Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 24
Текст из файла (страница 24)
6) Вх ((о (2) = (Х ((,) Х ((2)). Согласно этому определению корреляционная функция случайного процесса Х (г) представляет собой статистически усредненное произведение значений случайной функции Х (() в моменты и гт. Для каждой реализации случайного процесса произведение х (гг) х ((з) является некоторым числом. Совокупность реализаций образует множество случайных чисел, распределение которых характернзуется двумерной плотностью вероятности р (х„х,; (г, (з). При заданной функции р (х„х,; („(Д операция усреднения по множеству, обозначенная в выражении (4.6) угловыми скобками, осуществляется по формуле О Н„((„(з)= ~ ~ х, х,р(х,, х,; би Г,)г(хгс(хз. И 7) При г = (, двумерная случайная величина х,х вырождается в одномерную величину х(=хз. Можно поэтому в соответствии с выражением (4.4) написать В„(г„гг)= ~ х', р(х,; (г)г(х,=<х().
(4.8) ОР Таким образом, при нулевом интервале между моментами времени гг и ( корреляционная функция определяет величину среднего квадрата случайного процесса в момент ( .=- йи Исследование случайного процесса, а также воздействия его на радиоцепи существенно упрощается при его стационарности. Случайный процесс называется строго стационарным, если его плотность веРоатности Р (х„ х, ..., хгб („ (з, ..., г„) пРоизнольного ' Здесь и в дальнейшем одвой и той же буквой р обозначаются плотноств вероятности различных случайных функций. В некоторых разделах, если вто необходимо для устранения путаницы, будут применяться индексы, уточвяющие параметр, к которому относится данное распределение.
Например, при рассмотрении случайного процесса х (Г) = А Я соз 0 (Г) будут применяться обозначения р„(х), р з (А) и рв (О). порядка п зависит только от интервалов 1, — 1ь г,— 'гь ..., ~„— 1, и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента В радиотехнических приложениях теории случайных процессов условие стационариости обычно ограничивается требованием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностей вероятности (случайный процесс, стационарный в широком смысле.) Выполнение этого условия позволяет считать, что среднее значение (первый момент), средний квадрат и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция зависит не от самих моментов времени Г, и йм а только от интервала между ними т = 1, — Г,.
Стационарность процесса в широком смысле можно трактовать как стационарность в рамках корреляционной теории (для моментов не выше второго порядка). Таким образом, для случайного процесса, стационарного в широком смысле, выражения (4.3) — (4.5) и (4.7) можно записать без обозначения фиксированных моментов времени: (х)= ~ хр(х)дх; (4.9) (4.11) тгз х (г) =11ш — ~ х (1) д(," т~~ т -тгз (4.13) тз х'(Г) =1)ш — ' хз(г) г(г1 т уз (4 14) (х')= ~ х'р(х) Их; о1 = (х') — ((х))'; Ю ОЭ В,,(г)= ~ ~ х1хзр(хо хм т)Нх, Ь,. (4.!2) Дгльнейшее упрощение анализа случайных процессов достигается при использовании условия зргодичности процесса, Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если усреднение любой его вероятностной характеристики по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации.
Условие эргодичности случайного процесса включает в себя и условие его стационарности. В соответствии с определением эргодического процесса соотношения (4.9) †(4.12) эквивалентны следующим выражениям, в которых операция усреднения по времени обозначена прямой чертой: о) х~ (г) (х (г)) . (4 16) таз В„(т) х(1) к И+т)=1!гп — ~ к(1) х(Г+т) й. (4.16) г — г~э Если х (4 представляет собой электрический сигнал (ток, напряжение), то х(() — постоянная составляющая случайного сигнала, х' (1) — средняя мощность, а„' — средняя мощность флуктуации сигнала [относительно постоянной составляющей х (1)1. Выражение (4.16) внешне совпадает с определением (2.134) корреляционной функции детерминированного сигнала (периодического).
Непосредственно из (4.16) вытекает четность функции В„ (т) относительно сдвига т. Очевидно также, что г/2 В„. (О) =11ш — ~ хэ(Г) й =х'(~) =(х) + о'„(4.17) г Т вЂ” ггь т.е. значение корреляционной функции при х = Оравно полной средней мощности случайного сигнала. При анализе случайных процессов часто основной интерес представляет его флуктуационная составляющая.
В таких случаях применяется ковариационная функция р, (т) = (х (1) — х (1)1 !х (Г+ т) — х (г)) = — В„(т) — (х)~. (4.18) Наконец, вводится н о р м и р о в а и н а я корреляционная функция (4.19) Функция К„(т) характеризует связь (корреляцию) между значениями (х (1) — х), разделенными промежутком т. Чем медленнее, плавнее изменяется во времени х (Г), тембольше промежутокт, в пределах которого наблюдается статистическая связь между мгновенными значениями случайной функции.
Прн экспериментальном исследовании случайных процессов используются временные корреляционные характеристики процесса (4.13) — (4.19), поскольку„как правило, экспериментатору досгупно наблюдение одной реализации сигнала, а не множества его реализаций. Интегрирование выполняется, естественно, не в бесконечных пределах, а на конечном интервале Т, длина которого должна быть тем больше, чем выше требование к точности результатов измерения.
4.2. ВИДЫ СЛУЧАНИЫХ ПРОЦЕССОВ. ПРИМЕРЫ Применение общих определений, приведенных в предыдущем параграфе, иллюстрируется ниже иа нескольких характерных случайных процессах. Наряду с обозначением случайного процесса символом Х (/) будет применяться в том же смысле обозначение х (Г), под которым подразумевается случайная функпия времени. Как и ранее, ха (Г) обозначает й-ю реализацию случайной функции х (г). 1. Сигнал в виде постоянного напряжения случайного уровня Пусть уровень А сигнала может с равной вероятностью принимать любое значение в интервале от — А„„к, до Ам,к, (рис. 4,2.) Стационарность этого процесса очевидна.
Одномерную плотность вероятности легко получить из выражения (4.2): р (х) = /аА ма к с ' ) мане ~ Х ~ А ма «с. (4 2О) Подстановка (4.2О) в выражения (4.3) — (4.5) дает маке А (х)= ) хг(х=О; 2-Амана макс 'амане (х') = а 1 г а 1 а 1 х г(х = Анака~ 2А макс 3 лмако ок = (х ) ((х)) = /ЗА макс. Рис. 42. Совокупность постоянных напряжений случайного уровня. При определении корреляционной функции по формуле (4.6) следует учитывать, что для любой реализации, независимо от временнбго сдвига т, выполняется равенство ха (/,) = ха (Я~. Следовательно, ха (/х) хь (/а) = ха, и усреднение этого произведения по множеству можно выйолнить без использования двумерной плотности вероятности, непосредственно по формуле (4.8).
Таким образам, В (г) = (ха > = х/аАма а = о'. Рассматриваемый процесс не арггкупчен. Это видно нз того, что ха (г) =ха Ф (х); х$(/) =ха. чь (х'), Вк (т)=хь чь /аАиакс г. е. первые два момента и корреляционная функции, определенные усреднением по времени (вдоль реализаций), не совпадают с резуль- гатом усреднения по множеству, 2. Гармоническое колебание со случайной амплитудой Пусть в выражении, определяющем сигнал х (О = А соз (оуог + О,) = Л соз аР (1), (4.21) частота гоо и начальная фаза Оо являются детерминированными и постоянными величинами, а амплитуда А — случайная, равновероятная в интервале от О до Л„„„, величина (рис.
4.3). Рис. 4.3. Совокупносгь гармонических напеваний со случайной амплнтуной. Найдем одномерную плотность вероятности р (х; Г,) для фиксированного момента времени 1,. Мгновенное значение х (г',) может принимать любые значения в интервале от О до Ам,н, созаР (1,), причем будем считать, что соз ар(г,)- О. Следовательно, р (х; (г) 1/Амана сезар ((х), О(х(Амана соз$ ((х) и математическое ожидание аманн соа Е ан (х ((х)) = ( хбх=, Амане сов аР Фх)" Лиана соааР Ох) и о Далее, л, соа Чда (х'(г,))= ) х'г(х = —, Аамакс созаф((г). Лиана соа ар (й) 3 о Наконец, дисперсия о'(1,) (хл(Г)> — (<х((х)>)'= — Аа н< соз'Ф((,)— — — Л;„, соз~чР (Гх) = — А'анг соз" 'Ф (Га).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
