Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При этом возникает формальная трудность, связанная с тем, что преобразование Фурье существует только для сигналов с конечной энергией (условие абсолютной интегрируемости сигнала). Это препятствие можно обойти с помощью различных приемов (8). В данном случае ограничимся наложением условия, что Т сколь угодно велико, но конечно. Имея в виду это условие, запишем последнее выражение для средней мощности й-й реализации в форме х1(~)= — ( )р (ы) Ьо, хп где ((т„(ю) = 1Х„т (ю) !э(Т, (4.33) хт (т) = — ( ()т (ю) дсь. зп 3 О (4.34) Если рассматривается случайный процесс с ненулевым средним значением х ((), то энергетический спектр следует представлять в форме Я7„(а) = (х (Г)) йпб (ю) + )(т (а), (4.35) где )Г (ю) — сплошная часть спектра, соответствующая флуктуационной составляющей х, а б (го) — дельта-функция. представляет собой спектральную плотность средней мои(носши рассматриваемой А-й реализации (при достаточно большом Т).
В общем случае величина В'ь (в) должна быть усреднена по множеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае рассмотрением ипационирного и юргодичгского процесса, можно считать, что найденная усреднением по одной реализации функция Юэ (а) характеризует весь процесс в целом.
Опуская индекс й, получаем окончательное выражение для средней мощности случайного процесса: о'„= — ~ (У- (ы) вв, э 2я (4.36) Для процесса с нулевым средним х~ (Г) = о„'= — ( ((г„(ы) с(ы. 2п (4.37) Из определения энергетического спектра (4.33) очевидно. что (Р (в) является четной и неотрицательной функцией в 4.4. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ СПЕКТ!'ОМ И КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИЕИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Чем медленнее изменяется во времени х ((), тем уже энергетический спектр. С другой стороны, скорость изменения х (г) определяет ход корреляционной функции, Очевидно, что между (Р„.
(в) и В, (т) имеется тесная связь. Существует теорема Винера — Хинчияа, утверждающая, что В„(т) н В'„(т) связаны между собой преобразованиями Фурье: (Р„(со)= ~ В„(т) е *"'ат, (4.38) В (т) ~ (Р (щ) ен1э йг» 8.39) Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойствам преобразований Фурье, установленным в гл. 2 для детерминированных сигналов: чем шире внергетическийспектр случайного процесса, гнем меныие интервал корреляции, и, соопмегпсп1венно, чем болыие интпервол корреляции, гпем уже спектр процесса.
Большой интерес представляет белый шум, когда энергетический спектр равномерен на всех частотах — оо: о <. оо. Если в выражение (4.39) подставить Ю„(гэ) = В', = сопз(, то получим (см. (2.93)1 (4.40) где б (т) — дельта-функция, При интегрировании по ( = гв/2п первое слагаемое в правой части дает (х (())з, т. е.
мощность постоянной составляющей, а второе — мощность флуктуационной составляющей, т, е, дисперсию Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляционная функция равна нулю для всех значений т, кроме т = О, прв котором В„(0) обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру о бесконечно тонких!и случайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом. Дисперсии белого шума бесконечно велика. Поясним применение приведенных выше соотношений на примерах. 1. Пусть заданы следующие параметры напряжения шума (нормальный стационарный процесс с нулевым средним): средне- Рис.
4гь Широкополосный и узкополосный энергетический спектры (приме- ры!,2,3). квадратическое значение и,„= 2В, энергетический спектр Ю! (то) равномерен в полосе частот от 0 до /, = !О МГц (сплошная линия на рис. 4.9). Шум с подобным спектром обычно называют широкополюсыык, В данном случае В'! (со) = ы~ /2/! = (2)'/2 ° 101 = 2 ° 10-э В'/Гц. Корреляционная функция рассматриваемого процесса 1см. (4.39)) кч м В,(т) = — ! 1р, (то) е'"'с(со = — ~ 97! (пэ) соз озтсйо= 1 и 1 2п 2п нч ы 2 ГО т 1 2э!пыэт 2 10 т2/ Мпыэ э и!пытт (4 41) а и!к 03!с Дисперсия шума о( = мк = В! (0) = 4Вэ.
Нормированная корреляционная функция (рис. 4.10, о) /ст (и) = В, (т)/о) = и!и етт/вр. (4.42) 2. Вырежем из спектра исходного шума полосу от ы = — й)! = = — 2пг'! до о» = й)! = 2пгт, обозначенную на рис. 4.9 штриховкой, и найдем В, (т), Кн (т) и ой, соответствующие этому шуму. При Р, = 2 МГп получим а)=2ГтЯ7,(го)=2 2 10е 2-10 я=0,8Ве; В ( ) 2 И) т 2г а1пыгт 00 Я/пытт 1 Ыгт Й,т 1 /т (т) = В (т)/оа (з)п йа т)/()г т. Сужение спектра привело к растяжению графика /тя (г) по оси (рис. 4.10, а). Интервал корреляции увеличился в /г/г, = й раз, Рис 4.10.
Нормиронаиная корреляционная функция случайного процесса с энергетическим спектром. равномерным н полосе; а1 Ия ч и, н 1М ч пю а / 5; 6) аа — О/ Я К м ~ ее+ и /2. 3. Н " . Найдем аналогичные характеристики для шума, спектр которого обозначен на рис. 4.9 двойной штриховкой; От предыдущего этот случай отличается положением спектральной полосы на оси частот. Шум с подобным спектром называют увкоаолос//сон (п и ааг/гое (( 1).
Дисперсия этого шума ой, очевидно, не отличается от оя, Корреляционная функция —,и„— а,/г~ и„+ ос/з ''г 1 и оз(т)=- В'с(са) ес ос(со+ — ~ В' (са) ес с(со= 2л смо По/зс мо — Пс/З и.+и,/з 1 — Ц71 (со) соз озтс(со = мо — По/2 2 Гб с 1 ( з/п(ма+асс/2)с з1п(соо — ссс/2/.с пс ( =2 10-' — -2 з(п —.' соз оо т=2 1Π— '2гс ' соз соо т. (4.43) 2пс 2 ' 12сс/2 Нормированная корреляционная функция (рис. 4.10, б) рз ( ) мп (йс с/2) соз оз, .
12с с/2 (4.44) Огибгющзя функции /с'и (т) (штриховая линия) совпадает по форме с функцией /с (т), однако эта функпия имеет вдвое ббльшую протяженность. Высокочастотное згполнение функции /со (т) имеет частоту со„ равную центральной частоте спектра шума (см. рис, 4.9). График нормированной корреляционной функции, показанный на рис. 4.10, б, /с/ позволяет составить представление о характере шу- с мового колебания с узкополосным спектром. Осцилляции корреляционной функции с чгстотой соо указывают нг то, что и мгновенное значение шумового Рис, 4.11.
Примерный аид реализации слуколебания изменяется и чайного процесса, корреляционная функция сс/еднелс с частотой соо. На- которого показана на рис. 4.1ц б (масштапомним, что корреляцион- бы по осям С и с разные). на я функция га рмонического колебания являетсятакже гармонической функцией той жечгстоты (см. 2 2.16). Изменение же огибающей корреляционной функции з1 п(пз с/2) по закону и указывает на то, что огибающая шумового коле- йст/2 бания, являющаяся случайной величиной, изменяется во времени относительно медленно, подобно функпии времени, спектр которой ограничен наивысшей частотой йз.
Примерный вид шумового колебания, соответствующего корреляционной функции (4.44), представлен на рис. 4.11 (в измененном масштабе времени по оси абсцисс). Итак, шумовое колебание с узкополосным спектром следует представлять себе как высокочастотное колебание с медленно (по сравнению с частотой сов) изменяющимися амплитудой и фазой: х ()) = и (1) соз (ез,) + 6 (В), (4.45) где езе — центральная частота спектра шума. Следует подчеркнуть, что все параметры этого колебания: амплитуда, фаза и чистота — являются случайными функциями времени. Статистические характеристики этих параметров рассматриваются в з 4.6. 4.З. ВЗАИМНО-КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И ВЗАИМНЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Связь между двумя стационарными процессами х (1) ну ()) оценивается с помощью вэгимно-корреляционной функции, определяемой выражениями' В „(т) =-:х (1) у (1+ т)), В„„(т) = (у (1) х (г+ т)).
(4.46) В данном параграфе рассматриваются эргодические процессы поэтому вместо (4.46) можно применять временное усреднение г~г Вен ('г) = х (() У (Г + г) = 1)гп — ~ х ()) У (1 + т) Ш, (4.47) 1 ° г Т вЂ” тгг г(г Вне(т)=д(1) х(Г+т)=1)гп — ~ Р(() х(Г+ г)в(Г. (4А8) т, т — ггг )(ак и для детерминированных колебаний, взаимно-корреляционная функция не изменяется, если сдвиг на т одной из функций х (1) или у (1) заменить на сдвиг в обратном направлении другой функции. Поэтому можно написать следующие равенства: В„„(т) = х (в) д (Г + т) = х (1 — т) у (Г), В„„(т) =у(1) х(1+т)=у(( — т) х((). (4.49) (4.50) г подрезуменнется, что не только семи процессы л (в) и У (1), но н связи между ними стнцноннрны. Из последних выражений вытекают следующие соотношения между В„„(т) и В„„(т): Вен (т) = В„„ ( — т); Вн„ (т) .=- В„„ ( — т).
(4.51) Соотношения (4.49) — (4.51) не следует смешивать с условиями четности функций Каждая из функций В„„(т) и Вэ„(т) не обязательна четна относительно т (см. з 2,16). В итоге корреляция между значениями функций х Гг) и у (Г) в два различных момента времени, разделенных иятерналом т, задается корреляционной матрицей В() ~ В.*() В ()1 В(т)= » Вб ('с) В„„('г) ! (4.52) где В„„(г) и В„„(т) — корреляционные функции соответственно процессов х (Г) й у (Г). Пусть, например, рассматривается сумма двух эргодических процессов х (Г) н у (Г) с нулевыми средними (х = р = 0) и требуется определить корреляционную функцию случайного процесса б (Г) = = х (Г) + д (») (при условии, что взаимно-корреляционные функции стационарны).
Используя формулу (4.16) и учитывая равенства (4.49), (4.50), получаем В,(т)=з(г)з(Г+т)=(х(Г)+у(У))(х(Г+т)+у(Г+т))= = х (Г) х (Г+ т) + х (Г) у (» + г) + о (г') х (Г+ г) + у (г) у (Г + т) = = В»„(г) + В»а (т) + ВР„(т) + Вва (т). (4.53) ПРи т = 0 В„„ (0) = о„' и В„„ (0) = о„'-', а В„„ (0) = Вб„ (0). Следовательно, о',=В,(0)=о»+о„'+Ва,,(0)+В„„ГО)=о„'+о,',+2ВкаГО). (4.55') Если процессы х (О н у (Г) независимы, то дисперсия (средняя мощность) суммы будет о» = о', + о'„.
В противном случае в зависимости от знака В„„(0) мощность процесса з (Г) может быть больше или меньше суммы дисперсий оа и о„', «ГВ бЮ Лля разности з (Г) = = х (Г) — у (Г) получается т к ут«(б-т) выражение, аналогичное (4'5о ) Иеобходимо лишь Рис. 4.12. К определению коррелидионной знак плюс перед членом функпии суммы двух случайных процессов 2В„„заменить минусом. с одинаковыми энергетичесииыи спектрами. При независимости процессов х (Г) иу (Г) дисперсия процесса з (О, как и при суммировании, будет о» = о» + од В практике часто встречается случай суммирования процесса х (Г) с процессом Кх (à — Т), т.
е. с тем же процессом, задержанным на время Т и усиленным в К раз (рис. 4.12). Составим матрицу (4.52) для пропессов х (1) и р = Кх (1 — Т). В обозначениях (4.52) получаем В„„(т)=в, (т); В„„( т) = х (1) р (Ф + т) = Кх (1) х (à — Т + т) = КВ„(т — Т); В„„(т) = и (1) х (г+ т) = Кх (1 — Т) х (У .+ т) = КВ,, (т + Т); Вар (т) = В р (т) = р (У) д (1+ т) = К х (1 — Т) х (à — Т + т) = К В, (т) Таким образом, корреляционная матрица процессов х (Г) ну Я = = Кх (1 — Т) принимает вид В „(т) КВ„(т — Т) 1 кв. ( +Т) к'в„(.) Найдем теперь корреляционную функцию процесса з (1) = х (1) + + у (1) на выходе сумматора (рис. 4.12).
Подставив в (4.53) элементы матрицы В (т), получим В, (т) = В„(т) + КВ„. (т — 7) + КВ„(т + Т) + К'В, (т). Приравнивая т = О, находим дисперсию процесса о', = о', + КВ„( — Т) + КВ„(Т) + К'а", = (1 + Кт) о". + + 2КВ„(Т) = о,' П + К'+ 2КК (Т)), где В„(Т) = В„(Т)/о„' — нормированная корреляционная функция процесса х (1) (напомним, что в данном примере положено х (1) = О). При замене сумматора вычитаюшим устройством знак плюс перед слагаемым 2КЯ (Т) должен быть заменен минусом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
