Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Модуль комплексной огибающей, равный А (Е) [поскольку [е'еаи1+а«Е[ = 1 при любом законе изменения В (Е)1, содержит информацию только об амплитудной модуляции колебания, а фазовый множитель е*оеп — только об угловой модуляции. В целом же произведение А (Е)е'"щ содержит полную информацию о сигнале а (Е) (за исключением несущей частоты о„которая предполагается известной). Это свойство комплексной огибающей, позволяющее при анализе узкополосных сигналов исключать из рассмотрения частоту ы„ придает важное значение понятию «аналитический сигнал». рассмотрим основные свойства аналитического сигнала и ком' плексной огибающей.
1. Произведение аналитического сигнала г (Е) насопряженньш кир сигнал г," (Е) равно квадратр огибающей исходного физического) ;, сигнала а (Е), Действительно, г, (г) г," (г) = [а (г) + Еа, (()) (а (Х) — (аз (О) = а' (6 + + а1 (г) = А' (О. (3.69) Таким образом, модуль аналитического сигнала г, (6 равен просто огибагощей сигнала г, (йи ) г, (О! = А (г). 2.
Спектр аналитического д ав ггегеа сигнала содержит только полосаа жительные частоты. Из выражения г, (О = а (О + га, (г) I .л вытекает, что спектральная плотность Х(со) аналитического сигнала г, (О определяется сум- мой Рнс. 3.25. Соотношение между спек. тренк физического и апзлитнческого сигналов. г о (го) = 6о (го) + гййе* (ш). Но согласно (3.66), (3.69) при ез 0 6,, (го) — — — (6, (оз), а при о> с. 0 $,„(ш) = Б, (оз). Следовательно, г26,(ш) при ш)0, 2 (.) ю а О при ш(О. (3.90) Так, например, если узкополосному сигналу а (г) соответствует спектральная плотность 8, (оз), модуль которой изображен на рис.
3.25 штриховой линией, то аналитическому сигналу г,(О = а (С) + (аз (() соответствуют спектральная плотность Ж, (ш), модуль которой изображен на том же рисунке сплошной лийией. Интеграл Фурье для аналитического сигнала г, (О принимает" следующий вид: г..(г) = — ~ Х, (го) екм йо= — ~ $„(ш) екм йш. (3.9Ц о е где 6о (со) — спектральная плотность исходного (физического) сигнала а (г).
3. Спектральная плогпность комплексной огибающей А (г) совпадает со слгещенной на величину шс влево спектральной плотностью ьР 0 й й * в .зг вительно, при переходе к комплексному Г интеграл (Зхн) сходится в верхней оалуплоскости н ивлиетсз аналитической функцией при 1шг > О, поскольку при со оо множитель е гтв обеспечивает сходимость. В случае же — имом физического сигнала, содержащего квк полозкительные, твк и отрицатель. ные частоты, множитель е о бесконечно возрастает либо при ы +со.
— 1оьм либо при ы — оо . Основываясь на общей формуле (2.48), можем яаписать Хо (го) = ) г, (г) е ™ г(г. Подставляя в это выражение г, (О = А (() е'"', получаем Х„(го)= ~ А(г)е-и — "пг((=8л(го — гоо), го О. (3.92) ',при чисто амплитудной модуляции), является частным случаем общего выражения (3.92). Вводя обозначение сов — гоо = — к), перепишем (3.92) в тесколько иной форме Хо (соо + ч"') =8л( ч) = 25, (ото + а) (3.93) см.
формулу (3.90)). Соотношение между спектраии 8л(й) и Х, (со + Й) иллю'трируется рис. 3.26. Особо еле ет отметить чт ду о Ф :пектр 8л (й) комплексной огий л гл Н Рис. 3.26. Соотиошеиие межлу спектрами аналитического сигнала и комп:имметричен относительно нуле- лекоков огибающеа исхолиого сигюй частоты (см. рис. 3.26). Если нала. 'пектр 8, (го) физического колеоания и (г) несимметричен относительно го = ото, как это может иметь кесто, например, при смешанной амплитудно-угловой модуляции ,'см. у 3.8), то и функция Х, (го) = 23, (го), го ' » О, несимметрична; юсле сдвига Х, (го) на величину гоо влево спектр комплексной огв)ающей Зл(Я) будет несимметричен относительно частоты Я = О.
Поскольку при таком сдвиге функция Ьл (И) отлична от нуля в обтасти частот 0 < О, колгплексная функции А (() не являеглся аналиптигескилг сигналоль Это объясняется тем, что действительная и мнилая части А (() не являются функциями, сопряженными по Гиль)ерту. 4. Корреляционная функция аналитического сигнала, определяелая выражением В (т) = ) го(т)го((+т)г(А СО (3.94) Это соотношение является обобщением формулы (2.58) на случай комплексной функции времени А ((), умножаемой на его г ,'вместо соз гоп~ в 9 2.7, п. 3).
Выражение (3.9), выведенное для ве.цественнои огибающей А (() кл соипношгни ем В, (т) = Ч,ве В, (т). (3.96) Действительно, подставив в (3.94) г, (г) = а (0 + Еа, (1), получим В,(т) =~[а (Г)+1а,(0) [а (г+т) — (а, (г+т)) Ш= = ~ а ()) а (г'+ т) ог'+ ~ а, (0 а, (1 + т) й: + .>'[ [" (О Ф4. ) ~ — [ ю) (~-~- И~1. Р В ч 2.17 было установлено, что корреляционная функция физического сигнала зависит только от модуля его спектральной плотности.
Так как модули спектров функций а (0 н аг (г) одинакойы (см. 2 3.9), то первые два интеграла равны и суммируются, а вторые два взаимно уничтожаются из чего и следует соотношение (3.96). Подставнв теперь в (3.94) г, (1) = А (0 е""в' и г,' (г) = = А* Яе-'"", получим В (т) — е — ~ми ~ А (1) Аг (Г+т) йг (3.97) откуда вытекает важное соотношение [см. (3.96)[ в.,;,= Р. ~.†." 1 ли.*~~„л). (злв) Входягций в аь|ражение (3.98) интеграл есть корреляционная функиия комплексной огибающей А (1). Поэтому выражение (3.98) можно переписать в форме В, (т) = — [(е [е — '" 'Вл (т)). 1 2 (3.99) В частности, при т = 0 получаем В,(0)= — ( Аг(Г) й( = — В,(0).
2 2 [3.100) саяюна с корреляционной функцией исходноо физического сигнала (узкополосного) О В (т)= ) а(г) а(1+т)йг (3.95) О ЗЛЕ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ МОДУЛ ИРОВАИИОГО КОЛЕБАНИЯ При нахождении корреляционной функции модулированного колебания а (О = А (1) сов ф (1) будем исходить из условия абсолютной интегрируемости (конечной энергии) колебания а (1), что позволяет применять определение (см.
52.16) В,(т)= ) а(1) а(г+т) ад (3.101) Вычисление интеграла для сложных сигналов требует громоздких выкладок. Задача существенно упрощается при переходе от колебания а (г) к аналитическому сигналу г, (1) = А (1) енМ. Основываясь иа соотношениях, выведенных в предыдущем параграфе, рассмотрим сначала чисто амплитудную модуляцию, когда а (1) = А (1) соз ол 1, 6 (1) = 0 и, следовательно, А (1) = А* (1) = А (1). Тогда формула (3.98) принимает вид = — созе,т ~ А (г) А(г+т)йг. 2 (3.
Г02) Обозначив, как и в выражении (3.99), интегральный множитель через Вл (т), окончательно получим В (т) Вл (т) (таз соз вот) (3.103) Второй множитель ('lзсоз алт) есть корреляционная функция гармонического колебания с частотой ы, и единичной амплитудой. Итак, корреляционная функция амплитудно-модулированного радиосигнала равна произведению корреляционных функций огибающей и высокочастотного заполнения.
Из этого выражении видно, что поскольку В (О) = 3, внергил аналитического сигнала равна удвоенной внергии исходного физического сигнала. Следует указать, что применение понятия энергии к комплексной функции имеет не только формальный смысл. В гл. 12 будет показано, что в некоторых устройствах обработки сигналов приходится иметь дело с совокупностью двух функций времени, сопряженных по Гильберту, т. е.
с аналитическим сигналом как с физическим процессом. Преимущества аналитического сигнала при анализе узкополосных процессов будут видны из дальнейших глав. В качестве примера на рис. 3.27, а показан радиокмгульс с прямоугольной огибающей, а на рис. 3„27, б — ссютветствующая этому импульсу корреляционная функция.
Следует отметить, что эта функция не зависит от начальной фазы заполнеяия радноимпульса„ а ее огибающая совпадает с корреляционной функцией прямоугольного видеоимпульса (см. 2 2.16, рис. 2.36, г). Для иллюстрации применения общего выражения (3.99) к амплитудно-частотной модуляции найдем корреляционную функцию импульса, изображенного на рис. 3.19, а. Ркс. З.27.
Импульс с высокочастот- Рнп З28. К построению коррелякииым наполнением (о) и корреляии- онноа функиин ЛЧМ импульса. синая функияя (О). При обозначениях формулы (3.37) и рис. 3.19 аналитический сигнал запишется в виде г (Г)=Аое'а' ГЯ е™'1э — Тс)2:с~(«» Тс/2. (3.104) Применяя формулы (о.94) и (3.99), получаем /я с (т) е Ре ~ е~(мг ьап!йе- (м~«+и+ам+о'~к(с(1. (3.105) а ея с Пределы интегрирования взяты с учетом условия одновременного существования функций а (О и а (1 + т) (рис. 3.28). С помощью несложных преобразований выражение (3,105) приводится к виду , .
г рт, бт т Аа з(п~~ — ' т — — 7(сон соо с 2 2 т., при ~т(~ —" сч 106) 0 при (т(- Т,!2. В,(т) = Используя введенный в ч ЗХ параметр т (см. формулу (3.38)) и учитывая, что РТ,' = 2юпТ, = 2пт, приведем выражение (3,106) к несколько более общему виду -~--' '--') В,(т) = — А; Тс ' ' ' 'сон ест. (3.106') 2 унит Tс Множитель ЧаАсТс = В, (О) = В равен полной энергии рассматриваемого радиоимпульса (как н при импульсе о постояняой частотой заполнения, см. рис.
3.27, б). дл(с)йА УЮ, 1 11~ ))1 Рис. 3 29. Ксррслацисннан $унннин Лс!М импульса. Таким образом, Ва(т) сс(т) ~ тс 1 тс )1 сон(сс т. дс(а) З (3.107) гс )рафик этой функции построен на рис, 3,29 для параметра 'и = 100 в пРедположении, что исТс очень велико (на Рнс. З.йв масштаб выбран произвольно).
Огибаккцая корреляционной функции образует весьма острый пик (при т )> 1), а частота заполнения постоянна и равна центральной частоте гоо исходного радиоимпульса. Рассмотренный здесь сигнал и его корреляционная функция представляют большой практичесигй интерес для современной радиотехники. ал2. Йискрнтиздция узкОпОлОснОГО сиГнАлА Пусть задан сигнал а (() = А (г) сок ф (й = А (г) соз 1гоаЕ + 8 (0), (3.108) спектр которого заключен в узкой полосе частот от гот до ае, так что модуль спектральной плотности Я, (го) имеет вид, представленный на рнс. 3.30, а, причем в пределах полосы Ьгоа спектр не обя- агг -агв -гав О Фа>р й 8 г в) Рис. З.ЗО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
