Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В соответствии с атой теоремой сигнал з(1). ограниченный по то спектру наивысшей частотой ы = 2п!", можно представить !ядом (2. 12 1) агк (г — ла/) уже встречавшаяся ранее (см. $2.9, рис. 2.20, а), обладает следующими свойствами: а) в точке / = иЛ( гр„(пЛ/) = 1, а в точках / = йЛ/, где й— любое целое положительное или отрицательное число, отличное от и, гр (/гЛ/) = О; б) спектральная плотность функции гр, (1) равномерна в полосе частот (а( ( а и равна 1/2/ = и/а (см.
(2.82) и рис. 2.20, б!. и') г (л+блт Рис. 2.35. Представление сигнала рядом Котельникова. Так как функция гр„(1) отличается от ~ре (1) только сдвигом иа оси времени на величину пИ, то спектральная плотность функции грп (г) — е-г "'"=й/е '"лгм при — а (а(а, 1 26, Оприа( — а иа)а.
(2.122) Модуль этой функции изображен в нижней части рис. 2,36 (сплошной линией). То, что ряд (2.120) точно определяет заданный сигнал з (/) в точках отсчета, не требует дополнительных доказательств, поскольку «оэффициентами ряда являются сами выборки нз функции, т. е„ величины з (пМ). Можно доказать, что ряд (2. 120) определяет функ- В этом выражении !/2/ = Л/обозначает интервал между двумя отсчетными точками на оси времени, а з (и/2/ ) = з (и/г/) — выборки функции ь (/) в моменты времени 1 = пЖ. Представление заданной функции з (() рядом (2.120) иллюстрируется рис.
2.35. Функция вида цию з (!) в любой момент 1, а не только в точках отсчета ! = пМ Воспользуемся для этого общими правилами разложения функпии по ортогональной системе, изложенными в 2 2.2. В данном случае разложение производится по функциям вида (2.12!), для которых интервал ортогональности равен бесконечности, а норма ((ф,'и в соответствии с (2.5) га' И вЂ” лбГ)з мм,) аа и„, 0 (2.12о! Не предрешая заранее значения коэффициентов ряда (2.12()), применим для их определения общую формулу (2.9), справедливую для обобщенного ряда Фурье: с„= — ~ з(!) ф„(!) г(Ш. ! ю (2.124) При этом мы исходим из условия, что и (г) — квадратично интегрируемая функция (энергия сигнала конечна), 7 лГ е гй: Рис. 2.36. Связь между спектрам сигнала з(Г) и спектром базисной функнии ч* (б- Для вычисления интеграла в выражении (2.124) воспользуемся формулой (2.53), согласно которой э(г) гаа (г) а= — — ~ 5(га) ема' г(га.
(2.125) ! ! 2Ь, 2п Пределы интегрирования здесь приведены в соответствии с заданной граничной частотой г» = 2пг в спектре сигнала, а таике в спектре функции <р„(1), Интеграл в правой части (2.125) с коэффициентом 1/2п есть не что иное, как значение в (/) в люмент / = пИ. Таким образом, в(1) ~р„(/) д/=Ив (пИ). Подставляя этот результат в (2.124), получаем окончательное выражение с„= з (пИ), нз которого следует, что коэффициентами ряда (2.120) являются выборки функции в (/) в точках 1 = пИ, Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой обеспечивает непрерывность функции в(1), ряд (2.120) сходится к функции в (/) при любом значении й Если взять интервал между выборками И' меньшим, чем И =— =- 1/2/, то ширина 2/' спектра Ю„' (в>) функции ср,* будет больше, чем у спектра 3 (и>) сигнала в (1) (рис.
2.36), но это не отразится на величине коэффициента с„. Модуль функции Ф' (ы) изображен на рис. 2.36 штриховой линий. При увеличении же И по сравнению с И спектр 6>„" (в>) функции ~р„" (1) (на рис. 2.36 показан штрих-пунктиром) становится уже, чем спектр сигнала з (1), и при вычислении интеграла в выражении (2.125) пределы интегрирования должны быть — 2п/„', 2п/" вместо — 2л/; 2п/ . Коэффициенты с„при этом являются уже выборками ие заданного сигнала в (/), а некоторой другой функции в, (1), спектр которой ограничен наивысшей частотой /" .
Итак, сокращение интервалов между выборками по сравнению с величиной 1/2 / допустимо, но бесполезно, Увеличение же интервала сверх величины 1/2 / недопустимо. Рассмотрим тегерь случай, когда длительность сигнала в (г) конечна и равна Т„а полоса частот по-прежнему равна / . Эти условия, строго говоря, несовместимы, так как функция конечной длительности обладает теоретически бесконечно широким спектром. Практически, однако, всегда можно определить наивысшую частоту спектра / так, чтобы <хвосты» функции времени, обусловленные отсекаиием частот, превышающих /, содержали пренебрежимо малую долю энергии по сравнению с энергией заданного сигнала в (1). При таком допущении, если имеется сигнал длительностью Т, с полосой частот /, общее число независимых параметров [т. е.
значений в (пИ)1, которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно, будет равно й>= Тс/И = 2/тТс. (2.! 26) При этом выражение (2.120) принимает следующий вид (при отсчете времени от первой выборки): м г, <=» Число й иногда называют ч и с л о м с т е п е н е й с в о- боо д ы сигнала 5 (/), так как даже при произвольном выборе зна- чений з (пЯ сумма вида (2.127) определяет функцию, удовлетво- ряющую условиям заданного спектра и заданной длительности сиг- нала.
Число А! иногда называют также б а з о й сигнала. Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через заданную последовательность временных выборок, Используя формулы (2.16) и (2.123), получаем мат, 5!55 то т= ~ [з(ПА/)]5[[1Р„[[5=/[/ ~ ! 5(ПА/)[, (2 128) о=о л о 5!а то 5/ т, Уф= — = —, ~~[', [з(ПА/)[5 — 5У5 [з(пА/))5. (2.129) То то 2йо То .ю~аю Из последнего выражения видно, что средняя за время Т, мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборки, Усреднение производится по всем интервалам, число которых равно 2/„,То.
2ЛЗ. ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ Иногда сигнал необходимо представить е помощью ч а с т о т- н ы х в ы б о р о к спектральной функции 8 (а), а ие временнйх выборок функции з (1). Для функции 3 (а) можно составить ряд, аналогичный выражению (2.120). Это нетрудно сделать на основа- нии взаимной заменяемости переменных / и а в преобразованиях Фурье. Применительно х выражению (2.120) это означает, что / сле- дует поменять на а, 2а на Т„2/ на То/2и н И=1/2/ иа Аа = 2п/То.
Таким образом, получаем !т о т 5! п — (а - ПЬа'1 То Ь (а) = ~~ 3 (пйа) Т- о 2 — (а — ива! т !51 О 51п [а — и $ (и — ) о (2 130) Расстановка частотных выборок иллюстрируется рис. 2.37, Если ранее временной интервал между двумя соседнимн выбор- ками ие должен был превышать 2п/215, то теперь частотный ин- тервал не должен превышать 2я/То. При ширине спектра 2а охватывающей область частот — в а с, а, число выборок равно 2а /Аа = 2/ Т, как н при представлении сигнала рядом (2.
127), В общем случае выборки $ (п2п7Т,) являются комплексными числами и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два параметра — действительная и мнимая части 3 (п2п!Тс) (или модуль н аргумент). Таким образом, общее число параметров получается вдвое большим, чем при временном представлении сигнала, когда выборки з (п!27' ) — действительные числа.
Избыточность представления сигнала в частотной области легко устраняется, если учесть, что 8 (п2пlТ,) и Ь ( — п2п!Тс) являются комплексно-сопряжениыми функциями, так что задание одной из них однозначно определяет другую, Таким образом, спектр сигнала -Я~в -Лв Е Лв дЕв Ззв ° ° вв в Рис. 2.37. Лискратиааиии спектра сигнала оо Котельникову, полностью характеризуется совокупностью комплексных выборок, вз ятьж только в области положительных частот, и число незпеисилгых параметров или степеней сеободы сигнала равно 2) Т„как и при представлении сигнала во временной области.
2па. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ таЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Ю В, (т) = ) а (Г) аа У+ и) й1, (2.131) где т — величина временнбго сдвига сигнала. Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов часто на практике оказывается необходимой характеристика, которая давала бы представление о некоторых свойствах сигнала, в частности о скорости изменеяия во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие. В качестве такай в р е м е н н о й характеристики широко используется корреляционная фун кци я сигнала. Для детерминированного сигнала л (г) конечной длительности корреляционная функция определяется следующим выражением: В данной главе рассматриваются сигналы, являющиеся вещественной функцией времени, и обозначение комплексного сопряжения можно опустить: В, (т) = ~ з (Г) в (т + т) вт.
(2.132) гт ет аггее) -(й-Ю в (й-Ь! -(т -гт/ в гт Ф Рис. 2.38. Построение корреляционной функции цля прямоугольного импульса. Рис 2.39 Построение корреляционной функ. ции лля треугольного импульса. Из выражения (2.132) видно, по В, (т) характеризует степень связи (корреляции) сигнала я (1) со своей копией, сдвинутой на величину т по оси времени Ясно, что функция В, (т) достигает максимума при т = О, так как любой сигнал полностью коррелироваи с самим собой. При этом В„(0)= ) ве(т)вг=З, (2.133) 0 т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
