Крылов К.И., Прокопенко В.Т., Тарлыков В.А. Основы лазерной техники (1990) (1151950), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Рассмотрим данный метод несколько подробнее. Согласно принципу Гюйгенса — Френеля световое возмущение в некоторй точке Р возникает вследствие суперцозяцнн вторичных волн, испускаемых элементами поверхности, находящейся между точкой Р и источником света Р, (рнс, 2.27, о). Кирхгоф прядал этой теореме строгий математический вяд н показал, что значение поля в произвольной точке Р выражается через значение искомой величины и ее первой производной во всех точках произвольной замкнутой поверхности, окружающей точку Р.
Пусть ф ~х, у, з, 8) = ф ~л, у, г, ~)е нм представляет моно- хроматическую скалярную волну. Согласно теореме Кирхгофа для скалярного поля яе ~~~~ г !*с "~) — аехф)юя, д.в4> где д)дп означает дифференцирование вдоль внутренней нормали к поверхности 5; )т — расстояние от точки Р до элемента поверх- ности. Используя (2.94), оказывается возможным определить воз- мущение от точки Р, в некоторой произвольной точке Р (рнс. 2.27, з), находящейся за экраном с отверстием 5,. Будем исходить нз предположения, что линейные размеры отверстия велики по сравнению с длиной волны, но малы по сравнению с расстояниями от Р, и Р до экрана, Возьмем в качестве замкнутой поверхности бесконечную плоскость, включающую отверстие и сферу беско- нечного радиуса, и положим, что на отверстии значения ф и дфоп мало отличаются от тех значений, которые они имели бы при отсутствии экрана, а на остальной части яоверхностн ф и дф/дп равны нулю.
Пренебрегая в производных по нормали членами, малыми по сравнению с й, найдем 'ф(Р) — — „Д ~ 1соз(пг) — сов(пР)) сЕ5. (2.95) Это так называемая днфракциониая формула Френеля — Кирх- гофа. Очевидно, что вместо 5з можяо взять любую другую поверх- ность, границы которой совпадают * краями отверстия. Если вместо 5„взять часть падающего волнового фронта 5, то при достаточно большом радиусе кривизны фронта формула (2,95) может быть представлена в виде ф (Р) 4п г ) д (1 +сов О) п5, (2.96) з, тах как соз (пг) = 1, а О = и — (пЯ).
Формула (2.96) берется за основу в рассматриваемом методе, , Использование формул, имеющих место для скалярного поля, обу- словлено предположением, что электромагнитные волны в резона- торе квазипоперечные и линейно поляризованные. Согласно (2.96) амплитуда поля в некоторой точке Р на по- ,верхности второго зеркала, обусловленная освещенной поверх- ностью А, т. е.
первым зеркалом, при заданном распределении 'поля определяется выражением я емл фр = 4 ~фа (1 + сов О) Ы5, (2.97) где ф, — амплитуда поля в некоторой точке а поверхности пер- ' вого зеркала; й — расстояние между точками а и Р; Π— угол ' между нормалью и к зеркалу и Я 1в данном случае (2,95) соз (п5) = = 1). Рассматривая волну в резонаторе, попеременно отражающуюся от его зеркал, найдем, что после д проходов поле у одного зеркала связано с полем, отраженным от другого зеркала, соотношением вз (2.97), где фг следует заменить на и~ < и — поле рассматривае- мого зеркала, а ф, на пч — поле у противоположного зеркала, вызывающее появление воля и (д+ Ц: (А г е-~"' а+и= ~ ), я (+со ) Ю, (2.96) При увеличении числа и, т.
е. после многочисленных проходов, распределение поля у зеркал будет подвергаться незначительным изменениям от отражения к отражению и са временем станет стационарным. На этой стадии распределение паля на обоих зеркалах должно совпадать с точностью до настоянного комплексного множителя, отвечающего за изменение амплитуды и фазы прн прохождении волны ат одного зеркала к другому.
Это устовие можно представить в виде и = (1)у) и, где а — функция распределения (о зависит талька ат наложения точки на поверхности зеркала и не изменяется ат отражения к отражению); у — постоянная, не зависящая от пространственных координат. Из (2.98) н (2.99) получим следующее интегральное уравнекие: а = у Кпп5, (2.100) в котором ядро интегрального уравнения К вЂ” — (1 + соз 8) е — мл. ь 4яЯ (2.101) Собственные функции п„удовлетворяющие уравнению (2.100), соответствующие различным собственным значениям у„, описывают распределение паля па поверхности зеркала и представляют собой различные нормального типа колебания, т, е.
иоды резонатора; 1и у определяет постоянную распространения, связанную с данным нормальным типом колебаний. Постоянная распространения является величиной комплексной, Действительная ее часть определяет потери за один нрахад, а мнимая — соответствующий сдвиг фазы за один проход, добавляемый к геометрическому фазавому сдвигу. Интегральное уравнение (2.100) решается методом последовательных приближений на ЭВМ. Следует заметить, чта когда решения становятся стационарными, можно взять любую точку на волновом фронте на зеркале, например центр зеркала, и изучить изменения фазы н амплитуды от отражения к отражению.
Фокс и Ли провели решение на вычислительной машине для пря. маугальяых плоских зеркал, круглых плоских зеркал и конфокальпых сферических зеркал. Для наиболее часто встречающихся круглых зеркал (рнс. 2.23) форму- з, ~е ла (2.100) принимает еле. ф"' дующий внд: е еы оз о(ге~ре) =т) ) К(гм ~„У.
ъ„/' Рис. 2.2З. Геометрии Реаоиатора с нруглыыы г ер„)о (г ср )г Лг ~~р . илосаымы аерыалаии Если выполнено условие ае/Ьл с1' (Ь/а)е, та правую часть можно проинтегрировать по ~р, в результате чего получим о(г, р) = Я„(г) е-~ло, где а — целое тисло, а е сей ь)цен'~фл(~»" )3'...х /К (с1+с1) х е м я„(г;)) гала. (2.102) Здесь ӄ— функция Бесселя первого рода и-го поргдьа. Уравнсийе (2.10Ц является однородным линейным интегра.:ьным уравнением второго рода с непрерывным и имметри кым ядром. Его собственные функции о„(г, ~р) = )с„(г)е< — ~ е), соответствующие дискретным собственным значениям т„описывают распределение поля яа круглом зеркале я предо "авл юе собой различные моды резонаторов, Нормальные тич колоб аай являются поперечнымн злектромагнигными и обои" аются как ТЕМ,, где и-- индекс, харзктеризткацнй нх ог езе: лс радиальное распределение; Я„ описывает рааьальлое рас...,- деление амплитуды поля, угловое распределение,юсит сииуьсидальный характер. Константу распространения для данной моды 1п у вычисляют из (2.102), Условие резонанса той или другой моды требтсг.
чтооаы ь".иенение фазы волны при прохождении от одного зеркала к ~ру оку и обратно было целым числом, кратным л, ыгг зч а. нтнс Ь = ай~2. Таким образом, собственные типы кзлзолзьй ь зо: агой отождествляются с модами ТЕМ„„,, Основным параметром, как и для резонатора г ноямоуго. ьными зеркалами, является число Френеля Л" .= ос(ЬХ. равное числу зон Френеля на поверхности одного;:ркала "ря наб';ые.
иии нз центра другого На рис. 2,29 и 2 30 поиведсгы со~ .иетственно распределение амплитуды и фащ: поля,.авера и= поверх. ности зеРкал длЯ мод ТЕМ„» и ТЕМееа пй сапных 1й -4б -бб 0 йг 44 дб Рб д д Рл Рнс. 2.29. Распределение амплитудм Рис. поля на поверхности перхал для модм длв тЕМмс при равных Ф 40 виси ет гб один -ю ТЕМ 'б поте 4 для г ~~4 анал ~об пред Р й4 сти зеркал, Используя аналодг гшо с теорией золноводов, аг Вайнштейн получил аналитические решения данной задачи. Его результаты хорошо соглаРис.
2.зк зависимое'и по~еР' моих суются с числекнымн решеиияности иа один проход пт Ф для мод ТНМмо ми Фокса и Ли. Задача ре- шается исходя из представления о том, что собственные колебания в открытых резонаторах с плоскими зеркалами имеют характер волноводвых волн между параллельными плоскостями при частотах, лишь немного превы|пающих ьритические частоты. Такие волны, приходя к краю резонатора, почти не излучают, а имея коэффициент отражения, близким к единице, отражаются обратно. 2тп РЕЗОНАТОРЫ СО СФЕРИЧсСКИЯИ ННРКЫ1АМИ В качестве резонатора в лазерах часто используется другой тип интерферометра, который обладает рядом практических преимуществ перед иитерферометром Фзбри — Перо.
Им является интерферометр Конан, который образуется двумя идентичными вогнутымя зеркалами, фокусы которых расположены в одной н 92 той же точке. Такая система часто называется конфокалшгым резонато' ром. Электромагнитное по'ле в такой системе исследовалось также Фоксом и Ли вышеописанным методом. Одна из исследованных ими конфигураций зеркал представляла со' бой коифокальную систе- му, образованную сфери' ческими зеркалами с кру, говым поперечным сечением (рис. 2.32). В етом случае уравнение (2.97) принимает еле. дующий вид: а 2л чм(аРз) 2Х 1,) ч(1Р~) Р (, + д ) (2.1ОЗ) Здесь Р = )г' Ь1 + г1 + гз — 2г1гз соз (чп — рД, ; а расстояние Ьт определяется соотношением Ь„= Ь вЂ” Л, — Лм где Ьа = Ь вЂ” ) Ь'-' — г), 1 = 1, 2, Если Ь/а велико, то Ьч ж , ж гф2Ь.
Сферическое зеркало с малой кривизной хорошо аппроксимирует параболическое зеркало, В атом случае значение Л, яи ж г,"/(2Ь) является точным и уравнение (2.103) прн а'/(Ьл) « ~~ (Ь(а)' существенно упрощается, принимая вид в 2я )е- Гы <р ) ~ ) а (~,<р ) е~ь имад) соз(Ф,-чи г1д<р аг Ьа Соответствующее интегральное уравнение имеет вид к 2Л О(га%д=у) ) К(гм Фм гм %)о(бм %дгзсИ1Ь1 во Так же, как и в случае плоских зеркал, решением интегрального уравнения будет о (г, ~р) = 5„ (г) е — л"ч, ~ где а — целое число. Величина 3„(г) удовлетворяет приведенному г интегральному уравнению О 5„(г))l г =у„К (г, г1)5„(г1))гг1йы Ю Л/4в дв аа о ог оо 66 од г о аг ол ов ов Рве. з.зз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
