Крылов К.И., Прокопенко В.Т., Тарлыков В.А. Основы лазерной техники (1990) (1151950), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Таким образом, й' й'л~ — Ь'. Частными решениями данного волнового уравнения будут: П =Ятз)пух; (2.83) П =А,сахих, (2.3д) чтосогласно (2.71) позволяет найти компоненты поля, Так, для решения (2.83) получаем: Е, = 1Ь вЂ” „е~ь' — )ЬдА, соз дхе1"'„ дП (х) Е, = йзП (х) е1Р дзЯ1 з1п дхеть*- Н„= )йлз — е1'" = )йдлзА соз лхе1ь' дП дх Ф Е„= Н„Н„= О.
Для нахождения характеристического уравнения, позволяющего вычислить фазовую скорость волн, распространяющнхсн Кд ! ! 1 1 4~Ф а Отсюда полушьм р1 - —,, 81(~(й1). 1 (2.86) При заданной пластине, т. е. когда ее толщина и показатель преломления известны, уравнение (2.8э) определяет необходимые ,соотчошения между д и р для воли, которые могут существовать ;в пластине.
Так как р соответствует как бы поперечному волновому числу вне пластины и по существу определяет затухание в направлении оси х, а д — поперечное волновое число в пластине, .то распространение волн может быть только при вполне определенном соотношении этих двух величин. Второе частное решение аналогично приводит к соотношению р1 = — — з- и1 с1к (81), (2.87) Электрические волны, определяемые уравнениями (2.83), (2.84), имеют различнузо симметрию относительно пластины х = О. 1Электрическую волну (2,84) называют четной электрической вол'ной, так как ее составляющие Е„и Нз определяются соз (дх), т.
е. ~етной функцией, Волна, описываемая (2.83), называется ' нечеткой, так как ее составляющие определяются нечетной функцией. Следует заметить, что в силу четности или нечетностн со' ставляющих полей, граничные условна при х =1удовлетворя' ются автоматически, если они удовлетворяются при х =1. Та, ким образом, вторую границу можно не рассматривать.
Диаграмма зависимости р1 от 1 (л1) для четных волн представ,"лена на рис. 2.23. Для волн в пластинке помимо уравнений (2.8э), "(2.81) должны быть выполнелы также соотношения: з аз з аз. ,з . оз аз. а + а ьз ( 1) Ю +(р1) =(й1) (в — 1). (2.88) Уравнения (2,88) есть уравнение окружности хе + уз = )тз с центром в точке О и радиусом 1т = л1 ) га~ — 1. Если пластинка ув Вдоль пластины, воспользуемся граничными условиями авенства тангенциальных оставляющих электрическоо поля Е,в двух средах (вне пластины и в пластине), а также равенством тангенциальных составляющих магнитного поля Лз.
Из (2.82) и (2.85) при х = 1 находим; -- р'Ве —" =- а'Ат з1п л1; — рВе Ы = лздА соз а1. Рае. З,та. Лааграмма таооа зоаеаааай аазаезтрачееаого ееетоаода имеет толщину ( н показатель преломления п, то прн заданной частоте Ь радиус окружности оказывается заданным. На диаграмме величины й) и р!, которые 'соответствуют волне в пластине, с одной стороны, должны являться тачками окружности, определяя значение ее координат х и у, а с другой стороны, принадлежать кривым р( = ((й(). Очевидно, что зти требования будут удовлетворены в точках пересечения окружности с кривыми р1 = ~ (ф), Так как эти окружности пересекают лишь конечное число ветвей кривых р( = ( (я() (рис. 2.23), та и искомое решение будет иметь лишь конечное число корней.
Из диаграммы видно, что при Я < а имеется лишь один корень решения — это волна Еоо, при и < Я < 2п появляется второй корень — волна Ееп при Зя > К > 2п — третий корень (волна Еы) и т. д. Чем больше Р, т. е. частота, тем больше число возможных волн в заданной пластинке, Волновые числа этих волн находит нз соотношения Ь' = Ь'+ р'. Таким же образом определяют и нечетные электрические волны. При заданной пластинке (( н а) и частоте значение у оказывается известным, затем находят точки пересечения соответствующей окружности с эетвямн функции й( ° )". (р(), а значит, типы волн.
По определенным из графика значениям р1 н известному значению Ь определяют волновое число Ь медленных волн, распростраия1ощихся в пластине. Обратим внимание на то, что при )т < я/2 для нечетных волн решения нет, т. е. нечетные электрические волны в этом случае отсутствуют. При Е С п(2 появляется волна Еаь при Я > Зп/2 — волна Ем и т.
д. Вообще волны типа Е,„, как четные, так и нечетные существуют лишь при условия Я глл/2. Частоты, при которых появляются новые распространяющиеся волны, называются критическими частотами. Вместе с электрическими волнами в пластинке могут распространяться и магнитные волны. Их рассчитывают путем введения магнитного вектора Герца с компонентами П» 0; П,",, = О", П," = П„ем', Заметим, что при очень высоких частотах величина К становится весьма большой, вместе с тем возрастает и р(, т.
е. волна при удалении от диэлектрика быстро затухает. Прн таких высоких частотах волновое число Ь = )%'а' — йл сгремится к Ь = Ьи, т. е. волна распространяется с той же скоростью, что и в безграничном диэлектрике. Прн частотах, лишь немного превышаклцих критическую частоту, р-~ 0 и Ь вЂ” «Ь, при этом поле в основном расположено вне слоя, а скорость распространения волны близка скорости распространения в вакууме с. Электромагнитное поле цилиндрических световодов определяют аналогичным образом при помощи введения вспомогательных электрического П н магнитного П" векторов Герца. При этом используется цилиндрическая система координат, ВО Векторы Герца для области вне стержня, т, е. прн г ~ О, казываются равными: П, = В»К (рг)з1п(тдр+ ~р») ед"', П," = В»К (рг) соз (акр + чдд) ерм» я области внутри стержня, т, е.
при г < а, равными: П, = Ад/,„(йт) з1п (т<Р + чд,) еды; П," = А»У (лг) соз (тдр + Чч) е~~*, где К„, (рг) — функция Макдональда; У,„(дг) — модифнцироанная функция Бесселя с индексом т. Отсюда, используя известные соотношения между П и Е, Н определяют составляющие электрического и магнитного полей как в стержне, так и вне его. Для определения возможных типов волн, как н прн рассмотрении электромагнитных волн, распространяющихся по диэлектрической пластинке, может быть применен графический метод.
Заслуживает внимания ири этом распространение основной волны, имеющей азнмутальный индекс т = 1. Анализ уравнений, пределяющих ее распространение, указывает на большую раиальную ее протяженность. Покрывая сердечник с достаточно малым поперечным сечением н большим показателем преломления материалом с более низким показателем преломления, можно получить световод, пропускающий один или несколько типов колебаний в оптическом диапазоне.
Заметим, что рассмотрение вопроса о распространении элект'ромагнитных волн в диэлектрических стержнях и световодах .имеет большое значеяне не только с точки зрения канализации электромагнитной энергии по световоду, но и с точки зрения понимания физических процессов, происходящих в лазерах, в которых рабочие тела представляют собой оптические волокна, о чем подробнее будет изложено ниже, 2.'7. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПТИЧЕСКИХ РЕЗОНАТОРАХ Как указывалось ранее, одним из основных элементов оптического лазера является резонатор.
Термин «резонанс» предполагает нарастание амплитуды электромагнитных волн вследствие многократного отражения их от некоторых отражадощих поверхностей. Колебательная система, представляющая собой некоторый объем диэлектрика, ограниченного замкнутой окружающей поверхностью, носит название объемного резонатора. Объемный Резонатор имеет бесчисленное множество собственных резонанс~днык частот. Задача определения параметров объемных резонатоРов и их собственных частот сводится к решению уравнений Мак- 83 свелла прн соответствующих граничных условиях на стенках, В некоторых случаях задача значительно упрощается, если использовать результаты, полученные при исследовании процессов в других злектродинамкческнх системах.
Обычно используемые в злектродинамнческнх снстемахзамкнутые резояаторы имеют размеры, соизмеримые с длиной рабочей волны, прн этом спектр собственных частот в рабочем диапазоне разрежен настолько, что практически он ограничен всего лишь несколькими, а в некоторых случаях одним видом колебаний, В лазерной технике замкнутые обьемные резонаторы применяются редко. Такие резонаторы могут быть использованы лишь в крайней длнннозолновой части оптического диапазона.
В ИК области и в видимой частя сгектра ввиду весьма малых Хпоявляется необходимость использования резонаторов с размерамн, значительно превосходящими длину волны. При этом собственные типы колебаний, совпадакяцне по частоте с частотой переходов в атомах рабочего тела, имеют весьма высокий порядок. Вместе с тем в замкнутых объемных резонаторах спектр собственных частот резонатора с повышением частоты непрерывно увеличивается и становятся весьма плотным, т. е, разница между двумя соседнимн частотами в рабочем диапазоне становится малой. Число колебаний ЛМ, приходящихся иа интервалы часто~ Ьа, равно где $' — объем резонатора; с — скорость света.
Для высоких частот, когда длина волны мала по сравнеикк> с размерами резонатора, спектр, как это видно из ~2.89), вообще не зависит от формы резонатора и определяется только его объемом, Таким образом, применение закрытых резонаторов в оптическом диапазоне не представляется возможным. Для того чтобы можно было использовать резонаторы в оптическом диапазоне час~от, необходимо сделать спектры их собственных частот более. редкими и, кроме того, по возможности уменьшить потери в резонаторе, т, е.
увеличить нх добротность. Оказывается этого можно достигнуть путем удаления боковых стенок резонатора, в результате получается резонатор, называемый открытым. Удаление боковых стенок в резонаторе приводит к тому, что в резонаторе остаются лишь те типы колебаний, которые образуются путем отражения волн от торцовых стенок. Все другие типы волн исчезают, в результате спектр собственных частот открытого резояатора оказывается разреженным по сравнении со спектром аналогичного замкнутого резонатора.
В связи с этим наиболее распространенным резонатором оптического квантового генератора является резонатор, состоящий из двух отражакяцнх поверхностей, расположенных на некотором расстоянии друг от друга, Простейшим видом такого резонатора будет являться резонатор, Ю состоящий из двух плоских зеркал, т.
е. представляющий собой по существу вид иитерферометра Фабри — Перо. Однако резонатор в лазере может быть образован и двумя сферическими зеркалами. Часто применяется резонатор, образованный одним плоским и другим сферическим зеркалами. Используются такие резонаторы, состоящие нз нескольких отражающих поверхностей. Если Рис. 3.24, Прсмоугоаьяма оаъемома система зеркал обеспечивает циркуляцию луча по замкнутому контуру, то такой резонатор получил название кольцевого. В качестве отражающих поверхностей, как было указано вьппе, используются металлические, диэлектрические зеркала, а также призмы полного внутреннего отражения н сетки.
Прежде чем перейти к анализу отдельных типов оптических резонаторов, используемых в лазерной технике, рассмотрим некоторые основные свойства закрытого резонатора на примере прямоугольного объемного закрытого резонатора (рис. 2.24). Определим прежде всего собственные колебания резонатора, полагая, что его стенки обладают идеальной проводимостью н что внутри резонатора среда с з = ) и р = (, Волновое уравнение для вектора, как известно, имеет вид йЕ+ й'В = О. Решая зто уравнение методом разделения переменной и принимая во внимание граничные условия Ес = О, т. е. что прил=0; я=а Ео — 0; Е,=О; приу=О;у=Ь Е„=О;Е,=О; приз =0 з =а Е =0 Ея -О, а также, что внутри резонатора нет свободных зарядов (б)ч В = = 0), найдем: ась ЛЯ дя Е =Асов — хз1п з узап — г; а Ь с Е. = В ми — лсоз — у ми — з; ШЖ оя /Ш я а Ь с (2.90) Е, = а Мп — х зщ — у соз — з аея дя ря а Ь с 1 где ае, и и р — целые числа, каждое из которых может прини- .
мать значения О, 1, 2, ...; А, В н С вЂ” комплекскые постоян- ные. Величины аеп/а, пп(Ь н рп/а представляют собой составляю- зз щие волнового вектора й, по осям х, у, г, т. е. й соз сс = гл~/а = =- й„; й соз () — ли(б — й„; й соз у = ри)с = й„где гс, р и у— углы между направлением вектора й и соответствующими осями координат. Таким образом, волновое число и определяется из уравнения й'=й!+Ц+й) = ~ — „.)'+ ~ — ", )'+~ — Р)', (2.9Ц Составляющие магнитного поля Н можно найти, воспользовавшись соотношением 1 Н = —.го1Е. = )ь Отсюда имеем; Н = ° ( С В)з1п я / л р т .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
