Крылов К.И., Прокопенко В.Т., Тарлыков В.А. Основы лазерной техники (1990) (1151950), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В уравнении (3.1) У;„и Жы представляют собой полные ероятиости переходов с уровня 1 на уровень 1 и обратных пере- , одов с 1 иа 1. Под полными вероятностями разумеются совокупности всех видов возможных переходов: как сопровождаюихся излучением и поглощением квантов — радиационных пере- 'ходов, так и безызлучательных — нерадиационных переходов. К первым относятся излучательные спонтанные переходы, вероятность которых определяется коэффициентом Ап, и вынужденные ',переходы, определяемые коэффициентами Вп и Вп. Ко вторым бзтносятся релаксационные переходы Ап и бп, при которых энер- гия Е! — Е, передается окружающим молекулам в форме поступа- тельной, колебательной или вращательной энергии. Таким об- разом, Ф'и = Ап+ Вп+дп пРи 1~1; йГл — — Вл+дл при 1~1; йГы= Вы+4;; йГм= Ам+Вы.+4;, ) ~1 (3.2) Так как вероятности переходов являются величинами, обрат- ными временам жизни т„— спонтанного перехода, т, „— вы- нужденного н *б,„, — безызлучательного, то ! 1 1, 1 — =- — + — + —, таз твын тб.
иел где т — полное время жизни на данном уровне. В тех случаях, ,когда то или другое слагаемое оказывается значительно меньше остальных, прн вычислении полной вероятности переходов им ,,можно пренебречь. Уравнение вида (3.!) может быть использовано для описания "любого уровня системы, содержащей )у уровней. Одно из уравне- ний этой системы является зависимым.
Принижая во внимание, ' что общее число частиц Л', в системе при любом распределении ' остается неизменным, получим 1 М Х %~ = ~»1б. »=! Совокупность (ЗА) н (З.2) представляет собой У незавксимых уравнений, содержащих У неизвестных М!. Решение этой системы з общем виде, т. е. вычнсление населенностей всех У уровней, однако, может быть получено только в случае стационарного процесса, когда»»М!/д( = О, црн этом система дифференцаальных уравнений первого порядка переходцт в систему линейных однородных алгебраическнх уравнений. Поскольку число неизвестных равно числу уравнений, имеем каноническую систему: амУ, +а!»Уз+ амМ»+ - ° +а»„У„= Ь„. аахМ» + аз»Мз + амМа + ' ' ' + аз!»М!! = Ьз~ аа»М! + а!!»М» + аьзМа ..
° а!!!!Му! — Ь!». Определитель данной системы будет ам ...ам ...а„„ ам ° ° ° аз> ° . а» ! а » ... а » ... ав Если определнтель 0 чь О, то, как известно, система нмеет одно решение, Корн!» М, прн этом определяются формулой Крамера: »»! О»»»! В„ Л = —; Л = —; .. °; М =;. ° .; М = —, (З.4) 0' »»' '''' »» ' ''' 0 где О» — определитель, получающийся нз Э заменой столбца, составленного нз элементов аю прн нензвестном Мь столбцом, составленным из свободных членов, а„а„...Ь ...а,„ а»» ам ... Ь, ...
а„, а„, а„, ... Ь„...а„„ Поскольку в системе уравнений, определяемой (ЗА) н (З.З), все элементы правой части уравнений равны нулю, за исключением л-го, который равен Мм будем иметь а„а„... О ... а»„ ам ам ... О ... а» а!!» а!!3 ° ° ° МЮ ° а!!я Разлагая Е~, по элементам /-го столбца, получим В» — — М,А„», Значительно более сложным оказывается расчет трехуровневой системы.
Исходные уравнения при атом имеют следующий вид: "Л1з = Р Л' + Ровд'в — ЛГз (Р + Р ) = ()1 аайв/'(1 = Разов~а Л~з (Рвз + Роа) + Рззаов = О1 Л1а + Л'в + Л'в - ~о Определитель системы уравнений (Раа + Рва) Рзв 1 Рм (Рм + Рва) 1 Рав 1 ,'адъюнты при атом принимают значения: Азз = (Рзарм + Рмрвз + РзвРва); Азз = (РзоРав + РваРы + Разрзв) Аоз - (РаоРоз + РазРм + РвзРьо) о Отсюда следует, что Л1д — ЛГоАза/О = (ЛГо/Ю) (РваРва + Рварво + Рмрм)' Фв = ЛаоАза/Е' = ( — Л/о/О) (Рззрао + Рвврао + Рз,Ры)' Л'з = Л'оАоз/О = ( — Л'оФ) (Раврвз + Рмрва + Разроя) 111 ' где А„; — адъюнкта /-го столбца и и-й строки (определитель а — 1-го порядка, образованный из заданного определителя зачеркиванием л-й строки и 1-го столбца со знаком — !о+1). Подставив значение 01 в (ЗА) окончательно получаем: Ла1 = Л1о 4о1 (3.5) На основе (3.5) оказывается возможным рассчитать для задан' рои системы населенности всех ее уровней.
Б простейшем случае для системы, состоящей всего из двух "уровней, исходными будут уравнения: И,/Аг = Л,Є— Л1,Р,„= О; Л'а + Лав = Л1о. Определители 0„0в и В имеют вид: Рм Рм ) Π— Рза — Ры+ Рва' )=о,;, Л'о о Лго Таким образом, населенности первого и второго уровней равны: МоРм . аа МоРав 1 Рм + Рч Раз+ Раа Определитель 0 может быть найден по правилу Саррюса: (З = — Р з (Рзв+ Р ) + Рззрвз — (Рзз + Рвз) Р— (Рм + + Рвз) (Рзв + Рзз) Рззрзз + РззРы. Следует иметь в виду, что при вычислении относительной населенности двух уровней расчета определителя )з не требуется, Например, Лз Р зРзз+ Рзздзз -1- Р:згзз пз РззЗззз+Рзз1ззз+ ЗзззРзз Аналогичным образом производится расчет и четырехуровневой системы.
Окончательное вычисление населенности Л',, У„Л~з... оказывается возможным только после определения полных вероят. иостей Рм. Для многоуровневой системы, даже для стационарного режима, расчет становится весьма громоздким, Основным способом упрощении расчета является мотивированное уменьшение числа рассматриваемых уровней системы. Кроме того, при рассмотрении вероятностей некоторые из них оказываются значительно меньше других, в этом случае с достаточной степенью точности их можно не учитывать. Все вышеизложенное относилось и стационарным режимам. Для нестациоиариых режимов з(Л1,/21=~ О, при этом система уравнений (3.1) станет системой нелинейных дифференциальных уравнений, и расчет значительно усложнится. Кроме того, так как вероятность вынужденных переходов зависит от плотности фотонов, а при переходах между уровнями энергии происходит их испускаиие или поглощение, система (3.1) должка быть дополнена уравнениями, учитывающими изменение плотности фотонов во времени, = о Г ' (М, Л7,) — Км(()1 йр„г виэм„ где рп = р (мм) — плотность энергии излучения иа частоте резонансного перехода между уровнями 1 и 1; Лм (1) — феиомеиологически введенный коэффициент потерь иа частоте взп, который в общем случае может зависеть от времени.
3.2. ИОЛУКЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЛАЗЕРОВ При описании процессов в лазерах, приведенных в гл. 1, предполагалось„что коэффициенты, характеризующие вероятности спонтанного и вынужденного излучений, известны или для произвольной системы оии могут быть рассчитаны при условии, 112 что активные атомы взаимодействуют с излучением в свободном пространстве. Однако в случае, когда атомы находятся в резонаторе, как это имеет место в лазерах, они взаимодействуют с электромагнитным полем в виде стоячих волн. Подобное распределение поля возникает при наличии вынужденного излучения активной среды, при этом свойства самой среды изменяются в присут,ртвик поля. Поэтому более точное решение поставленной задачи 'требует более строгого рассмотрения взаимодействия излучения в лазерах с активной средой.
В отличие от методов, использующих кинетические уравнения, приведенные выше, при более строгом рассмотрении необходимо учитывать, что под действием электромагнитного поля внутри резонатор» атомы активной среды начинают осциллировать подобно микродиполям. Этн диполи создают микроскопическую поляризацию Р, численно равную электрическому моменту еди' ницы объема активной среды. Микроскопический днпольиый момент„действуя как источник излучения, возбуждает поле, 'Измененное поле действует иа атомы и т.
д. Таким образом, в результате взаимодействия внутри резонатора устанавливается самосогласованиое электромагнитное поле. При построении самосогласованной теории лазеров оказывается возможным два пути в зависимости от того, каким методом представлять взаимодействие электромагнитного поля: с точки зрения классической электродинамики или с позиций квантовой механики, при этом атомная система как в том, так и в другом случае описывается кваитово-механически, Первый метод яв'ляется менее строгим, так как с его помощью нельзя, например, учесть шумы лазера и статистические свойства света, рассмотреть (эффекты спонтанного излучения, оиределякяцие условия в начале "генерации лазеров и т.
п., однако в ряде случаев он вполне достаточен. Эти два метода получили название полуклассического , и квантова-механического. Рассмотрим полуклассический метод. Сущность полуклассической теории лазеров заключается в следующем. !. Предполагают, что в некоторый начальный момент времени в резонаторе лазера существует электромагнитное поле, которое действует на атомы среды. При этом вычисляют согласно законам квантовой механики атомную поляризацию Р,. где Лг — число возбужденных атомов в единице объема в момент времени (.
При однородном возбуждении Р (г, () = Фр (г, (). 2. Вычисляют в соответствии с уравнениями Максвелла возбужденное этой поляризацией лазерное поле. Представим прежде всего основную группу уравнений классической электродинамики, при помощи которой может быть описан ыв любой электромагнитный процесс в среле. Ланная группе вклю чает в себя уравнения Максвелла: 4л ! 4п го(Н =- — 'б + — 0+ — рт; с г с (3,6) го(Š— — В; б)ч В = 0; Жч 0 — 4пр, с где Е и Н вЂ” напряженности электрического и магнитного полей; 0 и  — электрическая и магнитная индукции; б — плотность электрического тока; р — плотность свободных электрических зарядов; с и э — скорость света и скорость движения зарядов. определяющая ток конвенции, и так называемые материальные уравнения 0 = зЕ; (3.7) В =рН; (3.8) б =у(Е + Е„„,), (3.9) где Е„,р — напряженность электрического поля.
определяемая сторонними силами. Уравнения (3.7) — (3.9) устанавливают связь между некто. рами Н и В, Е и О, а также Ь и Б через электромагнитные пара- метры среды е, р н 7, представляющие собой соответственно магнитную и электрическую проницаемости и коэффициент элек- тропроводности среды. При отсутствии в среде конвекционных токов в уравнении (3.6) третий член в правой части исчезает.
Для диэлектрических сред, в которых работают подавляющее большинство твердотельных лазеров (у = О), прн отсутствии свободных электрических зарядов приведенная система уравнений значительно упрощается. Однако при расчете в ряде случаев удобно ввести в уравнение поля феноменологический член, со- держащий проводимость б = уЕ, позволиющий учесть затухание колебаний, возникающих из-за потерь при дифракцин, отражении и рассеянии, которые заменяются фиктиниым током проводи- мости, Формально тогда оказывается возможным сохранить урав- нения электромагнитного поля (3.6) и (3.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
