Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Распределение огибающей, характеризуемое этой плотностью вероятности, называется распределением Редел (рис. 4.16), Макси- (А) = Арл(А) дА = — Авехр ~ — — т~ с(А= у — о„. (4. 71) Аналогично средний квадрат огибающей < Ав> = ~ А' Рл (А) с(А = о =- — ) А'ехр ~ — — в~ с(А= ~ — 11 "о -Фт лл р ь„)ло д уГ л = 2ое. (4.72) рис. 4лв.
плотность веронтнасти ре- Этот результатсовпадаетс(4.65). леевсното распределении. Таким образом, средняя мощность огибающей равна удвоенной дисперсии шума. Это аналогичносоотношениюмежду квадратом амплитуды А, и средней мощностью гармонического колебания а (1) = Ао соз сое(, равной а~ (() = т(вАо. Вероятность того, что огибающая А (1) превысит некоторый заданный уровень С, определяется формулой Р(А)С) =~рл(А)с(А= — ~ Аехр ~ — —, ~ НА = с ' с =ехр (4.73) а вероятность того, что огибающая А (1) будет ниже уровня С,— формулой Р (А ( С) 1 — ехр ( — С'!2п,'). (4.74) Из этих формул видно, что уже при С = Зо,' вероятность превышения уровня С составляет всего лишь 1%.
Поэтому можно считать, что ширина шумовой дорожки, фактически наблюдаемой, например, на экране осциллографа (рис. 4.17), не превьппает (б — б) и„. Этот результат, естественно, близок к данным, приведенным в 5 4.2 для шумовой дорожки широкополосного нормального процесса (со спектром примыкающим к нулевой частоте. мальное значение функции рл(А) получается при А = о„. Это означает, что А =о, является наивероятнейшим значением огибающей. Среднее же значение (математическое ожидание) огибающей Корреляционная функция огибающей узкополосного нормального шума 16) определяется по формуле, которую приводим без вы- вода: Ви (т) = —" ~1 + ( —, ) гтое (т) + ~ — ) гто (т) + ... + Рис.
Ецу. Ширина шумовой аорожки узкополосного нормального шума при вероятности превышения границ 1еЬ. Здесь Яе (т) представляет собой огибающую нормированной корреляционной функции шума х (г), т. е. функции, определяемой выражением (при х = 0) )с„(т) = В (т)/а," = )те (т) соз апет. (4.76) Так как )ге ( 1, то ряд (4.75) быстро сходится, Поэтому можно ограничиться первыми двумя членами: по', Г Ве (т) ж — ' ~ 1 + — К (т) ~ . Применяя к Ва (т) преобразование Фурье (см. (4.38)), находим энергетический спектр огибающей С по,' по„' (Угл(()) = — * 2пб (ь))+ —" — Г Я (т) е ют г(т. (4.78) 2 2 4,) Из выражения (4.78) видно, что энергетический спектр огибающей примыкает к нулевой частоте.
Первое слагаемое в правой части (4.78) соответствует постоянной составляющей огибающей, а второе — сплошной части спектра. Примеры применения формул (4,75) — (4,78) приводятся в з 11.3 — 11.5. 2. Еаза Интегрирование двумерной плотности р (А, 0), определяемой выражением (4.69), по переменной А дает одномерную плотность вероятности фазы рв(О)= — ) Аехр ~ — —, /1сГА= 2 „,) о О = — ( — ехр ( —,1с((Ао)= —, — и 0 =и. (4.79) о Этот результат согласуется с пределами интегрирования в (4.70), Заметим, что из представления р (А, О) [см. (4.69)) в виде произведения А / Ао р(А,О) = — ехр ~ — — ) = 2за~~ ~ 2а„') =[ — ", р( — ', )1( —,' )-р.щр,о) непосредственно вытекает независимость случайных величин 4 и О. Как и в отношении А, (/) и А, (/), это справедливо при отсчете А ( и 0 (/) в один и тот же момент времеви [см.
замечание к (4.67)). 3 оотношеиия (4.70) и (4.79) позволяют сделать следующее общее заключение: произведение вида х = А соз О, в котором А и 0— независимые случайные величины, причем А распределена по Релею, а Π— равновероятна в интервале ( — и, и), обладает нормальной плотностью вероятности. Условие узкополосности процесса х (/) не обязательно; необходимо лишь, чтобы А и 0 были связаны соотношениями (4.63). Корреляционная функция фазы О (/) определяется выражением (6) 'Вв (т) = — Ко (т) + — Но (т) + — /то (т)+ ... (4.80) 2 4 12 Прн т = О ряд сходится к по/3, т.
е. дисперсия фазы равна и'/3. Действительно, при распределении (4.79) ой = ~ 0'рв(0)с/О = — ~ — ~ = —. (4.81) 1 (Оотл яо 2 ~З/ 3' 3. Частота Основываясь на выражении (4.60), мгновенную частоту шума можно записать в форме . (/) = = ы, + — ы, + О (/), аФ (1) "О (О Ж Й откуда видно, что закоя распределения мгновенной частоты определяется распределением производной фазы В. Приведем без вывода (6, 7) выражение для плотности вероятности случайной величины О (4.82) где Лв,и, — эквивалентная ширина спектра узкополосного процесса, определяемая выражением ь~ =~~ — ~гимт ~~имм ~4за Последнее выражение эквивалентно формуле гГз йо (т) Лот',=— (4.83') где )7о (и) — огибающая нормированной корреляционной Функ" ции процесса, обладающего энергетическим спектром (р (го) (симметричным относительно центрапьной частоты гоо), л Юйвзиа Рис. 4.!В, Плотность вероятности производной фазы нормального случайного пронесса.
График функции р (О) изображен на рис. 4.18. Среднее значение абсолютной величины (81 равно Лгоз„,. Рассмотрим в качестве примера случай, когда энергетический спектр ((Г (го) равномерен в полосе частот ~ Лго при центральной частоте гоо. Нормированная корреляционная функция в соответствии с выражением (4.44) аяоо и )7в(т) = в1паавт в)п у Ьв,в Дважды дифференцируя последнее выражение по т, находим в — ув в1п у — 2ув сов у+ 22 Мп у йо(т) =Авва у" При т-эО и у-в-0 получаем тсо (0) = — Ьм$ 1 3 й!оанв=Т' )Го(0) = Ло!в) Р 3 (4.83") 47.
кОлеБАние, мОдулиРОВАннОе пО Амплитуде СЛУЧАЙНЫМ ПРОЦЕССОМ Вернемся к выражению (3.4) и рассмотрим его с вероятностной точки зрения, учитывая, что передаваемое сообщение содержится в огибающей А (1). Пусть огибающая А (7) — стационарный, зргодический случайный процесс. Связь между изменением огибающей и модулирующей функцией з (Г) определяется, как и в 2 3.2, соотношением ЬА (Г) = = й„, з (1), где А,„имеет смысл крутизны характеристики амплитудного модулятора. Закон распределения вероятностей передаваемого сообщения зададим нормальным с нулевым средним.
Таким образом, плотность вероятности величины а (Г) 1 вв р(а) = — ехр ~ —,~ ° (4.84) Соответственно и плстность вероятности огибающей А при яинейнои лодуяяиии может быть принята нормальной: р(А)== ехр ! ! ГА — Ав)в 1 У2Я оя ~ 2о вв (4.85) где о„= й,„о,. Выражение (4.85) справедливо и имеет смысл, если средиеквадратическое значение глубины модуляции не настолько велико, чтобы проявлялось ограничение огибаквцей при модуляции вниз.
Под средиеквадратической глубиной мод ляции в данном сл чае Итак, в случае шума с энергетическим спектром, равномерным в полосе ( — Ьово, Ьав) (см. рис. 4.9), среднее значение величины )О) равно Ьовв/'гм3. можно подразумевать' отношение /И,„= о„/А,. Нужно, чтобы вероятность уменьшения А (/) до нулевого значения была пренебрежимо мала. Это требование выполняется, если /И,„( 0,8 — 0,4 (см.
5 4.2, и. 4), т. е. если ширина шумовой дорожки (по огибающей), равная — бол, не превышает удвоенной амплитуды Ав. Примерный вид одной из реализаций модулированного колебания а (/), соответствующего поставленному условию, изображен на рис. 4.19. Рнс. 4.1З. Примерный янд нысокочастотного колебания, модулиронанного по амплитуде нормальным случайным продессом. Выберем произвольный момент времени / = /, и запишем для этого момента выражение (3.4): и(/) = А (/ь) соз (со,/, + О,). (4. 86) Умножение случайной величины А (1,) с одномерной плотностью р (А) (не зависящей от выбора момента времени) на детерминированный множитель соз(соя/„+ Ое) приводит к изменению математического ожидания и дисперсии в зависимости от выбора /.
1 Случайный процесс а (/), определяемый выражением (4.80), остается нормальным, но нестационарным, а следовательно, и иеэргодическим (см. $4.2, п. 2, где рассматривался аналогичный случайный процесс, ио при ином распределении огибающей). Для полного описания случайного процесса а (/) найдем его корреляционную функцию и энергетический спектр. Поскольку процесс нестационарен, корреляционная функция зависит не только от интервала т, но и от времени й В (/, т) = (а (/) а (/+ т) > =(А (/) А (/+ т) > соз (гп / + 0 ) Х Х соз (/оо/+спет+Ое)=(А(/) А(/+т)> — (соз/пот+ 1 + соз (2гое / + 20е + соо т)).
(4.87) Х 1 з,, ( а т „,щ„„, Ля=я Х ( +М соа Ы) среднекяадратическое значение Мо„определяется иа соотно- — о манин Мок = (Исоа (Л)Я = МЯ/2, откуда Мс„= М/$/2. Так как А (1) — стационарный процесс, то первый множитель в (4.87) (А (0 А (1 + т)) = Вз(т) (4.88) В,(т)=В„(1,т)= Ип1 — ~ В Кт)о(о. -т1з (4.89) При таком усреднении слагаемое соз (2оооо + 28о + озот) в (4.87) можно отбросить. Таким образом, в рассматриваемом примере В (т) = 'lоВ4(т) соз ыот. Этот результат совпадает с выражением (3.103), выведенным для детерминированного колебания.
Отличие заключается лишь в способе определения Вз (т). В 9 3.11 Вз (О) имело размерность энергии, а в данном случае Вз (О) имеет смысл средней мощности случайного процесса. Применяя выражение (4.38) к усредненной по времени функции В (т), находим энергетический спектр модулированного колебания: (р (оз) = ) В,(т) е — "'о(т = — ) Вл (т) соз оо т е-'"' о(ъ = 1 г о С 1 1' — Вз(г)е-и -ооо о(т 1 ~ Вл(т)е-оооо+ о)оо(т. (4.91) ! Р 4,) Учитывая, что среднее значение А (1) равно Ао, представим Вз(т) в форме выражения (4.18), заменив в нем х на А„р„(т) на рз(т) и В (т) на Вз(т): Вд(т) = Ай + рз(т), (4,92) где рз(т) — ковариационная функция огибающей, Подставив (4.92) в (4.91) и учтя выражение (2.94'), получим ло (р()о218(~~ы)18(+ + 4 Фз( — ~+)Р.(ы-(- .Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
