Крылов К.И., Прокопенко В.Т., Тарлыков В.А. Основы лазерной техники (1990) (1151950), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Решение уравнений (2.70) производят при использовании граничных условий, которыми являются значения Е» на контуре. Поскольку принято, что проводимость стенок бесконечна, тангенциальная составляющая напряженности электрического поля внутри металла будет равна улю. Таким образом, из граничных условий, заключающихся в равенстве тангенцнальных составляющих электрического поля в двух средах на границе раздела, вытекает, что Е» на контуре, а вместе с тем и П (х, у) равны нулю. В математике доказывается, что двухмерное уравнение типа 2.70) имеет внутри замкнутого контура решение, отличное от уля, удовлетворяющее на контуре граничным условиям только ирн определенных значениях параметра йз, т.
е. при вполне опелеленных й», у», дм образующих спектр собственных значений данной граничной задачи. Величина д образует возрастающую оследовательность положительных вещественных чисел. Согласно (2.69) каждому значению поперечного волнового числа д соответствует два значения продольноговолнового числа УЗ н некоторая собственнан функция П (х, у). Эта функция дает распределение поля, а волновое число Ь вЂ” зависимость его от координат г. Заметим, что значение Ь" = Ь' — у' может быть как положительным, так и отрицательным. Если Ь' > О, то Ь= ~~' Ь' — и', (2.73) что соответствует волне, распространяющейся вдоль осв волно вода з.
Поскольку ие учитываем потерь в стенках волиовода, эта волна распространяется без затухания. Если Ь' < О, то волновое число Ь чисто мнимое: Ь =- =- ~-()'"Ь' — й'. При этом волна не распространяется, а быстро затухает в волноводе. Принимая во внимание, что Ь = 2п/А, где Л вЂ” длина волны в свободном пространстве; Ь = 2п~Х, (Х, — длина волны, распространяющаяся в волноводе), представим (2,73) в виде 2п 1 Г( Гп)з Пусть Л, — длина волны, при которой Ь обращается в нуль,' тогда 1 / 1 1 (2.74) Х Х ХО' Из (2,74) следует, что Ь > О при Х < Хо (Х, — называется критической длиной волны), а следовательно, в волноводе могут распространяться только такие волны, длина которых меньше критической волны Л,, Каждое собственное значение йа, а следовательно, и критическая длина волны Хь оаределяютси лишь геометрией поперечного сечения волновода, т.
е. его размерами в формой. В зависимости от соотношения Х и А~ данная волна или распространяется, илн затухает. Решение волнового уравнения (2.68) для магнитного вектора Герца позволяет определить второй класс решений, прн этом из (2.66) и (2.67) следует; , Ю'* М7" Е„= «Ь — „-е~"'; Еа —— — (Ь вЂ” е~а'; Е, = О; ду ' " дз дП~ . . д~п Н„= (Ь вЂ” еы'; На = )Ь вЂ” еы', Н, = азН"е'"*.
Таким образом, этот класс решений определяет электромагнитное поле, у которого продольная составля|ошая вектора Е равна нулю, а вектор магнитного поля имеет отличные от нуля все три составляющие. Волны, у которых имеется продольная составляющая магнитного поля, называются магнитными воляамн или Н-волнами. Поскольку Е, = О, вектор Е располагается в плоскости, перпендикулярной и расяространенню колебаний, такие поля иногда называются поперечными электрическими воляами и обозначаются ТЕ.
У4 Для магнитных волн, так же как и электрических, волновые сла я, Ь и й связаны соотношениями (2.73), остается в силе акже уравнение (2.74), описывающее зависимость волн в своодном пространстве Х, в волиоводе Х, от критической длины лиы А,, Практягески чаще всего используются волнаводы с пряма- гольным и круглым поперечными сечениями. Решение двухмерого волнового уравнения для электрических волн в прямоугольом волноводе находится известным методом разделения перееиных. При этом получим значения собственных функций П = с зщ ~ —" ) з1п ~ — "" у) (2.75) соответствующие им собственные значения параметра д' * - Ж)'+ ~Ф)'. (2.76) Заметим, что числа т и п нельзя брать равными нулю, так ак это приводит к тождеству П = О, а следовательно, и Е = О.
равнения (2.75) и (2,76) определяют все возможные электричекие волны в прямоугольном волноводе. Каждой паре чисел т ~ л соответствует вполне определенная электромагнитная волна, которая обозначается Е „. Поскольку числа л1 и п не могут быть равными нулю, в прямоугольном волноводе не мажет быть волн с индексами О, О; О, л; т, О. Простейшая электрическая волна "имеет индексы т = 1, л = 1 н обозначается Ехо Граничная задача для магнитных волн решается аналогичным образом, однако другое граничное условие для П", заключающееся в том, что прн х = О и х а дП'/дх О и при у = О и у = д дП'/ду = О, приводит к следующему виду собственных функций для магнитных волн: П' =Ссоз ~т ~ х) соз ~ з у). При собственных значениях параметр "= ( —.")'+ Ж'. Магнитные волны в прямоугольном волнаводе обозначаются 'Н „.
Заметим, что среди магнитных волн в волноводе могут быть волны„у которых один индекс равен нулю, т. е. Наь Нм Узо или Нзь Н„, Нм..., однако, волн, у которых аба индекса равны нулю, быть не может, так как при этом П = С и поле волны равно "нулю. Заметим также, что поле волны Н, не зависит от координаты у (рнс. 2.21). Подобной электрической волны в волноводе быть не может. Обратимся теперь к рассмотрению электромагнитного поля н возможной системы волн в круглом волноваде.
гз дед сдлрсо Рис. з.як Элеитромагннтиое поле еолнм в примоутоиьном еолноиолет влеитрнеесние силовые линии1 . нвтннтние снловие Иннин Решением волнового уравнения, представленного в цилиндрической системе координат, явля1отся формулы: П = СХ,„(пг) соз тч; (2.77) П = Сд (пг) з(п т~р, (2. 78) где С вЂ” постоянная; гл — любое целое число, включая нуль, д — поперечное волновое число; У Оуг) — функция Бесселя; дг — аргумент функции Бесселя; лт — ее индекс. При гл = О решение (2,78) обращается в нуль,' а (2.77) дает П = СУо(яг). Так как функция П должна удовлетворять граничному условию П = О при г = а, то для поперечного волнового числа йолучаем уравнение 1 (га) = О. Положительные корни этого уравнении т ы т „тми определяют возможные значения я для электрических волн я = /а.
(2.79) Электрическая волна, рассчитанная таким образом, имеет индексы тл и называется волною Е„„. Таким образом, первый индекс т означает порядок функции Бесселя, а второй — номер корня уравнения (2.79), Магнитные волны выражаются через вектор П" аналогично электрическим. Однако при этом следует иметь в виду, что граничные условия для Пи иные; оПи/дг(г . =. О. Отсюда следует, что в этом случае поперечное волновое число должно удовлетворять уравнению Положительные корни этого уравнения будут определять магнитные волны в волноводе Ытп = рти)п тв (Г Числа ч „и р „образуют возрастающую последовательность олновых чисел, по которым можно определить критические длины олн для различных типов.
2.6. СВЕТОВО?(Ы При распространении электромагнитных волн направляющие войства могут проявлять пе только поверхности полупроводниов, но я диэлектриков. Так, в п. 2.2, рассматривая явление полого внутреннего отражения, видели, что вдоль границы раздела аспространяется замедленная электромагнитная волна. Такая , е картина наблюдается и в плоском слое диэлектрика в том лучае, если для волны, последовательно отражаемой от верней и нижней границ слоя, выполняются условия полного внут'еннего отражения. Такого рода плоский диэлектрический слой редсгавллег собой плоскпй диэлектрический волиовод. Лналоичпыми направляющими свойствами обладает также и круглый 'иэлектрический волновод, Диэлектрический волновод широко используется для канализцяи электромагнитных волн, соответствующих видимой н И?( бластям спектра, в этом случае оа обычно называется световодом.
ветоводы нашли широкое применение в лазерной технике. По- 'кольку световоды могут быть изготовлены достаточно гибкими, ни являются весьма удобными для канализации светового потока тех случаях, когда световои поток должен быть доставлен в трудно доступные места нли когда необходимо быстро изменить есто использования энергии, Световоды могут быть изготовлены весьма малыми потерями, и тогда оказываетгя возможным канализация энергии по ним на большие расстояния. Для выяснения .характеристик световодов, определения в них типов волн, усло,вий их распространения и т, д, необходимо решение соответствую1цих электродинампческих задач. Существуют два типа световодов: в виде диэлектрического слоя и круглого диэлектрического цилиндра.
Рассмотрим слой, в котором е-ь 1, р = 1, находящийся в ,среде, где в = 1т = 1. Пусть поля не зависят от у (рис. 2.22). %удем, как н прежде, вычислять поля с помощью векторов Герца, 'имеющих только одну сосгавляющуго .по оси гп П„=- О; П„=О; П,= П(х)е?', ; П",=О; П„=О; П",=П(х)а~~- Из волнового уравнения ЛП + + йэП =О следует, что вне слоя имеем а ° +а П(х) =О' (2ВО) Рис. 2.22, Световод в ввдв диэлектрического слов 77 где д' = йз — Ь'. В металлических волноводах, как видели, дз было положительной величиной„так как Ь' < й'. В случае медленных волн, ко~орые будут иметь место прн наличии диэлектрика, Х, < Х и, так как й = 2а(Х, а Ь = 2п/Х, и" оказывается больше й2, поэтому д' отрицательно, Таким образом, поперечное волновое число д является чисто мнимым.
Обозначим — 3' = р' = Ь' — йз, тогда уравнение (2.80) примет следующий вид: д рвп(х) = 01 д*тг (х) дх~ которое, как известно, имеет общее решение в виде П(х) = А '+ Ве<- >, где А и  — произвольные постоянные. Если диэлектрик на- чинается прн х = О, то х будет расстояние от поверхности ди- электрика до точки наблюдения. Первое частное решение не имеет физического смысла, так кзк оно дает поле, нарасгзкяцее с увели- чением координаты, поэтому оно должно быть отброшено.
Следо- вательно, П (х) = Ве-~'* (2,81) Уравнение (2.81) показывает, что вне пластинки поле экспо- иенцнально убывает вместе с координатой, что согласуется с ре* зультатами рассмотренной электродинамичсской задачи в и. 2,2 на полное внутреннее отражение.
Из (2.71) находим составляющие электрического н магнитного полей впе диэлектрика: Š— — 1ЬрВе-Р +~а~; Н = — 1йрВе ~'"+1"', Е = — рзВе г"+1"', Е„= Н„Нэ = О, (2.32) Для области внутри слоя пригодно волновое уравнение (2.80), но при этом следует иметь в виду, что волновое число й будет теперь определяться выражением й = 2пл1'Х, где л — показатель преломления среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
