Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. Ь, (во(п), Таким образом, 3д (ы) = (1/и) $, (сь!и). Итак, при с>катин колебания в и раз на временнбй оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в и раз. Очевидно, что при растягивании колебаний во времени (т. е. при и ~ 1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности, 3.
Смешение спектра колебания Применим преобразование Фурье (2 48) к произведению з(()соз("'о1 + йо). з(г) сох (воГ+Оо) е —:"'Ж = О г1 1 нам+за)1 = ~ з(()~ — ел'а+ем 1 — е 1(е — ' а= 2 — в. е — с, — — з ()) е-с!о>-авн Д(+ ~ з (() е — ив+в и Щ. 2 2 Первый интеграл в правой части есть не что иное, как спектральная плотность функции з (г) при частоте а — е„а второй интеграл — при частоте ь+ в . Поэтому полученное выше соотношение можно записать в форме з(Г) соз (~оо Г+Ьо)е-' г(Г= — '(е" 3(а — ыз)+е-'" 8(а+а )) 2 Ф (2.58) где Ь (гз) — спектральная плотность колебания з (1).
Из выражения (2.58) вытекает, что расщепление спектра Ь (ы) на две части, смещенные соответственно на +гз„и — е„, эквивалентно умножению функции з (() на гармоническое колебание соз ь„( (прн О„= 0). Более подробно это положение рассматривается в гл. 3 при изучении модулированных колебаний. 4. дифференцирование и интегрирование колебания Опуская строгие доказательства, ограничимся простыми рассуждениями.
Дифференцирование колебания з, (1) можно рассматривать как почленное дифференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Общий вид гармонической составляющей колебания з, (1) при частоте ь можно представить в форме 1 аа — 8, (ы) Йо~ е Заключенную в квадратные скобки величину можно рассматривать как амплитуду колебания в полосе пь.
!Сравнить последнее выражение с (2А9) ) Дифференцирование по времени 1 дает йв ( 8 (ы) „(со ~ сын 1 2а Следовательно, спектральная плотность произволной оз1(()й(1 равна (2.59) 82 ( ) ~~81( ) Аналогично спектральная плотность интеграла ) з(()Ш равна 82 ( ) ((~1~) 81(м)т ' (2 69) 5. Сложение колебаний Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным преобразованием, то очевидно, что при сложении колебаний з, (1), з, (Г), ..., обладающих спектрами 8, (ю), 8, (и), ..., суммарному колебанию з (() = з, (1) + з, (() + ... соответствует спектр 8 (ы) = 8, (в) + +8, (ы)+... 6.
Произведение двух колебаний Пусть рассматриваемое колебание з (() является произведением двух функций времени / (г) и д (1). Используя общую формулу (2АВ), определяем спектр колебания з (1): 8 (а) = ~ з (() е-'"' с((= ~ ~ (() д (Г) е-~е' 1У, (26)) Каждую из функций Г (() и д (() можно представить в виде интеграла Фурье Подставляя в (2.61) второй из этих интегралов, получаем 6 (а) = — ~ ~ (() е- ам й ~) С (х) еьа ((х= 1 е 2 1 г б (х) ) у(1) е — ~а — х) 1 б( Дх 2л Заключенный в квадратные скобки интеграл представляет собой спектральную плотность функции ( (1) при частоте а — х, т.
е. Г (а — х). Следовательно, (2.62) Итак, спектр произведения двух функций времени Г (1) и д (1) равен (с коэффициентом 1/2п) свертке ик спектров Г (а) и б (а). Из выражений (2.61) и (2.62) в частном случае а = 0 вытекает следующее равенство: ~(4а(1)а~= — ~ б(х)Г( — х)Ых. та,) Заменяя в последнем выражении х яа а, получаем 1Яа(Г)г(1= Г С(а) Г( — в)вайо= — 1 б(а) Гэ(а)с(а, (2631 тп 2я,) = — ~ Г (а) б (а) е' ' с(в. 1 (2 бч) Последнее выражение особенно широко используется при анализе передачи сигналов через линейные цепи.
В этом случае функпли времени 1 (1) и л (1) имеют смысл соответственно входного сигнала и импульсной характеристики цепи (см. э" 6.3), а Г (а) и С (а)— спектральной плотности сигнала н передаточной функции цепи. где Г*(а) = Г( — а) — спектральная функция, комплексно-сопряженная функции Г (а). Совершенно аналогично можно показать, что произведению двух спектров Г (а) С (а) = 8 (а) соответствует функция времени а(1), являющаяся сверткой функций ~ (1) и д (г): 7.
Взаимная заменяемость а и 1 в преобразованиях Фурье Обратимся к общему выражению (2.48) и выясним характер функции 8(а) для различных функций я(1). а. Пусть я (1) есть функция, четная относительно й Переписывая выражение (2.48) в виде Ю 6 8(а)= ) я(г) созаЫ1 — Г ) я(1) з(пайЖ убеждаемся, что при четности я (1) второй интеграл равен нулю. так как произведение я (1) я)п аг является функцией, нечетной относительно 1, а пределы интегрирования симметричны. Таким образом, при я Я, четной относительно 1, функция 5 (ы), определяемая первым интегралом, есть функция вещественная и четная относительно а. б.
Если я (1) нечетна относительно 1, то в нуль обращается первый интеграл и 8(а) = — 1 ) я(1»миа1Ж. В этом случае $ (а) — нечетная и чисто мнимая функпия а. в. Если, наконец, я (г) не является четной иля нечетной функцией относительно 1, то ее можно разложить на две функции: четную я, (() и нечетную я, (1). При этом 8 (а) представляет комплексную функцию, причем действительная ее часть четна, а мнимая нечетиа относительно а.
Из и. а вытекает, что при четной функции я (г) можно произвольно выбирать знак перед 1 в обратном преобразовании Фурье (формула (2.49)); выберем знак минус и запишем формулу (2.49) в виде я(1)= — ~ 8(а) е-'"" йо. 1 2 Произведем теперь в последнем интеграле замену переменной интегрирования а на 1 и параметра 1 на а. Тогда левая часть должна бь|ть записана в виде функции от аргумента а я (а) = — ( Ь (() е — ' ' сй.
Жс Но интеграл в последнем выражении можно рассматривать как спектральную плотность новой функции Ь (1), полученной путем замены а на 1 в выражении спектральной плотности колебания я (1). Обозначим эту новую спектральную плотность через 6'(ь). Тогда Ь' (ь) =- 2яэ(ь). (2.66) Втот результат показывает, что переменные ь и г в преобразованиях Фурье вмилно ьтленплы: если колебанию (четному) з (й соответствует спектр Ь (и), то колебанию 6 (() соответствует спектр 2пх (ь).
Пример применения этого правила приводится в и. 3, $ 2.9. 28. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В СПЕКТРЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ )1ля получения выражения, аналогичного (2.42), можно идти двумя путями: исходя из (2.42) совершить предельный переход Т - о или воспользоваться результатами предыдущего параграфа. Рассмотрим второй путь, Для этого воспользуемся выражением (2.63). Если ~ (() и и (() представляют собой одно и то же колебание ! (() = и (() = х (()> то интеграл ) Г(г)д(г)пг= ) У(~)гУ=З представляет собой полную энергию колебания з ((), а произведение спектральных плотностей б (ь) Р* (ь) = 6 (ь) Ь* (ь) = (6 (ь)(э = 8' (ь), где $ (ь) — спектр колебания э ((), а о' (ь) — модуль этого спектра.
Таким образом, приходим к окончательному результату Ю О 3= ~ И(()с(Г= ( (Ь(ь))эдь= — ~ Я~(ь)дь. (2.66) 2а й и Это важное соотношение, устанавливающее связь между энер- гией колебания (при сопротивлении ! Ом) и модулем его спект- Ральной плотности, известно под названием р а в е н с т в а П а р с е в а л я. Между выражениями (2.42) и (2.66) имеется существенное раз- "личие. В 8 2.6 речь шла о средней мсгцности периодического коле- '.бания. Операция усреднения осуществлялась делением энергии :,'.отрезка колебания за один период на величину Т. В случае же непе- ::.риодического колебания конечной длительности усреднение энер- '!)'ии за бесконечно большой период дает нуль.
и, следовательно, .„)Средняя мощность такого колебания равна нулю, 2.9. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СПЕКТРОВ НЕПЕРИОДИЧЕСКНХ КОЛЕБАНИЙ Основной задачей настоящего параграфа является пояснение свойств преобразований Фурье, приведенных в предыдущих параграфах, на примерах, важных для практики. 1. Импульс прямоугольной формы Простейшее колебание, определяемое выражением А при 2 2 (2.
67) э, (1)= О при(( — т" и()™ 2 2 и представленное на рис. 2.13, получило широкое распространение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Применяя формулу (2.48), находим спектральнуго плотность (рис. 2.14) т /т Ь,(го)=А ) е мк Й=— А — ио т /2 2А . ыти = — айп — "=Ат ~ ы 2 ""'""""1 соти/2 (2.68) Заметим, что произведение Ат„, равное площади импульса, определяет значение спектральной плотности импульса при гп = О, т. е. 8, (О) = Ат„.
Этот вывод можно распространить на импульс произвольной формы. генг г -у ги га га гк гп Рпс. 2ЛЗ. Импульс прямоугольной Рпс. 2А4. Спектральная плотность формы„ прямоугольного импульса. !Лз выражения (2.66) видно, что величину 13(гп)1т, имекхдую смысл энергии, приходящейся на единицу полосы частот, можго рассматривать как спектральную плотность энергии колебании. Действительно, из общего выражения (2.48) следует, что йт (О) = ) з, (Е) е — 'о' г(/= ') и, (/) г(г.
(2.69) ОО Правая часть этого выражения есть не что иное, как площадь импульса з, (1). Таким образом, выражение (2.68) можно записать в форме $, (го)=Я, (О) " =3, (О) а!пс! ~™ ). (268) мтв/2 ! 2 Здесь через гйпс (тот„/2) обозначена функция и!пс(х) = (япх)/х. (2.70) При удлинении (растягивании) импульса расстояние между нулями функции Я, (го) сокращается, что равносильно сужению спектра. Значение Я, (0) при этом возрастает. При укорочении (сжатии) импульса, наоборот, расстояние между нулями функции 3, (го) увеличивается (раси!прение спектра), а значение 3, (О) уменьшается. В пределе при т„- 0 (А = сопзЦ точки го, = фйф'ф/4' Рис. 2.!З.
Модуль (а) и аргумент (о) спек тральноа плотности прямоугольного импульса. Рис. 2.16. Совменгенне начала отсчета времени с фронтом прямоугольного импульса. ар Ю-ага/г ~2п/т„, соответствующие двум первым нулям функции Яг (са), удаляются в бесконечность и спектральная плотность, бесконечно малая по величине, становится равномерной в полосе частот от — оо ДО оо. На рис. 2.1о показаны отдельно графики модуля 3„(го), отнесенного к величине Я, (0), и аргумента 8 (го) спектральной плотности. Первый из этих графиков можно рассматривать как амплитудную, а второй — как фазовую характеристику спектра прямоугольного импульса. Каждая перемена знака 8, (го) учитывается иа рис. 2.15, б приращением фазы яа и. При отсчете времени не от середины импульса (как на рис.
2.13), "' от фронта (рис. 2.16) фазовая характеристика спектра импульса 8о(а)=Б'(0)ипо ", .= 5'(0)(з(пс ( — "11. (27!) С помощью равенства Парсеваля нетрудно вычислить энергию в заданной полосе частот. Пусть нас интересует полоса Ло! от — а, до в,. Тогда по формуле (2.66) находим энергию в указанной полосе и и,! (оли/2!» о о =А т„' — — ) — х(х=А т,х) ~ — ).
1 2 Г Мпхх и Г онти 1 и ти хх 2 о где Ахт = 3 есть полная энергия импульса, а функция (2.72) определяет относительную долю энергии в полосе частот от 0 до (о,, Интеграл, входящий в выражение (2.72), с помощью интегрирования по частям может быть приведен к виду еххи~х 'эхо~о юххиох 2 ип х соо х х(х= о и1 'и!" — х(пх(их то!2) Г ип 2х — 2 ап'(их хи/2) + х(х= +я (ох то. мх ти(2 а1ти о Г япх Здесь з! 9=~ — дх — интегральный х о Таким образом, синус, должна быть дополнена слагаемым хот„/2, учитывающим сдвиг импульса на время т„72 (в сторону запаздывания). Результирующая фазовая характеристика принимает при этом вид, показанный иа рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
