Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если задержка Т значительно больше интервала корреляции процесса х (1), то В„ (Т) -~ 0 и о,' = и„' (1 + Ке). Применим теперь к В, (т) соотношение Винера — Хинчина (4.38): К, (м) = ! В, (т) е — '"' йт= (р,, (ь)+ (гт (м) + !г'„„(в) +У„„(м). (4.54) В этом выражении (р„„(»= ~ В„„(') — пт! ц „„( ) = !" В„„() — пт (4.55) имеют смысл взаимных энергетических спектров случайных процессов х(1) и У(» ° Обратные преобразования Фурье„примененные к йг„„(ы) и )р„„(ы), принимают вид В з(т)= — ~ 6'„„(ы)е'""йз; 2п В (т) — ~ Я7 (ы) всат,(ы (4.56) В отличие от энергетического спектра (р (в) или )рз (а), являющегося действительной функцией ы и не могущего принимать отрицательные значения, взаимные спектральные плотности ЯГ,„(ь) и ЦГз„(ь) могут быть комплексными функциями.
Это имеет место при нечетных относительно т функциях В„„(т) и В„(т). Подстановка в (4.$5) соотношения (4.51) приводит к равенству (4.57) Г„„(в) = ((г;,„(ь), откуда следует, что (р„„(о)) + 1)г„„(в) = 2йе (цг„„(ы)) = 2 йе Ю„„(в))„(4.58) Таким образом, выоажение (4.54) можно записать в форме В; (ы) = Ю„(со) + йГ„(ы) + 21(е Паяя (ы)), (4.59) Это выражение поясняет физический смысл взаимного энергетического спектра ((Г„„(в). Если случайные процессы х (1) н у (г) статистически независимы, то Г„„(в) = О и энергетический спектр суммы з(1) = к (1) + у (1) равен сумме энергетических спектров йу„(со) и яг„(ы) и, следовательно, мощность процесса з (1) равна сумме мощностей процессов х (г) и у (Г). Если действительная часть взаимного энергетического спектра положительна, то 1(г, (о) ) йг„(ы) + Ига (о) и, следовательно, корреляция между процессами приводит к возрастанию средней мощности суммы а,' ) о„' + о,"...
Очевидно, что при отрицательной действительной части $~„„ (ы) мощность суммарного процесса меньше, чем о,"'+ о'„. Если и,' =- о) + о„', то процессы х (() и У (() являются некогерентными, аддитивными (см. з 2.18). 4.6. УЗКОПОЛОСНЫИ СЛУЧАИНЫИ ПРОЦЕСС Краткое описание свойств нормального шума, сформированного из белого шума вырезанием относительно узкой полосы частот, было даяо в 2 4.4.
Там, отмечалось, что каждая из реализаций подобного случайного процесса имеет вид почти гармонического колебания х (1) = А (1) соз (аз( + 8 (1)] = А (1) соз ф ((), (4.60) все параметры которого — огибающая А (1), фаза О (г) и частота го (() — являются случайными, медленно меняющимися функциями времени. При представлении шума в форме (4.60) предполагается, что огибающая А (г) отвечает соотношению (4.61) А (р) =Ухе(г) + рв (У), где у (г) — функция, сопряженная по Гильберту исходной функции х (ь) (см. 5 3.9), а гоо выбрана таким образом„что не содержит слагаемого, линейно зависящего от г. Рнс.
4.И Энергетические спектры: а — тэкоаолоснога процессе с центральной честатой и „б — коснеуснай састенлкюаьей камалексной оснбеюсцей. Дальнейшее рассмотрение основано на допущении, что энергетический спектр шума х И) сконцентрирован в узкой по сравнению с величиной гоо полосе, причем функция йт„(го) в указанной полосе симметрична относительно точки соа (рис. 4.13, а). Рассмотрим стационарный зргодический процесс с нормальным законом распределения вероятностей.
Здесь необходимо подчеркнуть, что указанное распределение характеризует физическое колебание х (г), т. е. мгновенное значение колебания (в любой момент времени 1). Параметры же колебания: А (1), 8 (г) и го (г) =- г(лрlг((— обладают законами распределения, существенно отличающимися от нормального'. Для полного описания свойств узкополосного процесса требуется знание законов распределения, а также корреляционных функций всех параметров колебания. й Это вытекает ив нелинейного характера зависимости параметров А 8 и ю от х и у. (. Огибающая Представим высокочастотное колебание х (О, определяемое выражением (4.60), в виде суммы двух квадратурных колебаний; х (() = А (() соя(0 (() соя юо ( — А (О я!и О (~) я1п шо( = = Ао (О соз гоо( — Ао (г) я|п гоо( (4.60') Здесь, как и в $ 3.5, А, (О = А (О соя О; А, (О = А (О я(п О (4.62) представляют собой амплитуды соответственно косинусной и св- нусной составляющих колебания х ((), причем А (г)=- о'Ао (г) + АГ (г); О (() = — агс(а А,!Ас.
(4.63) Для отыскания плотности вероятности рл (А) и рв (9) требуется знание соответствукицих плотностей р (Ао) и р (А,), а также совлоестной плотности вероятности р (А „А,). Плотности р (А,) и р (Ао) можно определить, сопоставив случайную функцию А, (() (или А. (()1 с функцией х ((): х (О = А (г) соя (мог + О (Ф Ао (О = А Щ соя 0 (~).
Отличие А, (О от х (() заключается в исключении слагаемого гоо( из аргумента косинуса. Как и в случае детерминированного колебания, это означает сдвиг спектра каждой из реализаций случайного процесса на величину шо (в направлении к нулевой частоте, при сохранении етрукгпурм спектра). При этом сохраняется н закон распределения случайной функции х (О.
Поэтому, если процесс х (() нормальный, то и процесс А, (() нормальный. (оба процесса с нулевым средним). Энергетический спектр йго, (й) случайной функции А, (Г) можно получить из энергетического спектра функции х (О сдвигом на ш„левого лепестка и на — юо правого лепестка спектра )о'„(ш) (рис.
4.13). В результате получается энергетический спектр (4. 64) группирующийся вблизи нулевой частоты. Коэффициент 2 учитывает' сложение мощностей, приходящихся на оба лепестка Ит„(ш). ' В случае детерминированного АМ колебания (рис. З.З) прв переходе от спектра Бо (ю) н спектру Ял (ю) удваивается спектральная плотность напряжения (или тока), что приводит к учетверению спектральной плотности энергии, пропорпиональаой оло (а). В данном случае мошность всего лишь удваивается из за аекогерентного суммирования внергетических спектров от обоих лепестков Д я (ю).
Аналогичные рассуждения используем для случайного процесса А, (1) и его энергетического спектра йтл,'(Й) = 262„(юс + ()). Из этого выражения и рис. 4.13 вытекает, что площадь под кривой цу„(ю) (в двух лепестках) совпадает с площадью под кривой Ю'л, (Р) (или Яул (Р)). Следовательно, дисперсии случайных функций А, (О, А, (() и х (1) одинаковы: ох = ол = о„'. При учете первого выражения (4.63)„из которого вытекает равенство А' (1) = А,' (г) + А,' (Г), приходим к следующему выражению для среднего квадрата огибающей: (4.65) <Ав> = А'(1) == ол + плс =- 2ос Итак, одномерные плотности вероятности случайных функций А, (г) и А, (с) можно определить выражениями 1 Ас Ас р(А,)= ехр ~ — — '); р(А ) = ехр ~ — — ' ~/2по„2о„' ) ' ~/~ц, ~, 2о', ) (4.66) Кроме того, взаимная корреляция между функциями А, (() и А, (() равна нулю при т = О.
Действительно, возводя выражение (4.60') в квадрат и усредняя по множеству, получаем <х' (с) > = <(А, (1) соз ос 1 — А, (Г) ып ю 1)'> = <А,' (г) > созе гас 1+ + < А с (1) > ып' сос à — 2 < Ас (1) А, (Г) > ып юс Г сов ю Д Нолевая часть этого выражения равна В (0) = ай крометого, "-=Ас ())= = (Асс (1)~ = ох = Вл, (0) = Вл, (0), а (Ас (() Х х А, (1)) = Вл,л (О) является взаимиокорреляционной функцией случайных процессов А, (() и А, (1) при т =- О. Следовательно, предыдущее равенство приводится к виду В„(0)=Вл,(0) — Вл л (0)ып 2сос( (4.67) из которого вытекает, что Вл,л (О) = О 1поскольку процессы х (1) и А, (() стационарны, равенство (4.67) должно выполняться в любой момент времени).
Итак, А, (() и А, (1), отсчитываемые в один и тот же момент времени, — независимые величины.' Поэтому совместную плотностьс х Это положение вытекает также ив соотвошеиия (4.65), покааывающего, что средний квадрат огибающей А (О, т. е. ол, является аддитивиой суммой средних квадратов фувкпий Ас (О и Ас (О. вероятности и (А„А.) можно определить выражением ! -Ас —.41 Р(АмАе)=Р(А )Р(А )= — ехр ~ ' ' )= 1 г' Ав = — ехр (4.68) 2по,' (, 2о„) ' Вероятность того, что конец вектора А(1) лежитвэлементарном прямоугольнике г(А,с(А, (рис. 4.14) равна произведению вероятностей пребывании А, в интервале с(Ав и А, в интервале с(Ае: 1 г Ав1 р (А,) г(А, р (А,) г(Ав= — ехр ~ — — с(Асс(А,.
Х х Рис. 4.15. К определению двумерной плотности вероятностей модуля и вргументв комплексной огибающей. Рис. 4.14. К определению двумерной плотности вероятности квадрвтурнмх составляющих комплексной огибающей увкополосного пропессв. При переходе от прямоугольных координат и полярным площадь заштрихованного на рис. 4.15 элемента будет Ас(ЫА, а вероятность пребывания конца вектора в этом элементе равна — ехр ~ — — ) Ас16г(А. 1 Ав1 улов ~ 2о) ) Из этого выражения следует, что двумерная плотность А / Ая р(А,О) = — ехр ~ —— (4.6Я Интегрируя по переменной О, получаем одномерную плотность А / Ав рл(А)= ~ р(А,О)с(О= — ехр ~ — — ), '~А«оо. (4,76) Обоснование пределов интеграла приводится в следующем пункте данного параграфа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
