Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2.!5, б штриховой линией. Рассмотрим вопрос о распределении энергии в спектре импульса. В соответствии с 2 2.8 и формулой (2.68') спектральная плотность энергии прямоугольного импульса где величина д определяется из условия (он = 2 (// У2а) 4 откуда 4 =/ва/ 'г'2. Таким образом, выражение (2.78) можно привести к виду О Переходя к новой переменной х = (//У2а) + а, получаем 8,(в)=Ае' У2а ~ е ' Их.
Учитывая, что входящий в зто выражение интеграл равен )' л окончательно получаем 8 ( ) ЛЪ/2„а -а*в'гм В -лам (2.77) где Ь=1/а; В=У2лаА График этой функции изображен на рис. 2.18, 5. Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссов импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить / на в. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне е ч от максимального значения, равна 2Ь = 2/а = 2 ° 2/т„= = 4/т,„, а коэффициент В = У2лаА.
Гауссову спектру (2.78) 8.„(в)=Ве-" 'эь соответствует гауссов импульс з (/)=Ае-м'гэ==е ~/ь~ (2.79) с длительностью 2/Ь и амплитудой А = ВЬФ2л. Очевидно, что чем меньше длительность импульса т„тем шире спектральная полоса 2Ь. Вычислим энергию, содержащуюся в полосе частот ав от — в, до в,. Основываясь на формуле (2.77), находим Зае= — 1 [А У2лае '" ~'1 с(в=А" 2а'~е '"ав= 2я й — Ш~ о ОЮ) ЙО), =Л'2а'-' — ~ е-"'с~х=УлА-а —. ~ е-""ах=- 1/лА'аф(ав„), й э'и где Ф (г) = — ) е — "* г(х — интеграл вероятности, а )/л.4еа = З— '$/и 'е полная энергия колоколообразного импульса.
Таким образом, отношение энергии в полосе частот от — гог до гег к полной энергии гауссова импульса равно Ф (агог). 42 йб Фу дд (У (Я лгиг Рнс. 2ЛЭ. Лола энергии гауссова импульса в полосе чистот О, мь Функция Ф (г) табулнрована, график ее показан на рис. 2.19. Для получения 90% энергии импульса требуется г = агвг 1,16 или проичведение полной длительности импульса 2а на 2г'„равное 2а * 2г, = г/и = 1,16/п ж 0,4. 3.
Импульс внд» з)пс (х) На рис. 2.20, а изображен импульс, определяемый выражением ба(!) =5!по (О)в 1)= (2.6!) еь,' 2п)тг Вместо вычисления спектральной плотности по формуле (2А8) воспользуемся результатами примера 1 данного параграфа и свойством взаимной заменимости го и ! в преобразованиях Фурье для четных функций времени (см. п.
7, 2 2.7). -~лти Рис. 2.20. Импульс вида и!пс (м„у) (а) и его спектральная плотность (Л]. Из рисунков 2.13 и 2.14 очевидно, что после замены со нз / и / на со заданной функции з,(1) будет соответствовать спектр прямоугольной формы. Лля применения преобразования (2.66) нужно сначала проиорлсировать функцию З,са на рнс. 2.14 таким образом, чтобы максимальное ее значение 5,(0) равнялось единице (как и за(/)=за(0) на Рис. 2.20, а). ПРиРавнЯв А т„=1, получим амплитуду ймпульса з,(/) на рис. 2.13, равную 1/тч. Заменив далее / на со, т„/2 иа со и амплитуду импульса 1/ „ на 1/2са„п получим спектральную функцию 1/2со,„при ) са ) ( сапп ,(со) = 0 при )со()со Применяя формулу (2.65], находим искомую спектральную плотность За (со) =2па,(со) =и/ы = 1/2/ пРи (со ) ( со .
12.62) График За (со) представлен на рис. 2.20, б. 4. Группа одинаковых и равноотстоящих импульсов Спектральную плотность первого импульса в пачке (рис. 2.211 обозначим через 8, (со). Тогда для второго импульса, сдвинутого Осносительно первого на время Т (в сторону запаздывания), спект- .
ральную плотность можно на основании (2.67) представить выражением Зв (со) = 8, (со) е — -'"т, для третьего импульса За (со) = =Б,(со)е ""тит.д. Рис. 2.2П Пачка одинаковых, равноотссоимих импульсов. Для группы из й/ импульсОВ В соответстВии с принципом линейного суммирования спектров при сложении сигналов получим спектральную плотность З(м)=6 (со)11-1-е ' '-1-е 'хат+ -1- е км имт] (2 66) При частотах, отвечаюгцих условию са = й2п/Т, где л — целое число, каждое из слагаемых В квадратных скобках равно единице и, следовательно, 3 Я2и/Т1 = й/Ъ 1/с2п/Т1. (2,641 Таким образом, при частотах се = й2пуТ модуль спектральной плотности пачки в )У раз больше модуля спектра одиночного импульса.
Это объясняется тем, что спектральные составляющие различных импульсов с указанными выше частотами складываются со сдвигами фаз, кратными 2п. При частотах же ь = (1ЛЧ) (2пУТ), а также при некоторых других частотах, для которых сумма векторов е-'ьг обращается в нуль, суммарная спектральная плотность равна нулю. При промежуточных значениях частот модуль 5 (в) определяется как геометрическая сумма спектралы ых плотностей отдельных импульсов. Рис.
2.22. Модуль спектральиоа плотности пачки иа трех (а) в четырех (б) импульсов. В качестве иллюстрации на рис. 2.22, и изображен спектр (модуль) пачки из трех прямоугольных импульсов, а на рис. 2.22, б — из четырех, при интервале между соседними импульсами Т= Зт„. Штриховыми линиями показана спектральная плотность одиночного импульса. С увеличением числе импульсов в пачке спектральная плотность все более расщепляется и в пределе при )у — оо принимает линейчатую структуру спектра периодической функции. 2ЛО. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ СИГНАЛА И ШИРИНОЙ ЕГО СПЕКТРА Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр. Это фундаментальное положение теории сигналов можно установить в общем виде на основе преобразования Фурье > ч 8(ы)= ~ в(г)е-'"'бу= ~ х(г)созотупг — 1 ) а(г)з1псего(.(2.85) ч Рассмотрим поведение каждого из интегралов при увеличении сл. Существует лемма Римана, утверждающая, что если функция л (!) абсолютно интегрируема в некотором конечном промежутке (а, Ь]„то в в )1ш ~ з (у) соь соби= Нт ~ з (у) з(п от(с((=О.
(2 86) л а Графически смысл этого утверждения поясняется рис 2.23, а, на котором изображены некоторый произвольно выбранный сигнал з (() и гармоническое колебание с частотой от и рис. 2.23, б, на котором показано произведение э(т) соз то! (или з(т) з(п со!), При достаточно высокой частоте са каждая положительная полуволна на рис. 2.23, б почти полностью компенсируется ближайшей к ней отрицательной полуволной и суммарная площадь л (с) соз ы( (или л (1) з)п сот) близка к нулю.
Под «достаточно высокой Рис. 2.23. К вопросу о соотношении между ллнтельностью снтивлв н ши- риной его спектра. частотой» следует подразумевать частоту от 2тс!Т, при которой период Т достаточно мал по сравнению с длительностью сигнала з (М), Очевидно, что чем короче сигнал, тем меньше и период Т, соответствующий этому условию. Иными словами,чем короче сигна,п, тем выше граничная частота спектра сигнала, Так как нижняя граница спектра првмыкает к нулевой частоте (имеются в виду сигналы без высокочастотного заполнения, как, например, иа рис- 2.23, а), то спектр получается тем шире, чем короче сигнал. При этом оказывается, что произведение длительности сигнала на ширину его спектра не может быть меньше некоторой постоянной величины. Определение этой величины приводится в приложении !.
'аяк БЕСКОНЕЧНО КОРОТКИЙ ИМПУЛЬС С ЕДИНИЧНОЙ площлдыо (дельта-функция) Некоторые из возможных моделей импульса, площадь которого равна единице, изображены на рис. 2.24. Амплитуды всех этих импульсов обратно пропорциональны соответствующим образом определенной длительности импульса. При стремлении длительности к нулю амплитуда обращается в бесконечность, а плошадь импульса остается неизменной и равной единице, Амплитуду прямоугольного импульса следует приравнять величине ((к, (рио.
2.24, а), где х, — длительность импульса. тг а кт 2 г, «ь х х х и ду ег Рис. 2. '. импульсы, овришиихпиеся и иельти-функпьно при стремлении али- тельиости и иулнь При гауссовом импульсе (рие. 2.24, б) амплитуда должна быть приравнена 1/У2па, поскольку е-"'Уи' с(х = 'и' 2п а. ь Наконец, для импульса вида з!и (2п/ х)/пх (рно. 2.24, и», плошадь которого равна единице, амплитуда равна 2у,я (при к = О). Длительность импульса (главного лепестка) обратйо пропорциональна параметру у При устремлении параметров х, и а к нулю, а » к бесконечности все три изобраясенные на рив.
2.24 функции можно определить следующим образом: при х=О, при к~О, б(х) =( (О (2.87) при одновременном условии ) б (х) дх = площадь импульса и= [, (2.88» Функция б (х), обладающая указанными свойствами, называется единичным импульсом, импульсной функцией или дельта- функцией (а также функцией Дирака». Применительно к исходным функциям, изображенным иа на рис. 2.24, б и в, дельта-функция должна быть определена выра- жениями е — кыяа' а 0 )/2яа 6(х)= 1нп (я(п (2п7 х))пх), (2.90) Возможны и другие многочисленные определения 6 (х).
При сдвиге импульса по оси к на величину хе определения (2.87) — (2.90) должны быть записаны в более общей форме ОО ИРИ Х Хм (2.87') (х — х,) = 0 при ХФхе, ) 6(х — к„)Ля=1, (2 88') — е 6(х — х ) =1)п1 е- "-"""'"" е ю 1'йла (2.89') 6(х х„)= 1)п, л ы — л„~ (2.90') Функция 6 (х) обладает важными свойствами, благодаря которым она получила широкое распространение в математике, физике и технике. Из определений (2.87'), (2.88') вытекает основное соотношение 6(х — хе) Р(х) дх=)(хе) ~ 6(х — хе) т(х=! (хе).
(2 91) ' Ня языке ~ехиики оолее яовколяисив оо смыслу ивлвлся Оы теряли стробирующае свойство. Так как по определению функция 6 (х — х,) равна нулю на всей оси х, кроме точки х = х„(где она бесконечно велика), то промежуток интегрирования можно сделать сколь угодно малым, лишь бы он включал в себя точку хе. В этом промежутке функции 7 (х) принимает постоянное значение 7 (хе), которое можно вынести за знак интеграла. Таким образом, умножение любой подынтегральной функции 1 (х) на 6 (х — х ) позволяет приравнять интеграл произведения значению 7 (х) в точке х = хе.
В математике соотношение (2.91) называется (йилеязруязи(ии свойством дельта-функции'. В теории сигналов приходится иметь дело с дельта-функциями от аргументов г' или со, в зависимости от того, в какой области рассматривается функция — во временнбй или чистотной. Я(ы) ~ б(/ / )е — свкп/ Используя свойство (2.91), находим $(а)=е- "" ~ б(/ — /«)й=е-гмп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
