Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977) (1151885), страница 40
Текст из файла (страница 40)
5.2. Число отдельных контуров, входящих в следящий фильтр, определяется номером члена полиномиального ряда, для которого проводится синтез. Рассмотрим случай, когда в установившемся режиме следящий фильтр имеет р контуров (рассчитан на отработку сигнала, описываемого р-м чпеном полинома). Такая структура следящего фильтра обеспечит одновременно оптимальную отработку (в смысле минимума среднеквадратической ошибки при заданной интегральной оценке переходного процесса) первого члена ряда в том случае, если коэффициент усиления первого контура будет равен йь Это значение коэффициента усиления легко найти из сравнения передаточной функции (5.32) при р=! с передаточной функцией оптимальной системы 1-го порядка, приведенной в табл.
5.1. Время переходного процесса для такого контура составит и бп Тпмп Зп, = 3 — = —, ьд,„, я, ' Для оптимальной отработки 2-го члена ряда следящий фильтр должен иметь два контура с коэффициентами усиления К1=йз/1,4 и Кп/К1=1,4йь Эти значения коэффициентов усиления легко получить из сравнения передаточной функции (5.32) при 9=2 с передаточной функцией 2-го порядка, приведенной в табл.
5.1. Время переходного процесса двухконтурной системы составит Т =3п =3 — — 3 —. и и пеРВ и — ап ц шп и Аналогичное рассмотрение должно быть продолжено до учета последнего р-го члена ряда. При этом, очевидно, что переход от одного контура к двум, от двух к трем, и, наконец, от (р — 1) контура к р контурам должен осуществляться с соответствующим изменением коэффици- 268 ентов усиления контуров системы, изображенной на рис. 5.2, на каждом шаге после окончания переходного процесса. Тогда общее время переходного процесса составит Тпер = Тнере + )"нер» + " + Ти Учитывая неравенства (5.39), можно полагать, что наибольший вклад в общую продолжительность переходного процесса внесет отработка последних членов ряда.
Описанная процедура перестройки параметров следящего фильтра является ступенчатой и отличается от непрерывной процедуры, присущей фильтрам Калмана. Список литературы 1. Лавенпорт В. Б., Рут ',В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. М., ИЛ, !960. 2. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического уира~аления. М., Физматгиз, 1957.
3. Первачев С. В., Валуев А. А., Чиликнн В. М. Статистическая динамика радиотехнических следящих систем. М., «Сов, радио», !1978. 4. Солодов А. !В. Линейные системы автоматического управления с переменными параметрами. М., Физматгиз, !962. 5. Солодов А. В., Петров Ф. С.
Линейные автоматические системы с переменными ~параметрами. М., «Наука», '197!. 6. Тузов Г. И. Выделение и обработка информации в допплеровоких системах, М., «Сон. радио», 1967. 7. »а11е к., ке«Ы!п Е. Вез!8п апб рег1оппапсе о1 р)газе 1осйеб с!гспиз сараЫе о1 пеаг-ор1нпшп рег(оппапсе очег а гчме гапяе о( !п рш з!8па! апд лоне 1ече1з.— «1ВЕ Тгапз.», 1985, ч. 1Т, гй 1. 8.
Ка1гпап Гс Е. А печ арргоасп 1о 1шеаг 1!Иег!пя апб ргеб!сИоп ргоЫешз.— «Л. Визге Епя. (А5МЕ Тгапз.)», 1960, ч. 82(У. 9. Ка!пап И. Е., Вмсу к. 8. 1чечг гезниз 1п Ипеаг апб ргебгс!1оп 1)геогу. — «Ваюс Епя. (А5МЕ Тгапз.)», 1961, ч. 8311. Глава 8 Анализ помехоустойчивости приема сложных сигналоВ 6.1. Исследование ошибок фильтрации псевдослучайных видеосигналов Теория марковских процессов успешно применяется не только для непосредственного синтеза нелинейных систем фильтрации, но и для анализа их помехоустойчивости. Так, марковская теория синтеза предусматривает 269 оценку ошибок фильтрации, которые входят в качестве коэффициентов в уравнения, описывающие синтезированные приемники.
Анализ ошибок фильтрации при ряде допущений уже проводился в предыдущей ~лаве. Теория марковских процессов позволяет также решать задачи оценки помехоустойчивости нелинейных систем, не связанные с задачами синтеза. Обоснование и методы применения этой теории наиболее полно изложены в монографии Р. Л. Стратоновича 1'6'1.
В. И. Тихонов в [8, 9, 1О] с успехом применил теорию марковских процессов для анализа помехоустойчивости цепей ФАП, впервые исследовав явления перескоков фазы, наступающие при малых отношениях сигнал/шум. Теория марковских процессов может быть использована для анализа помехоустойчивости ССЗ, которая совместно с целью ФАП образует корреляционный приемник ПС сигналов. Такой анализ позволяет исследовать ошибки фильтрации ССЗ при меньших ограничениях на отношение сигнал/шум, которые были приняты при синтезе.
Анализ помехоустойчивости нелинейных систем проводится с использованием уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова (3.62), который для простого марковского процесса т(г) принимает вид ' '"= — — '~В~)й <, ))+ — —,~В.<)й ~, И). (6.1) Это уравнение может быть применено для анализа схем слежения за задержкой тогда ) 101, когда время корреляции т, случайного воздействия п(1) связано с постоянной времени Т„ ССЗ неравенством т.((Т,. В большинстве случаев это неравенство выполняется, ибо иначе нельзя было бы говорить о какой-либо фильтрации ССЗ широкополосного входного процесса.
Из уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова конечные выражения для плотности вероятности ошибки могут быть получены в явном виде только для астатической нелинейной системы 1-го порядка 1т. е. для ССЗ без ФНЧ). В общем же случае получается дифференциальное уравнение в частных производных, точное решение которого найти не чдается. Поэтому для анализа нелинейных систем со сложным ФНЧ могут быть использованы приближенные методы 1141. гто Уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова позволяет получить как стационарную плотность вероятности, обозначаемую в дальнейшем (Р(т), так и нестационарную плотность вероятности ))Гг(т, 1).
Стационарная плотность вероятности )(7(т), которая может быть получена в результате решения уравнения (6.!) при дВ'~(т, 1)/И=О, позволяет оценить ошибки фильтрующей системы. При д(Рг(т, 1)/д1ФО нз решения (6.!) может быть получена нестацнонарная плотность вероятности )Рг(т, 1), которая используется для анализа работы системы в нестационарных и существенно в нелинейных режимах — режимах схватывания, срывов слежения и т. д.
В частности, используя В'г(т, 1), имеется возможность определить вероятность срыва слежения Р(1) за время Л1 и среднее время до срыва слежения т,р. При этом вероятность того, что ошибка т впервые достигает одной из границ тч. или т в момент времени 1, может быть определена через нестационарную плотность веро- ятности (6.3) Р (1) = ! — ) (Р', (с, 1) дч, (6.2) Если полагать, что после достижения одной из границ т+ или т наступит срыв слежения, то величина Р(1) будут характеризовать вероятность срыва слежения.
1. Установившаяся плотность вероятности ошибки для системы 1-го порядка. Дифференциальное уравнение ССЗ при Р,(р)= ! имеет вид 1 К, =- — "— — ~' И" (')+ "~ (1)1 Р А при Р=Н/г/1. Корреляционная функция процесса и,(1)=ч„л,(1) при двухканальном дискриминаторе равна сумме корреляционных функций на выходе этих каналов: Н„;(с) = й'„'(ч+ ъ,) + И' (ч — тз).
(6.4) Если считать процесс и Я широкополосным с временем корреляции та(тя, то Я„ (ч) = 2Й' (ч + ча)= 2Я'„ (ч — т ). (6.6) 271 Уравнение (6.3) моделируется функциональной схемой, представленной на рис. 6А. Эта схема и уравнение (6.3) точно описывают поведение ССЗ при наличии шумов.
При аналитическом анализе помехоустойчивости этой схемы удобно отказаться от кусочно-ломаного представления нормированной дискриминационной характеристики е(т) и аппроксимировать эту характеристику периодами синусоиды с нормированной амплитудой, рав. Рнс. 63. Функциональная схема ССЗ. ной 0,5, и при новой переменной ~р=г(п/2), где г= т/тн — нормированная задержка. Оценка погрешности данной аппроксимации будет сделана ниже. Тогда из уравнения (6А) получим рр = — — Ьш — — ' ~ — А, з(п р+ и, (г)1 (6.6) 4Ась2 Здесь па(г) =а~(г) (и/2) (!/т ); Ьхо — расстройка частоты УТГ относительно частоты задающего входную последовательность генератора.
Этому дифференциальному уравнению соответствует уравнение Фоккера — Планка (6.3), в котором В„должны быгь определены. Найдем эти коэффициенты. При бесконечно малом приращении времени Л( фаза ~р в уравнении (6.6) изменится на величину с+на К + — ' ~ л (и)хйа. Вследствие того, что ла(г) — широкополосный шум с нулевым средним значением, для заданного положения 272 ф приращение Л~р является гауссовой переменной со средним значением и, = Я = ('~,дв — '~,К, з(п 4 Ы и дисперсией, записываемой с учетом формулы (6.5) в виде Гт = а = (~~)' — (Я)' = Ф ."=..
- Ф с+и с+и ( ') ~ ~ п,(и)и~'ЯйпУ. с С в. ( —,) ~л.(.) (.. (6.8) Для стационарного распределения У(у)=0 н с учетом выражения (6.7) уравнение (6.1) перепишем в виде 2 д'( (г)) д (1 4 ~ ~ т) Это уравнение удобно переписать в ином виде: д '(йУ('р)) д (фр 01$1п'у) У (~р)) 0 (6,9) и <й !2В;,:О, =2К,~В.. (6.10) где Если проынтегрировать уравнение (6.9) по р, то получим линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, имеющее следующее решение: ~м= — р(~е — о, е(~.~-с, 1 р[ — ~о 1 с, — а — Ю,созх)]Их . Теперь по формулам (3.62) находим значения коэффициентов В, и Вм — '1',К,1з(п ~, (6.7) Из условия симметричности ярщ) относительно среднего значения ср и нормировки В'(~р) при малых расстройках имеем ехр ! — 2пр-.,) — ! Рх —— (6.1 1) ехр [ — (77,к) — П, сох к)йс~к — а~~ с= ! р(ск — с, м4~~ — с,! *р~ — <с, — О, соз х)] с(х сйр.
При нулевой начальной расстройке А<о=О (04=0) по- лучим С,=О, С, =,2х),(0 ), 1 йг (р) = „ехр (,—,Рчсоз,!р). Здесь |с(0~) — функция Бесселя мнимого (6.12) индекса и мнимого аргумента. При больших Р~ (что эквивалентно большим отношениям сигнал/шум) выражение (6.12) может быть упрощено. Если разложить соыр в ряд в окрестности нуля, а также заменить функцию Бесселя ее аснмптотическим выражением для больших аргументов, ограничиваясь учетом лишь первого члена, получим Ф'(у) =,, ехр( — р'Р /2).
(6.13) (2с/17,) П При сравнении уравнения (6.13) со стандартной записью нормального закона распределения нетрудно установить их полную аналогию. При этом дисперсия разности фаз равна а' = 1/01. В общем случае (без ограничений иа величину 01) дисперсия разности фаз определяется зависимостью к1 ( — 1) 74 (В,) ~9 !Р (9)хйР з +4 Д~ а~7 (р > й=! где )р" (у) определяется (6.12). В асимптотических случаях дисперсия разности фаз принимает значение ч~т — О прн 0 >) 1 и с'„~ и'/3 при 0 4 1, 274 'Ж 1)р~ (ф, го) = 8 (ф — ф). Назовем срывом сопровождения переход координаты ф из окрестности точки ф в окрестность точки ф = — и или ф+ —— +и.
Реализации случайного процесса, не доходящие до границ ф или ср~ в течение интервала времени от рр до г, будут описываться нестационарной плотностью веро- ятности %'~(ф, 1), удовлетворяющей уравнению Фокк- ра — Планка: ди',(„,0 д 1В, «р) йг, «р, г))+,.,(В,(р) йг,(р, г)). (6.14) Известно, что среднее время т,р, за которое величина достигает одной из границ, определяется формулой [61 сО ч+ т„= ~ ~ В', (ф, р) (ф (р. (6.15) ау Интегрируя уравнение (6.14) по 1 в пределах от го до оо, после подстановки значений (6.7) и (6.10) находим 2 д'' ~(871(ф, оо) — й71(9, Ре)) В =д а))рк(ф)+ +,д —— , [0~ зш ф — Щ Мр, (ф), д (6.16) 18~ Для нахождения ошибки по задержке о необходимо осуществить обратный переход к переменной з. В результате получим а', = о'„(2/к)', т. е. нормированную ошибку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
