Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977) (1151885), страница 43
Текст из файла (страница 43)
запишем опорные сигналы в виде г"1(1) = т']/ — 1 д(1 — ч" — ицч,) соз (е,г+ 6"), (6.44) 6"=Е.+Е; ."=..+.. (6.45) В соответствии с теорией статистических решений [10] принятие гипотезы 1ь=1 нли и=О должно основываться 19» 291 на анализе отношения правдоподобия Л [У(С) [ — ~';= г! 7 о=о> (6.46) где Ь , и Ь, , — функционалы правдоподобия, равные г 1., = ехр — — ! [У(С) — а,(1)[г Й, 1 с о г 7., о=а Р—,—,~ [У(~) —.,(С)1 У . 1 ~> о (6.47) В более общем случае сигналы а; могут зависеть от несущественных параметров Х» Аг, ..., Х„, характеризуемых плотностью вероятности )о (Х» )>о, ..., Х ). При этом функционалы правдоподобия получаются в результате усреднения (6.47) по несущественным параметрам г 1 с 7'о ~' ' ~ скрал ч ) [у(С) агам> о т , ..., ~., С)[гж(р'р„Л„..., Х.)~и„й.„..., (), Если окажется, что отношение правдоподобия (6.46) превышает некоторую величину с, т, е.
Л [у(г)))с, (6.48) то принимается гипотеза !г= 1, в противном случае !г=О. При приеме информации количественной характеристикой помехоустойчивости служит вероятность ошибок приема Ре — — Р (зг) Р(аз~[ад) +Р (зг) Р(зг~зг) . (6 49) Здесь Р(зг[з,) — условная вероятность принятия решения !г=О при наличии в реализации у(г) сигнала з>(г); Р(з,!зг) — условная вероятность принятия решения !г=! при наличии в у(!) сигнала зг(С). Величина Р, зависит от правила принятия решения (6,48).
Желательно выбирать такую константу с, при которой правило (6.48) оказалось бы оптимальным. В задачах радиосвязи в качестве критерия оптимальности обычно используют критерий идеального наблюдателя, согласно которому оптимальным считается соотношение (6.48), минимизирующее (6.49). При этом оказывается, что с=Р(зг)!Р(зг), в со- 292 ответствин с чем оптимальное правило принятия решения )х=! принимает вид Р(зе) — ~ — '=с. ~„=о Р(з1) Подставляя (6.47) в (6.50) и логарифмируя полученное выражение, найдем, что оптимальный по критерию идеального наблюдателя приемник для различения двух детерминированных сигналов должен сформировать вели- чину Е= (у(1)з",(7)Ш вЂ” ( у®з",Яй (6.51) и сравнить ее с порогом Н, равным Н= — ~Е, — Е, — У,1п — '~.
! г Р(зх)1 2 ~ ' ' Р(з)~' (6.52) Решение )х=! принимается при Р)Н, )а=Π— при г <Н. Приемник для различения двух псевдослучайныхсигналов, реализующий алгоритм (6.51), может быть построен по двухканальной схеме, изображенной на рис. 6.7. Схема состоит из перемножителей, интеграто- г>Н-и-у ;<уу-,и=а Рис. б.7. Приемник для различения двух ПС сигналов. ров и пороговых устройств с порогом Н. Начало и конец интегрирования должна определить схема синхронизации.
Очевидно, что если на передающем конце привязать начало передачи символа к определенной точке последовательности, то и на приемном конце, имея дешифратор, настроенный на соответствующее состояние регистра сдвига генератора кода, нетрудно определить время начала и конца интегрирования, а также время принятия решения. Для определения помехоустойчивости приема будем вначале полагать, что колебание, поступающее на вход 293 приемника, имеет вид у(()= (()+п(1), (6.53) а сформированная приемником величина Р<Н. В этом случае будет иметь место ошибка (принимается решение )»=О, когда в действительности )»= !), вероятность кото- рой равна Ю Р»» Р(з»)Р(з»(з») Р(з») ((У(Р/8»)НР где — — прн ч(ча, » Е Ъ так как В,, = 18 (г)8 (г)»м= о 1 = — — чЕ, соз 6 ~ чЕ»г»(ч) соз д, (6.55) что справедливо для (..з 1.
И наконец, а', = »(,ч»Е»(т' ». Таким образом, плотность вероятности случайной величины Р при условии, что в колебании у(1) присутствует сигнал з», равна ! (' (Š— »Е»г»(») со» Е)» ~ (»»»Е»з!») п~ » ~»~» Аналогичным образом может быть найдена плотность вероятности случайной величины Р при условии, что 294 Здесь ((»"(Р/г!) †условн плотность вероятяости случайной величины Р цри наличии сигнала з»(1). Как следует из (6.51), Р представляет собой нормальную случайную величину, основные характеристики которой (математическое ожидание Р... и дисперсия а',,) могут быть найдены. Подставляя, в частности, в (6.51) выражение (6.53), находим Р, = чЕ,г,(.) соз 6 — В...
= чЕ,г»(ч) соз д, (6.54) в колебании у(1) присутствует сигнал зз(1): 1 Г (Š— чЕ,га(с) см В) ° ( ~*~ и "Р1 'еч (куэЕрЛ~~) ~ ч и е При этом вероятность ошибки приема, прн которой принимается решение 11=1, когда в действительности ц=О, будет равна н Р„= Р(з,)Р(а,! и,) = Р(зД ~ Я7(Р/ав)НР. Суммарная вероятность ошибок приема может быть записана как Ре= Рм+ Рю В дальнейшем ограничимся случаем, который наиболее часто встречается на практике, когда используется симметричная система двоичных сигналов и Е~=Ез=Е, Р(г~) =Р(зз) ='Ь, а следовательно, и Н=О. Тогда для суммарной ошибки приема, учитывая (6.48), (6.53), (6.54), получаем сравнительно простую формулу Р,=1 — Ф~ Ц')гг() 'и соз В г, (т) ), (6 56) где Ф~(х) — интеграл вероятности видак Ф,(х)= —, ~ ехр ~ — — Р~Й1 (6.57) д=2Е/Уо — отношение энергии, приходящейся на двоичную единицу, к спектральной плотности двухстороннего шума.
Подставляя в (6.56) значение корреляционной функции г.(т) для больших Л, получаем Р, = 1 — Ф, ~( — д) ~~1 — — ) соз В~Я. (6.58) В общем случае параметры 6 и т являются случайными величинами с плотностями вероятностей ЯГ(9) и К(т). Следовательно, и вероятность ошибочного приема Р,Я, т) будет случайной величиной. Поэтому для оценки помехоустойчивости условно-оптимального приема пелесообразно использовать не саму величину Р,(В, т), а ее статистические характеристики, например среднее значение.
Тогда к 3 М(Р,(6, г))= )' ~Р,(д, г))Р'(6)йг(г)НОВ, (6.59) — и — ! где г=~!ч,. Для оценки влияния ошибок по !9 и 2 могут быть использованы следующие характеристики: Ме (Ре(6~ 2)) = ~ Ре(д~ 2)!Р(8)!(6 прн !Р(2) =6(2 — 2) ! М,(Р,(д, 2)]= ~Р(д, 2)вт(2)!(2 при йг(6)=6(6 — 6). — 1 (6.60) Численные характеристики при оценке помехоустойчивости могут быть получены по формулам (6.59)— (6.60), если располагать значениями плотностей вероятности Я7(В) и У(2), которые могут быть найдены, когда известен приемник синхронизации и условия его работы. Будем полагать, что сигналы синхронизации в системе связи принимаются приемниками, представляющими собой либо следящий фильтр с перекрестными связями, либо отдельно ССЗ и цепь ФАП.
Для упрощения будем считать отношения сигнал/шум на выходе следящих фильтров много ббльшим единицы, что позволит принять закон распределения ошибок по 2 и 9 нормальным и считать ошибки по В и г независимыми. Тогда где а,= а,/т„. Здесь параметр 2 определяет динамическую (статическую) ошибку, а 8, — шумовую. Причем со о'л = — ~ ! Уе(/в) ~'Оа!йв = —,' ЬРщс. (6 62) Отношение спектральной плотности помехи к мощности сигнала синхронизации в ССЗ (А!'О/Р'.) удобно выразить через такое же отношение в канале выделения полезной информации, используя нормирующий коэффициент р: )У'!!1Р'в= Я~(Р8) р (6.63) В частном случае, когда отсутствует специальный сигнал синхронизации и формирование опорного сигнала 296 происходит с использованием сигнала — переносчика ин- формации, имеем р=1. С учетом (6.63) нз (6.62) полу- чим где е'в= 2 ') ~ Уф(144) )'О~!(е!= ~~,' ЬРвф.
Общие зависимости, характеризующие достоверность приема, могут быть получены, если подставить (6.61) и (6.64) в (6.59), (6.60): М„=М[р,(з, Е)) Х 4х'ехр ( — 0,1 1 )ш (0,) (е(2е)п'е, а 1 ! Х ~ ~ 1 — Ф!~~2 )) (1 — !3/)созВДХ вЂ” м 1 (в+е х(1 -Р!ет-е -э!)х Хехр[ — 2, ~еМ6, (6.66) в — в[.(' ~1 4евехр( евое)11 (р))е Х 291 и *=РТПгте)г) Составляющая опорного напряжения, формируемая схемой ФАП, имеет случайную фазу !Э, плотность вероятности которой равна [101 ()7(6) = 4е' ехр 1 — е0,1 11ш (В, ) ) '( в+хе ~( ехр[ — Р.т — Р!сову]!(у при в(6~в, (6.64) где 1!„(х) — функция Бесселя мнимого индекса и мнимого аргумента.
Значение параметров Р! и Ре удобно выразить через отношение сигнал/шум, параметры системы ФАП н величину начальной расстройкн е ртаб в)4 ргаб Ре '(Р1 1 Те рар вт (6.66) М~ = 7И )Ре(дь з))— =1 — Ф,~( ~ д~ (1 — )а1)созВ~. (6.68) Вероятность ошибочного приема при этом будет определяться значением г7, формой сигнала и величинами статических ошибок по х и 6.
При У=9=0 получим известную формулу, характеризующую потенциальную помехоустойчивость приема ортогональных сигналов Мвг 1 Ф~ ~( 2 ~7) Во всех других случаях конкретные числовые значения в оценке вероятности ошибочного приема могут быть получены численным интегрированием выражений (6.65) — (6.67). Такое интегрирование было осуществлено на ЗЦВМ при разных значениях г) и параметров Я= =рТАЕ,, и йг=рТЬР„ь 111). Параметры 77/р и Л1/р имеют определенный физический смысл и характеризуют отношение шумовой полосы канала синхронизации (в частности, ФАП н ССЗ) к шумовой полосе канала выделения информации АР,=ЧТ и, следовательно, 298 )( ()! — Ф,~( — д1 (1 — ~з))соз 91~>( % в+г х )' *г!о,г — в,.и,Вг~)гг, М,= И,(Р,(з.
6))=, ус ( )нг 1 Х ~(! — Ф [( — г)) (1 — )а))соз61~Х вЂ” ! )( ехр ~ —, 1 па (6.67) Компактные выражения для расчета достоверности приема по формулам (6.65) — (6.67) могут быть получены только в асимптотическом случае при больших отношениях сигнал/шум в канале синхронизации, когда аг (2) =6 (а — х); и (Е) = 6 (Š— 8) . Действительно, в этом случае формула (6.65) примет внд определяют степень влияния каналов синхронизации на достоверность приема. При расчетах считалось, что ССЗ имеет двухканальный дискриминатор, на выходе которого спектральная плотность шумов удваивается. На рис. 6.8 представлены кривые, полученные при численном интегрировании выражений Мя — — ~~г), гт); М =1~гу, Я,) при а=8=0. Влияние параметров тс и )тг на достоверность приема наглядно видно из зависимостей М,= ДК) и М = й)тг) при г)=сопи!, представленных на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
