Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 7
Текст из файла (страница 7)
На основе первой характеристики можно найти относительное время пребывания величины сигнала в определенном интервале уровней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому и ряд других важных параметров сигнала. Вторая характеристика дает лишь распределение по частотам средней мощности сигнала. Более подробной информации относительно отдельных составляющих спектра — об их амплитудах и фазах — спектральная характеристика случайного процесса не дает. Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике приходится иметь дело со случайными помехами — шумами.
Как уже упоминалось выше, уровень шумов является основным фактором, ограничивающим скорость перепачи информации прн заданном сигнале. Позтому изучение случайных сигналов неотделимо от изучения шумов. Эти вопросы рассматриваются в гл. 4. < <ри этом предполагается, что ь ) <р,', (х) <(х чь О, а (2.4) т, е, что никакая нз функций рассматриваемой системы (2.2) не равна тождественно нулю. Условие (2.3) выражает попарную ортогональность функций системы (2.2), Величина ~'<р„(= ~~ ~ <р,',(х) <(х (2.5) называется нормой функций <р„(х). <руикция <р„(х), для которой выполняется условие (<В,<Р= ~<Р,',(х)<(х=(, (2.6) может быть представлена в виде суммы ряда ~ (х) = со<ре (х) + с<я<< (х) + ...
+ си<рь (х) + .* (2.8) Интеграл в выражении (2.?) вычисляется по области определения ) (х). Умножим обе части уравнения (2.8) на Ч<„(х) и проинтегрируем а в пределах а, Ь. Все слагаемые вида ) с <р (х) <р„(х) «х при т Ф и Р обращаются в нуль в силу ортогональности функций <р (х) и <р„(х). В правой части остается одно слагаемое ') с„<р„(х) <р„(х) <(х=с„') <р„'(х) «х=с„Д «р„1 ', что позволяет написать Ф ~ < (х) <р, (х1<(х=с„)<р„(з, о называется н о р м и р о в а н н о й функцией, а система нормированных функций <р< (х), <р, (х), ..., в которой каждые две различные функции взаимно ортогональны, называется о р т о н о р-.
мированной системой. В математике доказывается, что если функции <р„(х) непрерывны, то произвольная кусочно-непрерывная функ(<ия Г (к), для которой выполняется условие ~~7(х))Чх( оо, (2. 7) откуда следует важное соотношение с„= —, ~ ~(х) ьр„(х) дх, (2.9) ь'ч р, Ряд (2.8), в кото,юм коэффициенты с„определены по формуле (2.9), называется обобщенным рядом Фурье подан- ной системе «р„(х). Обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойством: при заданной системе функций ьр„(х) и при фик- сированном числе слагаемых ряда (2.8) он обеспечивает наилучшую аппроксимацию (в смысле минимума среднеквадратической ошиб- ки) данной функции г (х). Это означает, что среднеквадратическая ошибка, под которой подразумевается величина ьр н т М= ~ ~ г (х) — „~'„а„ьр„(х) ~ дх, а ь=ь достигает минимума, когда коэффициенты ряда а„= с„.
Действительно, подставив в предыдущее выражение а„= с„+ + Ь„и использовав равенства (2.3), (2.5) и (2.9), получим ь В и М=1)'(х)д — Х сИЧ.Р+ ХАМ' а=О Отсюда следует, что М достигает минимума при Ь„= О, т. е. при а„= с„. Таким образом, ь и М„„„= ) гь(х) ь(х —,~' с,')) ср„(ь. (2ЛО) л=-ь Так как величина ь ~ )ь(х) ь(х=я' является квадратом нормы функции ~ (х), а М„„„) О, то на основании (2.10) можно написать следующее неравенство: Д Сцгр„)ь ~~ц)ь.
Это основное неравенство, назывемое н е р а в е н с т в о и Б е с с е л я, справедливо для любой ортогональной системы. Ортогональная система называется и о л н о й, если увеличением числа членов в ряде среднеквадратическую ошибку М можно сделать сколь угодно малой. Условие полноты можно записать в виде соотношения Х с'6 р.К'=У)'. (2.12) (2.!3) Прн выполнении этого условия можно считать, что ряд (2.8) сходится в среднеи, т.
е. 1(«( ) — х .„,„„,~'~-о. Р/ п=ь Из этого, однако, еще не следует, что Хс„«р„(х) сходится к ) (х), в=О т. е, (2.5') при любых значениях х. В п. 1 Э 2.4 будет приведен пример, пока- СО зывяющий, что в отдельных точках на оси х ряд ~"с„«Г (х) может л=ь отличаться от г (х), хотя равенство (2.13) имеет место. Для системы функций, принимающих комплексные значения, приведенные вьнпе определения обобщаются следующим образом: — условие ортогональности ь ~«р (х)«р' (х)дх=О прн о~т; (2.З ) — квадрат нормы функции И. Р= ~ Ч„( ) М( И =,')1Ч.
( П'дх; Д О вЂ” коэффициенты Фурье с„= — ~7(х) ч«.', (х) дх. (2.9') )зь !Р, В этих выражениях е«*(х) обозначает функцию, комплексно- сопряженную функции «р (х). Применительно к сигналам з ((), являющимся функциямн вре- мени, выражение (2.8) в дальнейшем будет записываться в форме з(1)= ~ с„ч«„(1). (2.14) Соотношение (2.12) приобретает при этом энергетический смысл. Действительно, входящую в это выражение величину ))Я при замене 1' (х) на з (() можно записать в форме и ~з~ь= ) з'(г)«(«=9, (2.15) Если под з (1) подразумевается электрическое колебание (ток, «'апряжение), то 3 есть не что иное, как энергия сигнала в проме- 'жутке (, — 1, (прн условии, что сопротивление, в котором выде- 'ляется энергия, равно 1 Ом). Таким образом, в соответствии с формулой (2.12) энергия сиг. нала 3= Д с,'11ч„»', (2 16) а при использовании ортонормированной системы функций ср„(1) (2.
1б') При этом имеется в виду, что промежу-"ок времени в котором определяется энергия 3, является интервалом ортогональности для системы функций д„(Г). Очевидно, что средняя за время 1 — 1, мощность сигнала (2.17) Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении сложной функции в ряд. Среди разнообразных задач, требующих разложения сложного сигнала, наиболее важными являются: 1) точное разложение на простейшие ортогональные функции, 2) аппроксимация сигналов, процессов или характеристик, когда требуется свести к минимуму число членов ряда (при заданной допустимой погрешности). При первой постановке задачи наибольшее рзспространение получила ортогональная система основных тригонометрических функций — синусов и косинусов.
Это объясняется рядом причин, Во-первых, гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через любую линейную цепь (с постоянными параметрами). Изменяется лишь амплитуда и фаза колебания. Во-вторых, разложение сложного сигнала по синусам и косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи. По этим, а также и некоторым другим причинам гармонический анализ получил широкое распространение во всех отраслях современной науки и техннкй При второй постановке задачи — приближенном разложении функций — применяются разнообразные ортогональные системы функций: полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра и многие другие„ Некоторые из этих систем функций будут рассмотрены в гл, 14, ЗЗ, ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ При разложении периодического колебания з (1) ч ряд Фурье по тригонометрическим функциям в качестве ортогональной системы берут 1, соз в,1, э!п мД соз2вА з(п 2о„1, ..., соз пыг1, з1п па,1, .„ (2.18) нли е — '2а~1 е — 1а,1 1 еаъ1 сна,1 Ф Ф (2.
19) Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом Т = 2п/м, функции з (1). Система функций (2.18) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (2.19) — к комплексной форме. Между этими двумя формами существует простая связь.
Воспользуемся сначала ортогональной системой (2.19). Тогда ряд Фурье должен быть записан в форме з (д) = ... с, е-'за" + с, е — ' + с„+ о еач ' + +в,е"а' +... = ~~~~ с„ема '. О (229) коэффициенты Фурье са легко определяют с помощью формул, приведенных в предыдущем параграфе. Иэ формулы (2 5') следует, что Т1э ~<р (Т))з — ~ ежа,се-ма, сД т' (2.21) -угз 1 с =— а Т з (1) соэ и гэ, Ы— /э г1з — — э(1) з(ппгэ,гг((=с„,— 1с„,. т -"чэ (2.23) Таким образом, независимо от и норма 11 гр (~ =Тт, Используя формулу (2.9'), получаем Г1Э с = —, з(1)е-ма ' й. (2. 22) т — 1з В выражениях (2,21) и (2.22) учтено, что функции е"'"*' соответствует комплексно-сопряженная функция е — маь'. Коэффициенты с„в общем случае являются комплексными величинами.
Подставив в (2.22) е-'""' = созна,1 — 1 иппго,1, :получим Косинусная (действительная) и синусная (мнимая) части коэффициента с„определяются формулами гсе с„= — ~ э (Г) соз п(э ЕЮ, -тсз г/3 в .= — ~ з(с) з1п п(эс М. т (2.24) Коэ()фициенты с„часто бывает удобно записывать в форме в )в (е ч (2.25) где (о„(= )ссв'-', + и„'-,„ гчв О„= — агс18 — .
гссо (2.27) Модуль (с„) является функцией, четной относительно и, а аргумент 0„— нечетной (последнее вытекает непосредственно нз выражений (2.24), показывающих, что с„,. является четной, а с„, нечетной функциями и). Общее выражение (2.20) можно привести к виду з(Г)= ~ч~', ) с„) е'(~* '~ ч). (2.28) Теперь нетрудно персйтв к тригонометрической форме ряда Фурье. Вьщелив нз ряда (2.28) пару слагаемых, соответствующую какому-либо заданному значению(п(, например, )п)=2, и учтя соотношения 0 = — 0„(о,)=)с,), получим для суммы этих слагаемых )ес( — эсс1 с+се с 1 ) с (((с (э й>1 с+ел =1с ) (е-сга чс+е,с 1 ес(аа,с+ав) =2)са)соз(2(з 1+От). (2.29) Отсюда видно,что при переходе к тригонометрической форме ряд (2.28) необходимо записать следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
