Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(2.39) т !! Йм и 2 ! 1 Величина У = Т!т„называется скважностью импульсной последовательности, Прн больших значениях А! спектр сигнала содержит очень бальпюе число медленно убывающих по амплитуде гармоник (рис, 2.10). Расатояние между спектральными линиями очень мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине, Это наглядно вытекает из формулы (2.38), которую в данном случае улобно представить в несколько измененном виде (а„(=А„= — ~з)п(ап ~" ) ~.
Прн малых значениях и можно считать сати ~та (2.40) т т Постоянная составляющая, равная а,(2 = ЕТ„УТ, вдвое меньше амплитуды первой гармоники. При построении спектра коэффициентов (с„! величина с, приближенно равнялась бы )с,!. 2$. РАспРеделение а!Оп(ИОсти в спектРе пеРиОдическОГО КОЛЕБАНИЯ Пусть колебание Щ (ток, напряжение) представляет собой сложную периодическую функцию времени а периодом Т.
Энергия такого колебания, длящегося от 1 = — оо до г = оо, бесконечно велика. Основной интерес представляет средняя мощность периодического колебания и распределение этой мощности между отдельными гармониками. Очевидно, что средняя мощность колебания, рассматриваемого на всей оси времени, совпадает с мощностью, средней за один период Т. Поэтому можно воспользоваться формулой (2.17), в которой пол коэффициентами с„следует подразумевать коэффициенты ряда (2.20), пол интервалом ортогональности (, — 1, — величину периода Т, а под нормой ((!Р ц — величину РТ (см, формулу (2,21)). Таким образом, средняя мощность периодического колебания ОФ У ()) = — ~))~~ ( с„(з Т = ~~) ~ с„('. (2А 1) Используя тригонометрическую форму ряда Фурье и Учитывая, что сь — — а,/2 и ) с„'~ = А„/2, получаем У(р) = ( — '" ) -1- 2 '~' ~Ь) =(в' ) + — «т«А«.
(2 42) г= ! =! Если з (/) представляет собой ток ! (1), то при прохождении его через сопротивление г выделяется мощность (средняя) /3 /3 Р= г!ь(/)=г ~ /з+ — '+ — '+, г г 26. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Изложенный в 5 2.3 гармонический ааализ периодических колебаний можно распространить на непериодические колебания. Пусть такое колебание з (/) задано в виде. некоторой функции, отличной от нуля в промежутке (/!, 1,) (рис.
2.11). Выделив произвольный отрезок времени Т, включающий в себя промежуток (1,, /,), мы можем представить заданное колебание в виде ряда Фурье з(г) = ~~~', с„емв« ', О(г< Т, (2 АЗ) где !о! = 2п/Т„а коэффициенты с„в соответствии с формулой (2.22) з(г) е — !«ш,! д/ Я Т Подставив (2.44) в (2 4З), получим ««!! Ф т (~! ! -'" '«*) " ' Ш, ош!шт. !24И «= — «1', Здесь учтено, что Т = 2п/!з!. Вне отрезка (О, Т) ряд (2 4З) определяет функцию з (/) = з (/~ ~ АТ), гле А — целое число, т. е. периодическую функцию, полученную повторением з (/) вправо и влево с периодом Т.
Для того чтобы вне отрезка (О, Т) функция равнялась нулю, величина Т должна быть бесконечно большой. Но чем больше отрезок Т, вы- где /„= а„/2 — постоянная составляющая, а /, = А, — амплиз туда п-й гармоники токо !( ). Итак, полная мощность равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельно посчоянной составляющей /, и гармониками с амплитудами /„ /„... Это означает, что средннн мои(носа!ь не зависит от фаз отдельных гармоник. бранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты с„. Устреми лия Т к бесконечности, в пРеделе полУчаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию з (1), заданную в интерале 1, ( ( ~ (и (рис.
2.11). Число гармонических составляющих„ входящих в рЯд Фурье, будет при этбм бесконечно большим, так как при Т-» ои основная частота фувкцин в, =- 2л!Т- О. Иными словами, расстояние между спектральными линиями (см. рис. 2.2), равное основной частоте сиь становится бесконечно малым, а спектр — сплошным. Поэтому можно в выражении (2.45) заменить ь, на с)си, пси, на д гу текущую частоту ь, а операци1с суммирования — операцией интеРис. 2.! П Одиночный импульс. грированпи. Таким образом, приходим и двойному интегралу Фурье Гп и- — 1 ") и-"л1:. 1 (2.46) Оь Внутренний интеграл, являющийся функцией си, ь 8(си)= ~ з(у)е — ьис(Г, (2.47) называется с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т ь ю или с п е ктральной характеристикой функции и (г).
В общем случае, когда пределы 1, и (и не уточнены, спектральная плотность записывается в форме Б(си) — ~ з(1) е — !ьи٠— Ф (2.48) После подстановки (2.48) в выражение (2.46) получаем з(Г) ~ 8(ы) сии с(си йи (2.49) ь (си) —.4 (си) ~В (си) — 8(си) е~ь ва Выражения (2 48) и (2.49) называются соответственно и р я.мым и обратным преобразованиями Фурье, Выражение (2.48) отличается от (2.22) только отсутствием мнос«кителя 1(Т. Следовательно, спектральная плотность 8 (си) облада.
:е г всеми основными свойствами коэффициентов с„комплексного ряда 'Ф урье. По аналогии с (2.23) и (2.24) можно написать где А(ой= ~ з(4соэоИ(; В(а)= ~ э(()э(омбос((. (2.51) О О Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выра- жениями (2.52) (2.53) В (м) = ~/[А(ь))'+(В(м))', 0 (в) = — агс1и! В (ы)/А (ы)1 ° 1 + 1 — ) Ю(в) э)п (ь)~+0)дв. Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подыитегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором— нечетной относительно в.
Следовательно, второй интеграл равен нулю, и окончательно э(() = — ( 8(ы)соэ(о4+0)йо= 2я д = — ~ 8(ь) сос(аг+0) ба. 1 о (2.54) Переход от комплексной формы (2 49) к тригонометрической (2.54) обычно целесообразен в конце анализа; все промежуточные выкладки при применении интеграла Фурье удобнее и прощепроизводить иа основании комплексной формы (2.49). Из сопоставления выражений (2 49) и (2.20) видно, что величина 1 зяб(м) ~йз — — 3(м) г(1 имеет смысл коэффициента с„(бесконечно малого) комплексного ряда Фурье при частоте м = 2пг. Соответственно из сопоставления выражений (2.54) и (2.31) видно, что ве- 1 личина — „В(а) йо = 2В(и) с(~ 'имеет смысл амплитуды А„(бесконечно малой) гармонической составляющей частоты о = 2п1".
Первое из этих выражений можно рассматривать как а и и л итудно-частотную, а второе — как фазочастотн у ю х а р а к т е р и с т и к у сплошного спектра непериодического колебания з ((). Как и в случае ряда Фурье, 8 (ы) является четной, а 0 (ы)— нечетной функцией частоты м. На основании формулы (2.50) нетрудно привести интегральное преобразование (2.49) к тригонометрической форме. Имеем з(г) = — " В( )е ( +а~бы= — ' " В(ы)соь(и+0)цв+ 1 ха 2я Из эт> х сопоставлений становится ясным смысл термина »спектральная плотность»: 28 (ю) есть амплитуда колебания, приходящаяся на ! Гц в бесконечно узкой полосе частот, включающей в себя рассматриваемую частоту ч>. Иа основании приведенных выше рассуждений нетрудно установить соотношение между спектрамя одиночного импульса и периодической последовательности импульсов.
Пусть задан спектр 3, (ю) одиночного импульса в> (() и период повторения Т. Как уже отмечалось вьппе, спектральная плотность Ь> (ч>) [см. (2.48)) отличается от коэффициента с„ряда Фурье периодической последовательности только отсутствием множителя УТ (см. формулу (2.22)). Отсюда следует, что при повторении импульса в, (() с периодом Т коэффициенты с„ряда Фурье для полученной периодической последовательности равны с„= З>(ыУТ, причем аргумент в спектральной плотности 2>(ь>) следует приравнять частоте пч>> соответствующей гармоники. Таким образом, (2.66) Итак, модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадают по 4>орме и отличаются только масиапабом.
2 е некОТОРь>е сВОйстВА пРеОБРАВОВАния ФуРье Между колебанием в (() и его спектром а (ь>) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием колебания и соответствующим этому преобразованию изменением спектра. Из многочисленных возможных преобразований колебания рассмотрим следующие наиболее важные и часто встречающиеся: сдвиг колебания во времени, изменение масштаба времени, сдвиг спектра колебання по частоте, дифференцирование и интегрирование колебанию Кроме того, будут рассмотрены сложение колебаний, произведение и свертка двух колебаний, а также свойства взаимной обратимости ь> и 1 в преобразованиях Фурье 1. Сдвиг колебания во времени Пусть колебание в, (() произвольной формы существует на интервале времени от (> до (, и обладает спектральной плотностью в> (ь>).
Прн задержке этого колебания на величину (ь (при сохране- нни его формы) получим новую функцию времени з (() = з (( (о) сушествующую на интервале от (, + во до ва + (е. Спектральная плотность колебания з (г) в соответствии с (2.48) ° ~в+В Ь,(во)= ~ за(г)е-вмвг((= 1" з,(Ю вЂ” ~о)е — '""гЫ, вв+вв Вводя новую переменную интегрирования т = ( — йи получаем Кв (во) =е — вн' ) з, (*) е — ввв г(т = е-ааь 8, (во). (2.57) Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции з И) на величину -Е(в приводит к изменению фазовой характеристики спектра $ (во) на величину ~во(о. Очевидно и обратное положение: если всем составляющим спектра функции з (() дать фазовый сдвиг О(го) = +-го(о, линейно связанный с частотой го, то функция сдвигается вс времени на величину ~-(о. Амплитудно-частотная характеристика спектра (т.
е. модуль спектральной плотности) от положения колебания на оси времени пе зависит, ч 2. Изменение масштаба времени Пусть колебание з, ((), изображенное на рис. 2.!2 сплошной линией, подверглось сжатию во времени. Новое сжатое колебание за (() (штриховая кривая на рис. 2.12) связано с исходным колебанием соотношением з, (в) = з, (п(), п ) 1. .((лительность импульса з, (() в и раз меньше, чем у исходного импульса, и равна т„lп. Спектральная плотность сжатого импульса ви~" Ва(ав) = ( за(() е-' 'от= га/л гв Рис. 2.12.
Сжатие сигнале ора со- н хранении его финны и амплитуды. ( з (пг)е-'ног. ! Вводя новую переменную интегрирования т = п3, получаем вв — в — в Ва(во)= — )и з,(т)е " г(т. Но интеграл в правой части этого выражения есть не что иное, как спектральная плотность исходного колебания и, (() при частоте гогп, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
