Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала. С увеличением т функция В, (т) убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов я (1) и з (1 + и) на величину, превышающую длительность сигнала, обращается в нуль. На рис. 2.38 показано построение корреляционной функции для простейшего сигнала в виде прямоугольного импульса (рис. 2.38, а). Сдвинутый на с (в сторону опережения) сигнал к (1+ т) показан на рис. 2.38, б, а произведение з (() з (1 + т)— на рис. 2,38, в.
График функции В, (т) изображен на рис. 2.38, г. Каждому значению т соответствует свое произведение в Я з (1 + т) и площадь под графиком функпии з (0 з (1 + т). Численные значения таких площадей для соответствующих т и дают ординаты функции В, (т). Аналогичное построение для треугольного импульса изображено на рис. 2.39. Из общего определения корреляционной функции, а также нз приведенных примеров видно, что безразлично, вправо гб л; а) ! -зй -гт, -т, -я а ~„- гг гб бгг Рис.
2.4Ц Пачка ия четырех прямоутольвых импульсов (а) и корреляпиоииая фуякпия (б). или влево относительно своей копии сдвигать сигнал на величину т. Поэтому выражение (2.132) можно обобщить следующим образом: Ю О В,(т)= ~ з(г)з(г+т)с(г= ~ я(г)з(г — т)Ж (2.132') Это равносильно утверждению, что В, (т) является чептной функнией т.
На рис, 2.40, а показан сигнал в виде пачки из четырех одинаковых импульсов, сдвинутых один относительно другого на время Т„а на рис. 2.40, б — соответствующая этому сигналу корреляционная функция. Вблизи значений т„равных О, -ьТы -1-2Т, н ~ЗТп эта функция имеет такой же вид, как и для одиночного импульса (см. рнс. 2.38, г). Максимальное значение корреляционной функции (при т = О) равно учетверенной энергии одного импульса. Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно велика, определение корреляционной функпия с помощью выражений (2.!32) или (2.132') неприемлемо.
В этом случае исходят из следующего определения: г/я В р( ) 1пп ( а(г)з(г+т)йг 1 г ь Т -гг тгя =!пи — ~ я(г — т) з(г) Ф. (2.134) г Т вЂ” гья Входящие в это выражение интегралы суть яе что иное, как корреляционная функция сигнала иа интервале Т,. Обозначая ее через В,г, (т), приходим к соотношению (2.136) В, „„р(т)=-В,г, (т)!То Из (2.135) вытекает также очевидное утверждение: периодическому сигналу а (!) соответствует и периодическая корреляционная функция В,,р (т). Период функции В, „,р (т) совпадает с периодом Т, исходного сигнала з (!).
Так, например, для простейшего (гармонического) сигнала з Я = А, сов(оза(+ Оч) корреляционная функция тмэ А! и Вь пер (т) = — соз (О)<~ ! + Оа) соз (ыч (г + т) + Оч! Ф т —,/2 ! = — Ао соз ыо т; (2.! 37) При т = 0 В„(0) = ЧзАа есть средняя мощность гармонического колебания с амплитудой Ам Важно отметить, что корреляционная функция В, (т) не зависит от начальной фазы колебания О,. На рис.
2.41, б изображена корреляционная функция сигнала, представляющего собой периодическую последовательность пря. моугольных импульсов (рис. 2.41, а). Каждый из импульсов функции В„ (т) совпадает по форме с корреляционной функцией одиночного импульса из периодической последовательности а (!). Однако в данном случае максимальные ординаты Ве,р (т) равны ие энергии (как на рис. 2.40), а средней мощности сигнала а (!), т.
е. величине У (!). Для оценки степени связи между двумя различными сигналами з, (!) и а, (!) используется в з а и м н о-к о р р е л я ц и о н н а я ф у н к ц и я, определяемая общим выражением В...„(т) = ~ а, (() аз (! + т) сЫ. (2.138! При таком определении корреляционная функция приобретает размерность мощности, причем В, (О) равна средней мощности периодического сигнала. Ввиду перйоднчности сигнала з (й усреднение произведения з (!) а (! + т) или а (! — т) з (!) по бесконечно большому отрезку Т должно совпадать с усреднением по периоду Т,. Поэтому выражение (2.134) можно заменить выражением тпт В р (т) ~ а (!) (Г +т) дГ ) а (! т) а (1) ~Ы (2.
135) т, ~! па гт+за за -зч в гв уг дг Рис. 2.4Н Периодическая последовательность импульсов (а) и ее корреляци- онная функция (б), для вещественных функций з, (О~ и ва (г) Вз,з,(т)= ~ л (г)янгу+в)бу (2.139) Рассмотренная выше корреляционная функция В, (т) является частным случаем функции В..., (т), когда з, (1) = и, (().
Построение взаимно-корреляционной функции для двух сигналов л, (() и л, (О приведено на рнс. 2.42. Исходное положение сигналов (т = О) показано на рнс. 2.42, а. Прн сдвиге сигнала а, (т) влево (т ~ О, рис. 2.42. б) корреляционная функция сначала возрастает, ватем убывает до нуля при т = Т.
При сдвиге т -т Рнс 2Я2. Построение взаимно-каррелянион. ноя функпниг а — всзоаное освежение свгнвлоз, б — сленг сагаала зз(ПГ на Н в — невинно-воррелнановнвн Фгзнгнн». Оч В„,„(г)= ~ вг(Г)в (Г+т)с!1= ~ а,И вЂ” т)аа(1)с(г. (2.140) Следует, однако, различать выпажения (2.132') и (2.140). В отличие от В, (т) взаимно-корреляционная функция не обязательно является четной относительно т. Кроме того, взаимно-корреляционная функция не обязигпельно достигает максимума при т = О. Оба эти свойства функции Втп (т) иллюстрируются рис. 2.42.
2.17. СООТНОШЕИИЕ МЕЖДУ КОРРЕЛЯЦИОИИОИ ФУНКИиеИ и спектРАльиой хАРАктеристикой сигнАлА Воспользуемся выражением (2.83), в котором положим 1 (О = = а (1), д (1) = а (1 + т) и соответственно г (са) = 3 (со); б (сп) = = Ь (со) е™. 'Тогда получим з(1) в(1+т) г(1= — ~ 3(сп) 3ь(со) е-" с(со=В,(т). ! 2п Учитывая, что $ (са) 3' (со) =- Ва (са), приходим к искомому соот- ношению ч В,(т)= — ~ Яа(со) е — ' '!йа. ! 2п О (2.14 !) На основании известных свойств преобразований Фурье можно также написать' Ве(са)= ) В„(т) е с(т. (2.
142) Итак, прямое преобразование Фурье (2.142) корреляционной функции В, (т) дает спектральную плотность энергии (см. замечание в конце 2 2.8), а преобразование (2.141) дает корреляционную функцию В, (1). Из выражений (2.141) и (2.142) вьпекают свойства, аналогичные отмеченным в 2 2.10: чем шире спектр Я (са) сигнала, тем иеныие интервал корреляции, т. е. величина сдвига т, в пределах которого а Венку четноств функкнн В, (т) знак перса ыт в покааателе степени может быть пронавольным.
! о же относится к (2.141). вправо (т ( О) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается асимметричная относительно оси ординат функция Вкм (рис. 2.42, в). Очевидно, что значение В..ч не изменится, если вместо упреждения сигнала в, (1) дать задержку сип!алу а, (1). Поэтому выражение (2.139) можно обобщить следующим образом: злз.
когерентность В физике, где впервые был применен термин «когерентные колебании», под когерентностью подразумевалось совпадение фаз суммируемых гармонических колебаний. В настоящее время в радиотехнике и теории информации когерентность трактуется более широко: под когерентностью обычно подразумевается связь между фазами сигналов. Степень когерентности сигналов можно оценивать с помощью сопоставления энергии суммы сигналов с суммой энергий отдельных слагаемых сигналов.
Пу=.ь, например, рассматриваются два сигнала з, (!) и з, (!). Энергия их суммы в обшем случае [а» (») +з«(~)) с(~ ~ [а1 (Г) д + ~ [з» (~)! д~+ + 2 ~ а, (7) з«(1) й». (2.! 43) Первые два интеграла в правой части этого выражения определяют энергии 3, и Э, сигналов а, (1) и а» (1), взятых отдельно, а последний определяет «энергию взаимодействия» Э„между рассматриваемыми сигналами. В обозначениях, используемых при корреляционном анализе сигналов (см. $ 2.16 и 2.!7), выражение (2.143) принимает внд Э= Вч !О)+ В, (О! + 2В„,. (О) (2.!44) Таким образом, введенная в $ 2.16 взаимно-корреляционная функция [см. (2.!39)) В„,, (т) при т = О может служить мерой энергии взаимодействия 3„,.
Чем ббльшую дол|о от суммы 3, + Э, составляет энергия взаимодействия Эин тем выше когерентность сигналов з, (!) и з, (!). В качестве меры когерентностн иногда принимают иной критерий, а именно отношение К=2 ~ з,(Ц)з»(Г)с[!)2 ~ [а,(Д)[[з«(Г)[Ф (2145) »» ( — »» корреляционная функция отлична от нуля. Соответственно чем больше интервал корреляции заданного сигнала, тем уже его спектр. Из выражений (2.141) и (2.142) также видно, что корреляционная функция В, (т) не зависит от фазовой характеристики спектра сигнала. Так как прн заданном амплитудном спектре Я («») форма функции з (!) сушественно зависит от фазового спектра, то можно сделать следующее заключение: различным по форме сигналом з (!), обладаюи(им одинаковыми амплитудными спектрами, соответствуют одинаковые корреляционные функции В, (т). Числитель этого отношения представляет собой энергию взаимодействия Эиь а величина отношения может принимать любые значения, заключенные между — 1 и +1. Рассмотрим в качестве примера два одинаковых сигнала с равными энергиями Э, = Э,.
При сложении этих сигналов «в фазе» суммарная энергия 3 = 43„= 43„а Э㻠— — 23, = 23,. Знамена- гель дроби в правой части (2.145) при этом равен Э, +Э, (так же, как и числитель) и К = +1. При сложении в противофазе (т, е. при вычитании) 3 = О, а К = — 1. В обоих случаях сигналы полностью когерентны. Для того чтобы сигналы были некогерентны (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
