Крылов К.И., Прокопенко В.Т., Тарлыков В.А. Основы лазерной техники (1990) (1151950), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Характеристики вещества е, р и у в общем случае являются нелинейно зависящими от напряженности электрического поля, оин могут зависеть также от температуры, давления и других внешних факторов, В кристаллах они являются тензорными ве- личинами, задаваемыми тензорами различных рангов. Для наших пелей нам необходимо иметь уравнение, связываю- щее Е с макроскопической поляризацией активной среды Р. Микроскопическая поляризация среды зависит от напряженности электрического поля Р = 4птЕ, где у — восприимчивость среды, которая в общем случае зависит от напряженности электрического поля. 1г4 Диэлектрическая постоянная е связана с восприимчивостью т следующим соотношением: з = 1+Х. (3.
10) Таким образом, из (3.7) следует, что )у= Е+4лр, (3,1 !) Дифференцируя (3,6) по времени, считая, что токи конвекции отсутствуют, а также используя (3.9) при Е„,р — — 0 (3.! !) и второе нз (3„6), приходим к следующему уравнению: Г ди ~ 4лт ди 1 д~Е 4л РР При расчете лазеров полуклассическим методом обычно счи- тают, что магнитная восприимчивость вещества весьма мала и, следовательно. его намагниченностью можно пренебречь.
Тогда с учетом (3.8), (3.10), используя известное соотношение го(го( Е = (раА.йч Š— ЬЕ, (3.1 2) можно получить уравнение 4лт дц 1 д*н 4л дч' (3.13) В большинстве случаев прн расчетах можно учитывать иаме- нения Е и Р только вдоль оси резонатора, т.
е. по оси г, при этом уравнение (3.13) принимает следующий вид: дсн 4лт дв ! дсЕ 4л дч' дг' + с' д1 с' дР с' д1~' Получекное уравнение является одним из исходных, позво- ляющих определить Е, если Р задано. Как уже указывалось в п. 1.1, в лазерах взаимодействие излу- чения с активным веществом происходит внутри резонатора. Если резонатор обладает высокой добротностью, то с достаточно высо- кой точностью частота продольных мод электромагнитного поля определяется по формуле 1) = лдс/А, 1.— где Я вЂ” невозмущенная частота резонатора; с — скорость света; — длина резонатора; ц — целое число, определяющее моду.
Е дальнейшем будем учитывать, что определяющий потери член уравнения (3,14) достаточно мал и его можно рассматривать как возмущение по отношению к собственным колебаниям ре- зонатора. Незатухающие нормальные моды резонатора могут быть выражены через функции Е„ = е! л' У„ (г), где (/„(3) = 31п (ллз/Й), При наличии поляризации среды Р (з, 1) электрическое поле квазистационарных вынужденных колебаний может быть пред- ставлено в виде разложения по этим собственным функциям Е (2, 1) .††,~> А (г) (7~ (з). (3,15) с Употребление термина квазистацнонарный производятся в том смысле, гго этя колебания являются стацнонарнымн, так как ях можно разложить по нормальным типам колебаний пассивного резонатора, и квазистацнанарнымя, потому что вынужденная сила может возмущать амплитуду и резонансную частоту нормаль- ных мод. После подстановки выражения (3.15) в уравненяе (3.14) умно- жения обеих частей на У„, (з) и интегрирования по з, учитывая ортогональностн собственных функций, получнм уравнение 4ят нл (1) 1 ссА ОО чз (сР (() 11 А.(()+ —,— — +-т- " = — фс с(С с сСс с' (3.1 6) где Р„(1) — пространственная Фурье-компонента; Р (з, () — по- ляризация, определяемая формулой Р (1) = — ) Р (2, !) (! (з) пз.
о Микроскоцнческая поляризация Р (г, 1) создается всеми зоз- бужденнымя модамп, а Р (1) — есть Фурье-компонента поляри- зация Р (г, 1), которая воздействует на л-ю моду. Член, содержащий проводимость в уравнении (3,16), может быть выражен через добротность резонатора О, для моды и-го порядка: у = т/О„, где т — частота колебаяяй системы с учетом затухаяяя. Уогда уравнение (3.!6) принимает следующий внд„ При этом преобразовании предположено, что Фурье-компо- нента Р„(() квазнмонохроматична и соответствующая ей частота т близка к й„, что позволяет член, относящийся к поляризации, представать в виде тзР . Заметим, что уравнение (3.17) совпадает с известным урав- нением вынужденных колебаний гармонического осцяллятора.
Величины А, и Р, можно представить в виде: А„(() =- Е„(() соз [т„(+ (р„(()); Р„(() = С„(()соя(ч (+ р (с)( 1 Б„(() з(п(т (+~р (()1, где Е„, С„Я„и р„— медленно меняющиеся функции й Подста- вка значение А„(1)н Р (1) в уравнение (3.17), приняв, что члены 116 с дЕ,/д1 и д!2„/д! малы и сравнив коэффициенты при соз (т ! + Ч~,) и э!и (т 1 + <э ), получим: д 1 ! и т» + д (<2») !4»1 Е» = 2 О» д ! 1 — (Е)+ — — Š— — — э5 . д! п 2 З»» 2 и ° Эти уравнения и являются уравнениями самосогласованности. Перейдем теперь к следующему этапу расчета полуклассическим методом — квантово-механическому расчету зависимости поляризации Р от электрического поля, предварительно сделав след ющие замечания. ак уже указывалось, поляризация Р зависит от В и в общем случае является функционалом.
При этом вектор Р удобно представить в виде линейной н нелинейной частей: Р=Р +Р,. (3.18» Принимая во внимание (3.18), уравнение (3.!4) можно привести к следующему виду д'Е 4з д'Эии 4" д' Еда ЛЕ + — = — " + — — уŠ— аб —, (3.19) и д!' с д! и дм а где э' = с'!л'и; 넄— линейная часть показателя преломления. Уравнение представляет собой одну из наиболее общих форм записи волнового уравнения, Оно в принципе может быть использовано для описании различных задач, связанных с распространением интенсивности электромагнитного поля в среде. Обычно нслкнейиая поляризация среды задается в анде разложения по степеням поля.
Возможности описания нелинейных явлений илн решения тех или других задач определяются теми членамн ряда разложения, которые входят в Р„„. Перейдем теперь к выводу уравнения, описывающего зависимость поляризации вещества (Р) от электрического поля, которое должно затем решаться совместно с уравнением (3.19). Одной из наиболее общих форм описания процессов в веществе на основе квантовой теории является уравнение для матрицы плотности следующего вида; д! (3.20) Здесь р и Й вЂ” операторы матрицы плотности н гамильтониана , для вещества с учетом его взаимодействия с электромагнитным излучением; à — феноменологически вводимый оператор, описывающий релаксацнонные процессы з веществе.
В зависимости от того, как представлить члены, описывающие взаимодействие из" лучения с веществом, в гамильтоииане Й, уравнение (3.20) может быть использовано для расчета тех или иных явлений, в частности нелинейных, 1!7 Для решения уравнения (3.20) необходимо явным образом представить гамильтониан вещества с учетом взаимодействия. Определив оператор плотности, можно найти поляризацию вещества, входящую в волновое уравнение, используя обычное представление среднего значения физической величины с помощью матрицы пл отн ости Р = 3р(РР) (3.2() Соотношение (3.21) связывает уравнения (3.20) и (3.!9) в еди- ную систему. Решение этой системы в общем виде представляет собой слишком сложную задачу, поэтому необходимо по-возмож- ности упрощать систему, получая из нее упрощенные отдельные варианты, пригодные для описания отдельных явлений взаимо- действия, Наиболее распространенным способом упрощения уравнения (3.2!) является его замена уравнениями для поляризации и ин- версии населенности рабочих уровней усиливающей среды путем введении времен продольной (Т,) и поперечной (Т,) релаксации, определяемых соотношениями: (7 Р) — (Р Р )7Ти (3.22) (ГР) „- Р.„(Т,, (3.23) Если рассматривать только два рабочих уровня в активной среде, то для их описания необходимо использовать систему че- тырех уравнений для матричных элементов матрицы плотности: гйдри/д1 — Нвв ггрм — р!гНвь гг — (и (ри — рй)!Тб (3.24) (Д дргг/д( = — )гагггргз+ Нырм — РггНв:, гг — гйргг/Тг* '(3 23) гй дргг/д( — Ьмггргг ( Ньгъгри — РггНВзгг — 16(ггг(7 г, ( .26) ("дргг7дт = Нвэ г1Р1г — РвН..
~," — '"(Ргг Рм)'Т~ (3 27) При составлении системы уравнений (3.24) — (3.27) использо- ваны следующие предположения: Й вЂ” Йр (" Й + Йр яр + и (ьр' Ни = Е~( л™гг = сэ' Ни = Ня = 0~ Ег — Ег = )гэгм; Н„, =Н„„=0, где Йр — гамильтоннан активной среды в отсутствие взаимодей- ствия с электромагнитным излучением (иевозмущенный); Ʉ— гамнльтониан, описывающий взаимодействие электромагнитного излучения с активной средой; Н вЂ” гамильтоииан, описываю- щий релаксационные процессы э среде, задаваемой феноменоло- гическими соотношениями (3.22), (3.23).
Если предположить, что резонансное взаимодействие электро- магнитного излучения с веществом на частоте перехода между ыв рабочими уровнями является дипольным и его можно представить в виде тт'„= — йЕ, то от системы уравнений (3.24) — (3.27) можно перейти к системе уравнений для иинерсии населенностей рабочих уровней и поляризации активной среды: (3. 28) д'Р 2 дР Р ч зм»ан — + — — + —, + моР =- — ='! 81.. ( (3.29) дЕ' Т» дС ' 71 Ь Здесь и = Ф (р, — р,), инверсия населенностей уровней (Ф— концентрация активных центров); Р— поляризация среды, определяемая соотношением Р = Фр, где р = ừ𫻠— «(ыр„— поляризация отдельного активного цептра; м, ь м»« — частота рабочего (резонансного) перехода между уровнями. Как видно из уравнений (3,24) — (3.27) н (3.28), (3.29) продольное время релаксации связано с изменением энергии системы активных центров, поперечное время релаксации — с перераспределением в самой системе активяых центров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
