Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(2.92) В частном случае (г', = 0) 8(ы) = 1. Можно, очевидно, и б (/ — Г«) представить в виде обратного преобразования Фурье от Ыы) = — е — '"': 6(г /о) = ( Б (ы) е вю г«в = — ( еьи«-ы г/ех (2.93) ап .) 2«,) Энергия единичного импульса бесконечно велика. При спектральном рассмотрении это вытекаег из равенства Парсеваля (см. (2.66)1, которое при Я (ы) = 1 обращается в бесконечность. При временном рассмотрении это следует из того, что энергия импульса, пропорциональная квадрату его амплитуды (т.
е. величине 1/т,',) и первой степени длительности т„с укорочением импульса растет как 1/т,. При т„— ~ 0 энергия бесконечно велика. Рассмотрим сначала свойства функции Ю (г). В этом случае основное значение имеет спектральная характеристика дельта- функции. В э 2.9 было установлено, что при сокращении длительности х„прямоугольного импульса (неизменной амплитуды) ширина основного лепестка спектральной плотности увеличивается, а величина 3 (0) быстро уменьшается.
В данном же случае, когда сокращение длительности импульса сопровождается одновременным увеличением его амплитуды, величина спектральной плотности остается неизменной и равной величине Я (О) = 1 для всех частот — со ~ а ( сю: То же самое имеег место при укорочении любого из дельтообразных импульсов. Следовательно, спектральная плотность дельта-функции вещественна и равна единице для всех частот. Из этого также вытекает„ что фазовая характеристика спектра дельта-функции 6(/) равна нулю для всех частот. Это означает, что все гармонические составляющие единичного импульса при нулевых начальных фазах, суммируясь, образуют пик бесконечно большой величины в момент времени / = О.
Аналогично функция б (/ — Г«), определякицая единичный импульс в момент /м обладает спектральной плотностью Ь (ы) == = е — '"'. Модуль этой функции по-прежнему равен единице, а фазовая характеристика 0 (ы) = ы/,. Наиденная ранее величина спектральной плотности дельтафункпии может быть получена и формально с помощью преобразования Фурье: 5(сн)= — ~ е' 'й= — — ~ е-"'~сб (2.94) (Перемена знака в показателе степени в данном случае не влияет на величину интеграла, см. $ 2.7, п.
7, а.) Соответственно 0 Ое б(СŠ— СЕ ) = — " ЕИ вЂ” ЛСС(Г Е-С<о- аС й (2 94') с 2 2.12. СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКНИИ Одним из условий применимости преобразования Фурье к функции является ее абсолютная интегрируемость ~ 7 (г) ( с(у ( оо . В (2.95) Это условие существенно ограничивает класс функций, для которых существует спектр Фурье, выражаемый обычными функцвяапример, такие важные для теории сигналов и цепей функции, как единичный скачок (рис. 2.25, а) или включаемое в некоторый момент времени гармоническое колебание (рис.
2.25, б), не отвечают условию (2.95). Это затруднение можно преодолеть, так обоб- Ф ю' Рнс. 2.25. Примеры функций, не отвечающих условию абсолютной интетрируе- мостн, Понятие единичного импульса особенно широко используется при исследовании действия коротких импульсов на линейные цепи. При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального импульса была бесконечно велика, а длительность бесконечно мала. Достаточно, чтобы длительность импульса была мала по сравненю с постоянной времени исследуемой цепи (или по сравнению с периодом собственного колебания цепи). Рассмотрим теперь свойства б (сн).
Все, что ранее было сказано относительно свойств б (й, можно распространить на 6 (се) при замене т на се и се на й По аналогии с выражением (2.93) можем написать шая преобразование Фурье, чтобы при этом. обеспечивалась иитегрируемость некоторой вспомогательной функции. На протяжении длительного периода широко применялся способ, основанный на введении «множителя сходимостии. Согласно этому способу единичный скачок сначала заменяется экспоиенциальным импульсом е — ", с ) О, для которого условие (2.95) выполняется и спектральная плотность легко определяется 8(го)= е-не- мс(Г = = — — е-и+дик (" 1 «=о= (2.96! с+ кн Представив Я (го) в форме (2.60), получим я (от) = В (го) е*'и<"~= 1 Е- «те««рте, 4/са+ ме Рис.
2.26. Модуль и аргумент спек тральной плотности аиспонеиаиаль ного импульса. — по~со с оо. (2.96') Графики модуля 5(«о) = = 1/Уса + «от (амплитудно-частотная характеристика) и аргумента 6 (се) = — агс!д (го/с) (фазочастотная характеристика) спектральной плотности экспоненциального импульса а (1) =е ' изображены на рнс. 2.26 (штриховыми линиями). Устремляя с к нулю, в пределе получаем следующие выражения для спектральной плотности единичного скачка: 1 ! $(го)=!!ш — ==— «-~а с + Йе йа е — ги/и 1 1 м 6(гп)= — — при от) О, (2.97) 6(го)=+ — при «о<О, 2 — е' !а, ! !е ! Графики Я (ы) и 6 (го), вычисленные по этим формулам, изображены на рис.
2.26 сплошными линиями. Следует, однако, предупредить, что в некоторых случаях формула (2.97) может приводить к недоразумениям. При применении множителя сходимости для получения правильного результата необходимо в интеграл Фуры подставлять спектральную плотность, вычисленную при с ~ О, а предельный переход с -» О совершать только в окончательном результате, после вычисления интеграла Фурье. Подобная процедура эквивалентна переходу от переменной в к комплексной переменной р = а + (в с соответствующим выбором пути интегрирования на плоскости р.
Такой прием, приводящий к преобразованиям Лапласа, будет использован в 2 2.13. В тех же случаях, когда требуется применение непосредственно фурье-спектра, введение множителя схадимости е †" нежелательно. Значительно зффективиее оказывается применение так называемых «обобщенных функций», к которым принадлежит и дельта-функция. Рассмотренные в предыдущем параграфе свойства дельта-функции позволяют, в частности, распространить понятие спектральной плотности на гармоническое и вообще на любое периодическое колебание.
Рассмотрим, например, гармоническое колебание (() = 4» саз (соо( + Оо) и, не обращая ввимани я на то, что такой сигнал не является абсолютно интегрируемым, выражение для спектральной плотности запишем в форме (2.48): 8(со)= ~ з(т)е — 'вс()=А« ~ соз(вот+О»)е-всс(( Ю л вась р л е о " е — ом — с»ис асс ) о " Š— с«» ты»а с(с 2,) 2 На основании формулы (2.94') получаем 8 (со) —" (2пе" б (в — со„) -)- 2пе-в б (в + в«)) =А„п(е'"е б(в — в,)+е — в б(со-)-со„)). (2.98) Эта функция равна нулю для всех частот, кроме о> = во и со =- — в„при которых 8 (в) обращается в бесконечность.
Как и следовало ожидать, гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бескаиеч»со балосиая спектральная плотность при дискретных частотах со, и — со„. В частности, приравнивая во нулю, получаем спектральную плотность сигнала в виде постоянного напряжения А„: (2.99) Ь (о«) = А„° 2пб (со), Распространив соотношение (2.98) на все гармоники любого периодического сигнала а(с)=А«+ '~ А„со» (пв т-(- О„), и —.1 мы можем ввести понятие спектральной плотности периодического сигнала в виде суммы дельта-функцийг Ь(а]=Ао 2пб(а)+А, п[еоо 6(в — в ) +е-гв 6(а+в))-[- +А„п[е'": 6(а — 2го )+е-аь 6(го+2в,))+ ... +А„п х х [е 6[в — иа,]-[-е " 6(го+иго,))+ ...
(2100) Такой подход оказывается полезным при рассмотрении смеси импульсного сигнала и монохроматических колебаний. Пусть, например, отыскивается спектр суммы двух сигналов: импульсного ьг(() и монохроматического яя (0 = А, совая( Юр ру Рис, 2.27. Импульсный п монокромвтнческнй сигналы [а) и ик спектрвльные плотности (б). О!ышгм теперь спектр единичного скачка.
Йля етого предстввим вту фуикпиш в виде прямоугольного импульса. фронт которого рвсположен ярочке! О, верея' — е гочке Т стремяшейся кбесконечности (рис. 2.2В а). В соответствии с таким прелстввлением спекгрвльнуа плотность единичного скачка можно определить вырвженнем У 8(а]=!ип ~е — ' гп=!ип ( — е-' '[т~= ! т г- — а о -г )' ' )=0 ["— '"-~'= — м).
(2.101) Но в соответствии с формулой (2.90! [ггп —" =пб (а). мп и! т ы Следовательно, спектр единичного скичкв Б (го) =пб (в) + (1 — ! цп соз аТ)7!а. т (2.102) (2.!08) (рнс. 2.27, а). Применяя выражение (2.48) к и, (!), находим обычную спектральную плотность Я, (а), определяющую сплошной спектр (на рис. 2.27, б заштриховано). Применение же (2А8) к з (!) дает спектр, определяемый выражением (2.98). На рис. 2.27, б этот спектр изображается двумя спектральными линиями, уходящими в бесконечность. Первое слчгаемое е правой части этого выражения определвет спектр постоЯнного напРЯжениЯ л = Че !см. (2.99)1, показанного на Рнс. 2.28, б, а второе слагаемое — спектр функции, показанной на рнс. 2.28„».
Сумма этих двух функций образует единичный скачок в момент времени = 0 (рнс. 2.28, а), Рассмотрнм свойства функ пня и (в) = ! Пп сох вТ. (2.104] т Прн любых значеннях ы, отлнчных от нуля, зта функцвя неопределенна ямом'ст принимать любые значення в пределах ( — 1, + 1).
В точке же а = 0 указанная функцнч имеет определенное значенне, которое легко найти. Так Рнс. 2.28. К определению спектра единичного скачка. как мы приняли, что операцнн предельного перехода совершается в последнюю очередь, получаем, что прн ы= 0 к (0) = 1 незаенснмо от величины Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
