Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Другое очевндное свойство к (ю) заключается в том, что интеграл от и (ю), взятый по любому конечному промежутку (а, 8), равен нулю: Ь » 1 =.1 з)п в7 !» к (в) с(со = 1! )п соз вТ г!в = !пп ' =О. т Т Более того, в силу леммы Римана, упомянутой е 1 2.10, для любой функцвв я (м), абсолютно ннтегрнруемой в конечном промежутке (и, р), справедливы тождества ь з !(гп ~д(в) сох вТг)в= !!гп '1 р(со) з1п вТг)в=О. т- г Анзлогячно тому, как зто принято в георнн обобшенвых функций, можно положить, что быстро осцнллнруюшая функцня к (в) равна нулю для всех в + О. Таким образом можно ввести следуюшее определение: к (в) = )г го сов вТ = [1 (в) [ = ~ 11 '[О при го=О, (2.
Нб) при в~О. Определенную таким образом функцию н (ы) = «! (ы)[ можно назвать игольчатой функцией (рис. 2.29). Променяв указанные выше обозначения, запишем формулу (2.!03) в виде 1 — [1 «ы)) (2. [06) ос аг 2ЛЗ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Анализ прохождения сигналов через линейные цепи, описываемые комплексной передаточной функцией, значительно облегчается при использовании методов контурного интегрирования на плоскости к о м п л е к с н о й ч а с т о т ы р = а + (ш.
Переход от действительной переменной ю к р о + (ы позволяет также полностью устранить ограничения, вытекающие из требования абсолютной интегрируемости функции з (1). ' Представим функцию з (г), в общем случае существующую при — оо < 1< оо, в виде суммы двух функций з (1) = н+ (О + и (с), из которых з+ (1) задана при 0 < 1< сю, а з (О при — оо '1< О.
Обращаясь к паре преобразований Фурье (2.48), (2.49),совершим переход от а к р сначала для функции з+(1). Для этого домножим з+ (1) на е-'"', где о, . О выберем таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемосгь функции е — гз,(1) в пределах 0 < 1< сю. Тогда после подстановки р = о, + ио выражение (2,49) можно привести к виду ос+ сьс — 8 ( р 'г ) еос — огнс[р зли о,+с н, (у) = — ~ Е„(р) едг с«р (2.[07) о,— с Из етого выражения видно, что при ы = 0 вто.
рое слагаемое равно нулю (так как при ы = Рис. 2.29. Игольчатая 0 [!(ы)) = !) и весь вклад в спектр лает сласае. Функпня. ыое пб (ы), соотвегстиующее постоянной составляю. сцей гГа. Пре частотах же ы, отличных от нуля, перине слагаемое равно нулю, а второе слагаемое !!1ы (так как при м + 0 [1 (ы)) О) [9[, Отсюда следует, что при рассмотрении воздействия единичного скачка на цепи, передаточная функция которых при ы = 0 равна нулю (т. е. на цепи, не пропускаюцсие постоянный ток).
спектральную плотность единичного скачка можно представлнть в форме (2.97). где (р)= 8+ ~ — ')= ~ з+(() е — сьн е — ™г(Г = ~эе(Г) е — >кс(г в о (2.103) называется преобразоеаниел Лапласа функции э+ (г). Соотношение (2.107) по аналогии с выражением (2.49) часто называ>от обратныл преобразснаниел Лапласа. и> рнс, о 3О Путь ннтегрированкя по прямой и> — >оп, п1+(ес на р-плоскости (и); образование замкнутого контура добавлением дуги лВС прн й-ь оь (б). Иэ сравнения выражений (2.107) и (2.49) видно, что переход от ы к р означает изменение пути интегрирования.
В выражении (2.49) интегрирование ведется по действительной оси о>„а н выражении (2.107) — по прямой, проходящей параллельно мнимойоси (о> на расстоянии о, вправо от этой оси (рис. 2.30, а). Величина постоянной о, определяется характером подынтегральной функции в (2.!07): путь интегрирования должен проходить правее полюсов этой функции. Добавлением к прямой о, — (оо, о, + (оо дуги бесконечно большого радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования (рис.
2.30, б). Для того чтобы добавление этой дуги не изменило величины интеграла, нужно руководствоваться следующим правилом: при положительных значениях 1 контур должен быть расположен в левой полуплоскости переменного р, а при отрицательных ( — в правой. Тогда в первом случае при (= 0 (при проведении дуги в левой полуплоскосги (рис. 2.31, а)1 контур интегрирования охватывает все полюса подынтегральной функции (лежащие левее прямой о, !оо, о, + (оо) и в соответствии с теорией вычетов интеграл (2,107) определяется как е, Ь з,(()= — ~~ (.„(р) ея'с(р = — 13!! й (р)ем с!р=Х гез, 2л',) - '3' и,— а 4В~:.с (2.109) где Х гез — сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции.
При проведении же дуги в праной полуплоскости, т. е. при ! ~ 0 (рис. 2.31, б), полюса функции (.,+ (р) еы оказываются вне 1Г! ~6 Рнс. 23!. Замыкание контура интегрирования лля представления ае(0: а — при с>е; б — яра с<о, функции (2.110) при ( ( 0 (контур по рис, 2.31, б) о,+! з, (г)= — ~ 1,„(р) егл с(р = — ~ Х (р) ем ар=0. ! р 1 2я1,) 2гп о~ — яс лвсл (2.111) Напомним важное свойство контурных интегралов: величина интеграла не зависит от формы замкнутого контура, по которому производится интегрирование, если только полюса подынтегральной контура интегрирования, и в соответствии с теоремой Каши интеграл по замкнутому контуру равен нулю. Таким образом, в зависимости от способа замыкания контура интегрирования получим при 1. 0 (контур по рнс, 2.31, а) а,+ к 1 Г ! Б (!)= — ! (.,+Он) е~'др= — (р (,е (р) ел'г)р=Хгек! 2ап 2% о — / Айса Рис.
2.33. Области слоднмости при двусторон- нем преобразовании Лапласа. Рис. 2.32. Замыканне контура интегрирования для представления функпии а (г) при )<О. Рассуждения, аналогичные преаыдущим, можно провести лля функции в (О, заданной при -оо (1( О. Домножив а (О на е — о*', при о ( О, выбранной таким образом„чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции е-ема (1) в пределах — оо г' «= О, можем написать е е 1 (р) ~ и (г) е-о, ге ~~ й ~ а (г) е-и с(г (2 112) 1 з (1]= —, ~ 1, (р)емг(р. 2тв (2.
) 13) е,— Контур интегрирования для данного случая показан на рис, 2.32. Интеграл равен сумме вычетов в полюсах функции Л, (р) еа', расположенных в правой палуплоскости р. Эту сумму следует взять со знаком минус, поскольку при (( О контур обходится по часовой стрелке.
функции остаются внутри контура, На основании итого свойства контур, образованный добавлением дуги АВС бесконечно большого радиуса (рис. 2.31, а) к прямой о, — гоо, о, + (со, можно произвольно деформировать при соблюдении условия, что все полюса, расположенные левее прямой о, — (оо, от + гоо.
остаются внутри контура. Итак, вычисление интеграла (2.109) сводится к определению вычетов в полюсах подынтегральной функции. 1.,(р)=-(,„,(р)+(., (р). (2.114) мм+ ~с~ е.+~ ~ а..ы 'е1. аиа 1 е,— е я Соотношение (2.114) называется двусторонним апеоброзованием Лапласа Области сходимости функций 1-,+ (р) и Е (р) на плоскости р показаны на рно, 2.33. Для ).,+ (р) эта облаять расположена справа от прямой о = — о„на которой расположены полюса (комплексно-со- 4 пряженные), а для („(р) — слева (Р от прямой а = (ов ~. Область сходи- мости для l, (р) имеет вид полосы шириной о, + (о ( (рнс. 2.33). Путь иятегрирования должен проходить по прямой, расположенной внутри этой полосы и параллельной рис.
2.34, пример фуннвни вреоси ив, а также по замыКающей дуге, меня требуавве» врименевия расположенной в левой полуплоскости ввуеторониега вреосрааеваиия дли 1~ 0 и соответственно в правой Ланааеа, полуплоскоатя для (~ О. Одностороннее пребразоеание Лапласа получило особенно широкое распространение при анализе переходных процессов, связанных с действием на цепь внешней силы, когда начале отсчета времени совмещают с началом воздействия. Двустороннее преобразование Лапласа находит все ббльшее распространение при анализе процессов и функций времени, двусторонних по самой своей сути (например, корреляционные функции, рассматриваемые в 2.18)).
При рассмотрении четных функций а (1) =- и ( — 1), когда можно считать з+ (1) .- з ( — 1), имеет место следующее соотношение: ~., щ= 1 и е=~ м-а -'- а- =~ з(1)е" от=Ь„+( — р). (2.116) Поясним применение выражений (2.!14) — (2 1!6) на примере руикции времени (рис, 2,34) при и, 0 и сс, ~ 0: Е! .П при 1(О, в(1)= е-авс пря 1) 0 Выражения (2.108), (2.1!2) и (2.107), (2.113) можно обьединить следующим образом: Графи» колабвнам э Сс) Определение фунааии ~ СС] 6 (с) (1 при с>Ос сс 0 при се„О. (е ас при с~О, ( 0 при с «О. а)0 еСаи при с<0, а (с) 0 при с)0.
а(О е)а'( при с ~0, а(с)= е а'~ при с>О. аа«,0, ас) О. е ас соааас при >о, а [с)= 0 при с<О. а)0 е а' аспсаос при с>0, а(с)= 0 при с с" О, а)0 <! 111 спа спас при с > О а (с) = 0 при с~О -( а(аспас при 8 > О а (()- при с, Ф!а) а/!ВД ае Иа !в в", — ве ва Ре+ сон Иеебранееене по Лапласу 1 И+Р 1 а+р ие — аа (Р+ИС) (Р+ ие) (Р+с )а+сот (р+а) +в, Спентралееаа плотнпееь 3 Сапе ' — 11 (в)! д() (в) + КО (ем. р 2.12] 1 а+ ссо 1 а+!в (Гв+ат)(св+ае) а а)1;2 ( „е (соне — ве) + с 2ив+ ие Таблице 2.1 Графин недра» ЬСеп г Ф/д р ф -йо Р Гар ф По формулам (2.1!2) и (2.108) находим ь 1., (р)= ~ е 'евмйг'=— 1 аз+ Р пол!ос р„= — аз=!аз!' ОЬ г (р)= е-" 'е "ш'= 1 в!+ Р о пол!ос р„= — а ' 1 1 аз — а! ~.
(р) — — — +— ее+Я а!+я (я+и!) (Я+ее) ! из)+и! (2,117) Р +(ат — 1с~ 8 Р— ит!из! В частном случае (а, ~ = а, получаем Т-.- (р) =)-.+ ( — р) = — ~.. (р) =- — + ! 1 1 2 а! — Р ит — Р а!+Я и',+Р" (2.118) Отметим, что для перехода от изображения Лапласа к фурье:пектру 8 (а) достаточно в выражении вида (2.1!8) заменить р !а (с!. Таким образом, в рассматриваемом примере 8(а) = 2аДа) — ыз). (2.119) Изображение по Лапласу и соответству!ощие им фурье-спектры !екоторых распространенных в теории сигналов функций приве1ены в табл.
2.1. 2.14. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ С ОГРАНИЧЕННОИ ЧАСТОТНОИ ПОЛОСОИ В ВИДЕ РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА и ~ з!пщ„(! — в(21 1 .ае '1 2! / в,у, (! — п(21м) — Х з(пЛ1) Ф. (Г). (2. 120) В теории и технике сигналов широко используется теорема Котельникова (теорема отсчетов): если наивысшая частота в спектре рунк1!ии з (1) меньше чем!, то 4Ьункиия з (1) полностью опредевяется тоследовательностыо своих значений в моменты, отстояи(ие друг зт друга не более чем на 1/2 ! секунд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
