Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 8
Текст из файла (страница 8)
а(г)=с,+ Я 2)а„)соз(п,1+0„). (2.30) л 1 Смысл удвоения коэффициентов Фурье с„в тригонометрическом ряду прн и ~ 1 становится ясным нз рассмотрения векторной диаграммы (рис. 2.1), соответствующей (2.29) при 1п 1=2. Вещественная функция 2 )с„) соз (п(о(1 + 0„) получается как сумма проекций на горизонтальную ась ОВ двух векторов длиной )с ), вращающихся с угловой частотой ) п ) (эс во взаимно противоположных направлениях. Вектор, вращающийся против часовой стрелки, соответствует положительной частоте, а вектор, вращающийся по часовой стрелке, — отрицательной. После перехода к тригонометрической форме понятие «отрицательная частота» теряет смысл.
Коэффициент се не удваивается, так как в спектре периодического сигнала составляющая с нулевой частотой не имеет «дублера». Вместо выражения (2.30) в математической и радиотехнической литературе часто встречается следующая форма записи: з(0= —,' + У [а созпо1,г — Ь з1ппго,0= з 1 а.
«=! = — ','+ ~~~ ~А„сон(псо1 (+О,). ! (2.31) Из сопоставления выражений (2.31) и (2.30) видно, что амплитуда и-й гармоники А„связана с коэффициентом )о„) ряда (2.28) соотношением А„= 2)ск ), а ап = 2гвс Ьк = 2«в«. Таким образом, для всех положительных значений и (включая и и = О) 712 Ю Я а„= — 1 з (0 соз ио11 йи; -Гге Г/2 Ь„=- — ~ з(0яппсо,Ы. (2.32) — У/2 Если колебание представляет Ф~~(л(ах« собой функцию, четную относи- рнс. й и представление гарионнтельно (, т. е. з (0 = з ( — 1), в три- ческаго колебания в виде двух гонометрической записи ряда ос- конплексн1«х составляющих: с потаются только косинусоидальные ложительнай в отрицательной чачлены, так как коэффициенты Ьв в соответствии с формулой (2,32) обращаются в нуль. Лля нечетной относительно ( функции з (~), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты Ь„и ряд сосгоит только из синусоидальных членов.
Две характеристики — амплитудная и фазовая, т. е. модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания. Наглядное представление о «ширине» спектра дает графическое изображение спектра амплитуд. В качестве примера на рис. 2.2, а построен спектр коэффициентов )с„), а на рис. 2.2, б — спектр амплитуд А„ = 2 ~с„) для одного и того же периодического колебания.
Для исчерпывающей характеристики спектра подобные построения должны быть дополнены заданием начальных фаз отдельных гармоник. Спектр периодической функции называется л и н е й ч а т ы и или ди с к р е т н ы м, так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам О.
ю„соз = 2гот, юз = Згог и т. д. Использование для гармонического анализа сложных периодических колебаний рядов Фурье в сочетании с принципом наложения представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных систем на прохождение сигналов. Следует, правда, отметить, что определение колебания на выходе системы по сущее гармоник с заданными амплитудами и фазами является непростой гегг гг Г"у лмг ю !п)еу а/ ьу ау гг гмг лау м г9 Рис. 2.2. Козффициеиты иамплексиого (а) и тригоиометричесиого (б) рипа фурье Пириодичесиоа фуввции времени. задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда Фурье, представляющего колебание.
Наиболее распространенные а радиотехнике сигналы не отвечают этому условию, и для удовлетворительного воспроизведения формы сигналов обычно необходимо суммировать большое число гармонии. Поэтому следует считать, что в случае сложных периодических сигналов метод ряда Фурье удобнее применять для анализа сигналов, нежели для их синтеза.
24. СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ ПЕРИОтьИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Рассмотрим несколько примеров периодических колебаний, часто используемых в различных радиотехнических устройствах. т Меаиир — греческое слово, обозначающее ориамеит. 1. Прямоугольное колебание (рнс. 2.3) е Подобное колебание, часто называемое м е а н д р о м', находит широкое применение в измерительной технике.
При выборе начала отсчета времени по рис. 2,3, а функция является нечетной, а по рис. 2.3, б — четной. Применяя формулы (2 24) находим для колебания, изображенного на рис. 2.3, а, кис=О; Т/2 с„,= — )л е(/) 21ппв,М/ — )//2 Т Т/2 — ( — 1) з)ппв,////+ ) зйп пвд И вЂ” ~1 — соз — ~. ) ~ Таад д 2 — Т/2 о Учитывая, что Тв, = 2п, получаем Е 0 при а=0,2,4,..., с„,= — (1 — созпп)= ~ нл 12Е(пп при п=-1, 3, 5, ... Начальные фазы О в соответствии с (2,27) равны ад/2 для всех гармоник. Рис. 2.3. Перноаическое колебание примоугольйоа формы (меандр), Запишем ряд Фурье в тригонометрической форме е(/)чч Я 2)с„,!соз ! пвд/ — — 1= л=1, а,аа- 2 ) = — ~здп вд д + — з)п Звд /+ — яп 5вд / + ...) . (2.33) 4Е/. 1 . 1 Спектр коэффициентов !еи ! комплексного ряда Фурье показан на рис.
2.4, а, а тригонометрического ряда — на рис, 2.4, б. гл ~ъ/ -ж~ -Г~ дд Тат о/~ ба// /д Га/ оау ба/ Тм/-~м/-3///-ад/ и/ зм/ бат уа// б// Ем/ Ж/ Тну л/ б/ Р"с 2Л. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) ряда Фурье колебания, показанного на рис. 2.3, При отсчете времени от середины импульса (рис. 2.3,б) функция является четной относительно 1 и для нее е(1) = = ~соа гагг — — соз Зга, 1+ — сон 5ге, г — .. ) (2.34) Графики 1-й (и = 1) и З-й (и = 3) гармоник и их суммы изображены на рис.
2.5, а. На рис. 2.5, б зта сумма дополнена пятой гармоникой, а на рис. 2.5, в — седьмой. С увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда приближается к функции е (1) всюду, кроме точек разрыва функции, Рнс. 2.3. Суммирование 1-й н 3-й гармоник (а), 1, 3 н 3-й гармпннк (б), 1, 3, 3 н 7-й гармоник (в) кпаебаннк, покаааннпго на рнс. 2.3. где образуется выброс. При и-~-се величина зтого выброса равна 1,18 Е, т.
е. сумма ряда отличается от заданной функции на 18%. Этот дефект сходимости в математике получил название я вл ен и я Г и б б с а. Несмотря на то, что в рассматриваемом случае ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции е (г) в точках ее разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку при и-эсе выбросы являются бесконечно узкими и не вносят никакого вклада в величину интеграла (2.13). 2. Пилообразное колебание (рис. 2.6) С подобными функциями часто приходится иметь дело в устройствах для развертки изображения в осциллографах.
Так какзта функция является нечетной, ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены. С помощью фопыул (2.24) — (2.31) нетрудно определить ком)хРициеиты ряда Фурье. Опуская эти выкладки, Рис. 2.7. Сумма первых пяти гармоник колебания, показанного иа рнс. 2.6, Рис. 2.6. Пер аолическое колебание пилообразной формы. напишем окончательное выражение для ряда 2Е г 1 е(г)= — ~а(пгахг — —, и!п2ге,г+ 1 1 + — Б!и 3го г — — 51пбга ( + ...). 3 ' 4 (2.35) Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону 1/а, где и == 1, 2, 3, ...
На рис. 2.7 показан график суммы первых пяти гармоник (в увеличенном масштабе). 3. Последовательность униполярных треугольных импульсов (рнс. 2.8) Ряд Фурье дли этой функции имеет следующий вид: Егиа е(Г)= — ~ — — — ~соагвхг + п12 п1 + — соз Зсохг+ — соэбгохг+ ...)1. 1 1 ах бе (2.36) Чг -т/г Рис. 2.6 Сумма трех первых гармоник периолическоа фуккпии. На рис. 2.8 изображена сумма первых трех членов этого ряда. В данном случае отметим более быстрое убывание амплитуд гармоник, чем в предыдущих примерах.
Это объясняется отсутствием разрывов (скачков) в функции. 4. Последовательность уииполириых прямоугольных импульсов (рис. 2.9) Применяя формулы (2.32), находим среднее значение (постоянную составляющую) св1Е (2.37) ое 1 (' (у) с(( = тн Е 2 Г,) Т вЂ” чв/В и коэффициент и-й гармоники Рис. 2.9.
Периодическая посведовательвость прямоугольных импульсов с бои~ шой скважвостью. рвуЬ~у ят Аг и гя гя Ркс. 2.10. Спектр импульсной последовательности, покавакяоя яа ряс. 2.9. т, /3 а„= — 3! е (У) соз ас!! Ю= — з!и — ". (2.38) 2 !" оо!! ги т ) !!л 2 — т /э !! Так как функция е (!) четная, Ь„= 0 и А„а„. Таким образом, е(0 Е~ — "+ — У вЂ” з!п ""' " сохло!!! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
