Крылов К.И., Прокопенко В.Т., Тарлыков В.А. Основы лазерной техники (1990) (1151950), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Ылх лил рл2 )Ь(,Ь с,) а с с Н = —. ~ — А — — С) соз — з1п — 'соз —; л l р лс ~ шля . ляс рая (а ~с а,) а З с я г а л т тех м~с, ряс Н, =- —. ( —  — — А ) соз — соз — з1п —, 1л(,ю 6,) а Ь с' Таким образом, каждой тройке чисел т, и и р соответствует некоторое поле в резонаторе, определенное уравнениями (2.90) и (2.92) с волновым числом й, которое может быть найдено нз (2.91). Поле имеет длину волны и частоту Каждой тройке чисел соответствует волна с определенной частотой ~, имеющая свое распределение поля н свое определенное направление распространения. Простейшее колебание в полости будет при гл = 1, л =-1, р = О (если два индекса будут равны нулю, то поле вообще исчезает).

Оно имеет частоту с л/ 1 ! т= — 1~ — + — г- 2 с' а' Ь Это так называемая основная собственная частота колебаний резонатора. При этом электрическое поле имеет только одну составляющую по оси г, т. е, Е„.= 0; Е„= О, Е, ~ 0; магнитное поле по оси х не имеет составляющей, а отличными от нуля будут составляющие по осям х и у: Н, = 0; Н„Ф 0; Н„~ О. Заметим, что множитель ~), стоящий в формулах для магнитного поля, показывает, что магнитное поле сдвинуто по фазе аа на я/2 относительно электрического. При стоячих волнах в резонаторе бывает момент времени 1, когда нся энергия сосредоточена н магнитном поле. Электрическое поле в этот момент времени отсутствует, и бывают моменты (1а = 1 + Т/4), когда вся энергия сосредотачивается в электрическом поле, в этот момент времени магнитное поле отсутствует.

На примере прямоугольного замкнутого резонатора видно, что резонаторы имеют дискретные резонансные частоты колебаний, Это означает, что каким бы способом ни пытались возбудить ; какое-либо колебание данного типа, никаких полей правильной формы в резонаторе не возникает до тех пор, пока частота возбуждения не будет в точности равна резонансной частоте.

Однако при определении собственных частот резонатора этот результат получен в предположении, что проводимость стенок резонатора равна бесконечности и никаких потерь энергия в стенках резонатора, а также в диэлектрике, заполняющем резонатор, не происходит.

В действительности проводимость стенок имеет вполне ,определенное значение, не исключается возможность также потерь и в среде, заполняющей резонатор. Действительно, в резонаторе, .заполненном веществом, частота колебаний от, отлична от частоты го незаполненного резонатора, причем оав = оЛ згь. , Если з и р — комплексные величины, то частота оказывается также величиной комплексной: ы,= го' — ~го". Мнимая часть оа, , при этом определяет затухание колебаний. И то и другое приводит к потере энергии при колебаниях.

Возникшие в резонаторе коле; бания при отсутствии источника энергии, восполняющего потери, будут затухающими, Такого рода затухающие колебания имеют не одну частоту, а представляют собой суперпозицию частот, .расположенных около резонансной частоты ьо. Таким образом, в действительности имеется некоторый узкий интервал частот, 'внутри которого возможно возбуждение резонатора, Кривая зависимости интенсивности возникающих в резонаторе колебаний от частоты воздействующего иа него колебания (резонансная кривая) имеет вполне определенную форму и полуширниу.

Острота ,резонансной кривой определяется относительными потерями в резонаторе за один период, ч. е. его добротностью еа Запасенная анергия 2н Гйонтность потерь Если запасенная в резонаторе энергия будет й7, то мощность потерь равна взятой с обратным знаком производной по времени от йо: ~~о пг ял Ц' отсюда ~а йтс = $'ое а"и . (2.93) Таким образом, видим, что запасенная в начальный момен~ времени энергия йт„ экспоненцнально убывает со скоростью, причем коэффициент затухания оказывается обратно пропорциональным добротности резонатора.

Из (2.93) следует, что напряженность электрического пс ля в резонаторе изменяется в течение времени по закону а е-~"". Отсюда, представляя Е (/) через интеграл Фурье, находим Ес 1 Е(оо) е — гаа с(со ! Рас. 2.2З. Разоаааснаа араааа ро- аоаатора где 4Ввс Произведя соответствующее интегрирование, найдем следующее распределение энергии по частоте в резонаторе: 1 (о — оо)о + (то/(2що ' где произведена соответствующая замена со на 2ят.

Таким образом. видим, что резонансная кривая имеет лоренцову форму (рвс. 2 26). На высоте, .равной половине максимального значения энергии, ширина спектральной линии резонатора равняется оо/Я. Половина этоЛ величины, т. е. то/(2(3 = а, называется полушнряной резонансной кривой. Таким образом, в соответствии с тем, что было сказано ранее, полуширина спектральной линии резонатора обратно пропорциональна его добротности, или, так как добротность обратно пропорциональна потерям, резонансная кривая имеет разны.ость, прямо пропорциональную потерям. Острия кривая получается только в резонаторе, обладающем весьма малыми потерями.

Из (2.93) следует, что при наличии затухания энергия в резонатоРе УменьшаетсЯ в е Раз за вРемЯ ч = 2н4/соо = (т/оо. Так как оо = (/То, где Т, — время, требуемое для одного колебания, то ~ = т/Т, Таким образом, добротность резонатора определяет число свободных колебаний, необходимое для уменьшении зна- Вб чения энергии в ием до 0„366 ьачальяога значения, а величина ч может быть рассмотрена как время «звучания» резонатора.

Поскольку добротность определяется потерями энергии, а последние зависят от частоты, то и добротность резонатора является функцией частоты, В пустых резонаторах колебания затухают вследствие потерь в стенках. Потери в стенках реального резонатора являются потерями на джоулево тепло; в реальных проводниках ани тем больше, чем меньше глубина проникновения электромагнитных волн внутрь металла, т, е. чем меньше толщина скин- слоя с), который убывает пря возрастании частоты. Таким образом, добротность резонатора имеет различные значения для различных собственных частот резонатора. Наиаальшей добротностью резонаторы обладают при самых низких типах колебаний, которые в ннх возникают, т. е, при основных частотах. Это обстоятельство наряду с необходимастшо разрежсния спектра собственных частот приводит к тому, что размеры закрытых резонаторов выбираются соизмеримыми с рабочей длиной волны.

В оптическом диапазоне, как уже указывалась, необходимо .использовать резонаторы другого типа — открытые, обладающие не только сильно разряженным спектром собственных частот, на , в то же время и достаточно высокой добротностью яа возникающих в них колебаниях высших типов. Высокая добротность в от'крытых системах осуществляется благодаря одному из трех физических явлений, происходящих в них: 1) отражения электромагнитных волн от краев резонатора; 2) образования каустических поверхностей; 3) явления полного внутреннего отражения, о чем ,более подробно будет изложено ниже. 2.8. РЕЗОНАТОРЫ С ПЛОСКИМИ ЗЕРКАЛАМИ Начнем рассмотрение открытых резонаторов с наиболее про- стого типа, представляипцего собой два плоских параллельных ' зеркала, расположенных на некотором расстоянии друг от друга.

Такая система является па существу известным в оптике интерферометрам Фабри — Перо. На рис. 2.26 показана система из двух 'плоских зеркал с падающей на нее под углам 8 к оси плоской вол. ной, При этом, если выполнено условие Ы саз О = ~)Х нли 2»» яи яи р)» )последнее для вали, распространяющихся вдоль оси), где д— целое число, то в пространстве между зеркалами возникают стоячие волны. Однако такая простей. ая теория может быть использована только для резонатора, имеющего зеркала, размер которых значительно больше расстояния между зеркалами, при возбуждении ега Р„с.

2.2в. Резоиазоэ с двумя ~пешням источника:и света, В лазерах плоскими зеРкалами ву ! я! ! ряс, 3.27, Волновые поверхячстя Кнряшфа обычно нсцользуются резонаторы типа Фабрн — Перо, в которых размеры зеркал значительно меньше длины резонатора, при этом появляется необходимость учитывать искажение фронта на краях зеркал и возникающие прн этом дифракционные потери. Проблема нахождения распределения поля и определения собственных частот в интерферометре с зеркалами ограниченного размера приводит к краевой задаче, которая не решается обычными методами в явном виде. Для втой цели может быть испольван метод, предложенный Фоксом и Ли, который заключается в рассмотрении однородной плоской волны, начинающей свое распространение с одного из зеркал интерферометра.

Применяя принцип Гюйгеиса-Кирхгофа, вычисляют распределение поля на другом зеркале. Найдя это распределение. отраженную от второго зеркала волну берут за исходную н вычисления повторяют и т. д. После большого числа таких операций оказывается, что распределение поля на зеркалах приходит к определенному предельному значению н не меняется при последующих црохождениях волны, при этом уменьшается лишь общая амплитуда из-за дифракционных потерь. Полученное распределение и принимают за нормальный тнп колебаний.

Б методе Фокса я Лн считается, что внутри резонатора нет поглощающей нлн усиливающей среды, и он является чисто пассивным. Начальное распределение интенсивности поля на поверхности первого зеркала произвольно. Выражение принципа Гюйгенса используется в виде скалярного интеграла Френеля.

Характеристики

Список файлов книги