с помощью общего выражения (2А8): а тс/г Б(сс)=Ас ~ соз (огс»+ — "," ~е — /и/е»»= — ' х — и /и с тс/ Х ~ ехр ~» ~ —, — (ог — ого)»1~ /»»+ -т /г с т,/г „р( — ~( —,Ре( еь~))а.
(з4О с /г Первое слагаемое в правой части полученного выражения определяет всплеск спектральной плотности вблизи частоты ог = ого' а второе — вблизи частоты со = — /ос. При определении 3 (сс) в области положительных частот второе слагаемое можно отбросить (см. формулу (3,!О)). В первом же сла- гаемом показатель степени в подыптегральной функции целесообразно дополнить до квадрата разности ()) считаем положительной величиной) илзе Г паис (ы ы,)1 (а в,) Г+бс У тс, Тс (3.42) где г)= (ы — ссс) Т,)2)'пгл. (3.43) Подставляя выражение (3.42) в (3.41) и переходя к новой переменной у=Ь тат Г(Тс — б, (3.44) получаем тс~з Б(ы)= — е-' ~г ехр ( — — с( й = — — ' х Ас Г . / ~Глас ) 1 Ас Тс -т тт с Г/- сс„(~ с-с1ю) -~ =1"=-:")- Введем следующие обозначения: (3.46) (3.47) В этих обозначениях выражение для 8 (гз) принимает еледующий вид: с~ ) — — *Р— )'(1 "~9~ ) ~~ У~ (3.4с Используем известное из математики соотношение .2 Г l 2 Г 2 '— ~ е'с'~(у= 1,т — ~ созусг(у+ф — Х а о х Гз(п ус ау=С(х)+ 13(х), где С (х) и 5 (х) — интегралы Френеля.
св С помощью этого соотношепня выражение (3.48) можно привести к виду 3(со)= — '" ="- йуу р~ — '(со '> ~ (С(ис)+ 23 +С (из) + с ! Я (ис) + 3 (из)!) (3.49) Из (3.49) следует, что модуль спектральной плотности рассматрнваемого сигнала равен т,л, 3(со)= —.— = Х 2)/т (/2 х 'кл(С(ис)+С(из) )з+(5(ис)+3 (из) !' (3.50) Рис. 3.20. Спектральная плотность ЛЧМ импульса при различных значениях базы т=2!лты 33. СПЕКТР КОЛЕБАССИЯ ПРИ С34ЕШАННОЙ АМПЛИТУДНО ЧАСТОТНОЙ МОлсУЛЯНИИ Обобщим выражения (3.25), (3.26), заменив в них постоянную амплитуду А, функцией времени А ((): а (О = А (1) соз (соо( + О (1)) = А (4 соз О Щ соз соо(— — А(г) 3!ПО(1) 3!Псоог = ас (с) а (с) (3,52) а фазовая характеристика спектра 4 пря со)0 (со — ыо)з р(со)= — — + 6 Ж + агс(й ' =- — Х С(ис)+С(из) 4 ( — ы)' + ! И(и)+ Б(ч) Я С (и )+ С (и ) +агс(д ' (3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
