Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Рассматриваемый случайный процесс нестаг(ионарнои1 и не лргодический, 3. Гармоническое колебание со случайной фазой Пусть амплитуда Ае и частота <ое гармонического сигнала заранее достоверно известны, а начальная фаза Π— случайная величина, которая с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в интервале от — в до и. Это означает, что плотность вероятности начальной фазы Рв (О) = !)2п, — и ( О ( и. (4.22) Одну из реализаций случайного процесса х (г), образуемого совокупностью гармонических колебаяий со случайными фазами (рис.
4.4), можно определить выражением м х, (Г) = А„соз (со</ + Оа) .== = А„соз <)<в (Г). (4.23) Полная фаза колебания Ч< (Г) = г<»ет' + 6 является случайной величиной, равно- вероятной в интервале от <овг — л до о»ег+ и, следоватсл ьг<и< ре (<р) = 1<'2п, соо( — и ~ ту ~ <оо( + т<. (4.24) Рве. 4.4. Совокупность гармоаичес<я<я колебаний со случайиымя фазами, Найдем одномерную плотность вероятности р„(х) слу. чайного процесса Х (г). Выдс лнм интервал х, х+ дх (рис. 4.5) и определим вероятность того, что при измерении вели- чины сигнала, проведенном в промежутке времени от гт до 1,+с(г', мгновенное значение сигнала окажется в интервале х, х + дх.
Зту вероятность можно записать в виде р„(х) <тх, где р„(х) — иско- мая плотность вероятности Очевидна, что вероятность р, (х) <тх сов- падает с вероятностью попадания случайной фазы колебаний тр в один из двух заштрихованных на рис. 4.й фазовых интервалов.
Эта последняя вероятность равна 2ра (<р) <(<р. Следовательно, р„(х) <(х = 2рч (<р) <йр = (2/2п) с(<)<, откуда искомая функция' Р (х)= А*'< х ( Ав й~ ' »б» я<г» ность вероятности является неотрицательной функцией. Но ~~ ~=Аз~я(п1)~=Ае (гг1 — созагр= (гАо — х' ! — "' = ° лф Таким образом, окончательно ри(х)=1/и (г'Л' — х, — А ~х~Л,. График этой функции изображен на рис. 4.6. (4.25) Рис. 4.5.
К определению плотности вероят- Рис. 4.6. Плотность вероятности ности гармонического колебания со случай- гармонического колебания со ной фазой. случайной фазой. Существенно, что одномерная плотность вероятности р„(х) не зависит от выбора момента времени 1, а среднее по множеству (см. (2.271.7) в (10)) лп 4, < но= 1 Р.юа — — ' 1 — * *о=о яйле ,) ргА~ — хя совпадает со средним по времени тгя т1з — 1 1 х(Г)=11пг — ~ х(0 гй=йгп — ~ А, соя (ю„г+О) г(г'=О. г г г г -тгя — ггз (Это справедливо для любой реализации рассматриваемого случайного процесса.) Корреляционную функцию в данном случае можно получить усреднением произведения х (1,) х (1,) по множеству без обращения к двумерной плотности вероятности (см.
общее выражение (4,7)). Действительно, подставляя в (4.6) х (1,) х (1,) = Ао соз (ю~1, + О) соз (гое1 + О) = = ЧзА3( соз оге ((я — (г) + соз (ого ((г + (я) + 2ОЦ и учитывая, что первое слагаемое соз оге (1 — 1,) является детерминированной величиной, а второе слагаемое при статистическом усреднении с помощью одномерной плотности вероятности рз (О) = 1/2п [см (4.22)) обращается в нуль, получаем В„(Г„Я~ =-.Сх (1г) х Я) = ЧяАо соз гает, (4,27) Такой же результат получается и при усреднении произведения хя (г) хя (г + т) по времени для любой реализации процесса.
Независимость среднего значения от Г, и корреляционной функции от положения интервала т = гв — гт на оси времени позволяет считать рассматриваемый процесс стационарным. Совпадение же результатов усреднения по множеству и времени (для любой реалиаации) указывает на эргодичиость процесса.
Аналогичным образом нетрудно показать, что гармоническое колебание со случайной амплитудой и случайной фазой образует стационариьш, но не эргодический процесс (различные реализации обладают неодинаковой дисперсией). 4. Нормальный случайный процесс Нормальный (гауссов) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе. Нормальный процесс особенно характерен для помех канала связи. Он очень удобен для анализа.
Поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком сильно отличается от нормального, часто заменяют нормальным процессом. Одномерная плотность вероятности нормального процесса определяется выражением р(л) = )/2к о 2о» (4.28) Рнс. 4.7. Одномерная плотность веро- ятности нормального распределення.
В данном параграфе рассматривается стационарный и эргодический нормальный процесс. Поэтому под х и и," можно подразумевать соответственно постоянную составляющую и среднюю мощность флуктуационной составляющей одной (достаточно длительной) реализации случайного процесса. Графики плотности вероятности при нормальном законе для некоторых значений а„изображены на рис. 4.7. Функция р(х) симметрична относительно среднего значения. Чем больше о„, тем меньше величина максимума, а кривая становится более пологой (площадь под кривой р (х) равна единице при любых значениях оя). На основе функции р (л) можно найти относительное время пребывания величины сигнала х (() в определенном интервале уровней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому (пикфактор) и ряд других важных для практики параметров случайного сигнала. Поясним это на примере одной из реализаций нормального шума, изображенной на рис.
4.8, а для х = О. Эта функция вре- Р(а~х(Ь)=- ~е ' 'ео1 ох= 1/2л о„3 1 (' -«атйо«т 1 ( -«" тра) )т'ав ах Од )т'2л Ои 3 е ('о ебо„ вЂ” е р"~ее(р — — ( е и"1тт19= )т'2л 3 )/2тт (4.29) Функция Ф (ц)= — ~ е-и" /р т(17 1 (4.30) ')/Ъ называется интегралом вероятностей. В любом математическом спра- вочнвке приводятся таблицы этой функция.
Подставив в (4.29) Ып, = 1, 2, 3 и соответственно а7о„= — 1, — 2, и — 3, нетрудно найти вероятности пребывания х (() в полосах шириной 2оан 4о„и боен симметричных относительно оси й В рассматриваемом частном случае (! а( = Ь) формулу (4.29) можно упростить на основании симметрии функции Р (х) относительно оси ординат (рис. 4.7). Таким образом, Ыо. Р( — Ь(х -Ь)=2 — ~ е-л'~от(и=2Ф~ ).
1 Г Т.н .) о Результаты вычислений сведены в табл. 4.1. В последней графе приведены величины, равные 1 — 2Ф (Ыо.), Из этой таблицы сле- Тн ел и не 4.1 Эероетноетв пробивание е интереане зероитноот» пребнеаив в вва интервала Интервал значений 0,317=31,7% 0 046=4 6% 0,003=0,3% 2.0,3413=0,6626 2.0,4772=0,9644 2.0,49865=0,9973 ( — ох, ох) ( — 2о„, 2пх) [ — 3а„, За«) пени соответствует птумовой помехе, спектр которой простирается от нулевой частоты до некоторой граничной частоты, Вероятность пребывания значения х (1) в интервале от а до Ь определяется выражением (4.!). Подставляя в это выражение (4.28), при х= 0 получаем ь дует, что ширину шумовой дорожки (рно, 4.8, а) нормального шума можно приравнять (4 — 5) и„. Если принимать во внимание пики функции х ((), вероятность которых не менее 1%, то пикфактор шума можно оценить величиной — 8 (отношенне пика ко„).
Напомним, что для гармонического колебания пикфактор равен $'2. Отношение времени пребметтния к (Г) в заданном интервале к обшему времени наблюдения (достаточно большому для зффектив- 'г„ вт ж~ Рис 4.8. Случайные функции с онинакоиым распреаелеиием (нормальным). ио с рааличиыми частотными спектрами. ного усредпеиня) можно трактовать как вероятность попадании л (1) в указанный интервал. На такой трактовке основан принцип построения различных приборов, используемых для экспериментального яахождения одномерной плотности вероятности случайного процесса.
Можно отметить, что приведенные выше данные о распределении вероятностей не дают никаких представлений о поведении функции к (г) во времени. На рис. 4.8, б, показана реализация нормального шума со спектром, сосредоточенным в узкой полосе частот с центральной частотой еое. По своей плотности вероятности р (л) и, следовательно, по значениям х и о„, этот шум не отличается от низкочастотного шума, показанного на рис. 4.8, а. Для описания временнйх характеристик функции х(0 необходимо привлечь двумерную плотность вероятности, позволяющую найти корреляционную функцию.
Другой способ — нахождение спектра мощности случайного процесса. Он рассматривгется в следующем параграфе. 43- СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Подразумевая под случайным процессом множество (ансгмбль) реалиэгций, необходимо иметь в виду, что реализацинм, обладающим различной формой, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности, введенной в 5 2.6 илн 5 2.12, по всем реализациям приводит к нулевому спектру процесса (прн х = 0) из-за случайности н независимости фгэ спектральных состгвлнющих в различных реализациях. Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего кеадрата случайной функции, поскольку величина среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник.
Если под случайной функцией х (() подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассмгтривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случайного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю люи]- ность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте со.
Введенную таким образом спектральную плотность ]]т (ю) в дальнейп|ем будем называть енереетическилч спектром функции х (!). Смысл такого названия определяется размерностью функции ][т (ю), являющейся отношеннем мощности к полосе частот: []Р Но)]=~ """ 1=[Мощность хвремя]=[Энергия]. 1 Полоса частот ! Энергетический спектр можно найти, если известен механизм образовгния случайного процесса. Применительно к шумам, связанным с атомисгической структурой материи и электричества, эта задача будет рассмотрена в ~ 7.2. Здесь же мы ограничимся несколькими определениями общего характера. Выделив из ансамбля какую-либо реализацию х„(() и ограничив ее длительность конечным интервалом Т, можно применить к ней обычное преобразование Фурье и найти спектральную плотность Хат (со).
Тогда энергию рассматриваемого отрезка реализации можно вычислить с помощью формулы (2.66): т(а ОО Эьт= ~ хат(!)й! = — ] [Хат(от)]'йы. (4.61) 1 2п,/ -т1а О) Разделив эту энергию на Т, получим среднюю мощность й-й реализации на отрезке Т." — 1 с ("гт и )!' хат (г)= — ) й~. х,) т При увеличении Т энергия Эьт возрастает, однако отношение Э,р! Т стремится к некоторому пределу. Для перехода к стационарному случайному процессу необходимо длительность Т каждой реализации устремить к бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
