Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977) (1151885), страница 39
Текст из файла (страница 39)
~ — „( '*) При этом отношение суммарных ошибок следящего фильтра с постоянными параметрами и самонастраивающегося фильтра равно Е' [(А'сб~/О~сА') (2А/Ас+ 1) + (А,/А)') Ес „с 4(АсбХ/01сА)М 26! Основным недостатком рассматриваемого самонастраивающего следящего фильтра является требованиенепрерывной оценки параметров А и бт, которое реально трудно выполнить. Поэтому на практике находят применение более простые квазноптимальные следящие фильтры с использованием схемы АРУ и (или) полосового ограничителя (цепочки «фильтр — ограничитель— фильтре), включаемого перед дискриминаторами. В квазиоптимальных фильтрах значение й зависит только от отношения сигнал/шум, а не от уровня сигнала. Это свойство основано на двух особенностях включаемых схем — АРУ и полосового ограничителя (б): 1.
Отношение сигнал/шум на выходе этих схем пропорционально этому же отношению на входе. 2. Суммарная мощность сигнала и шума на выходе таких схем постоянна и не зависит от отношения сигнал/шум на входе. Благодаря этим особенностям при изменении характеристик входного воздействия происходит такая трансформация параметров следящего фильтра, которая приближает его к идеальной самонастраивающейся системе.
Так, например, увеличение уровня шума на входе системы приводит к уменьшению уровня полезного сигнала на входе дискриминатора, а это, в свою очередь, вызывает уменьшение полосы пропускания следящего фильтра и уменьшение ошибок фильтрации. 5,4. Анализ характеристик следящего фильтра с программным управлением от вычислительного устройства Частотный сигнал на входе следящего фильтра при аппроксимации закона изменения допплеровской частоты полиномом й-го порядка может быть записан в виде д (() = 2„ (() + В„ (т) = с;, ы — +4„ (/).
(Б.З4) В квазиоптимальных следящих фильтрах, рассмотренных в предыдущем параграфе, учитывалось лишь изменение случайной составляющей входного сигнала К ('). 262 При учете закономерностей изменения детерминированной составляющей сигнала появляются дополнительные возможности по улучшению характеристик следяшего фильтра [6~. Будем полагать, что информация о частоте сигнала после следящего фильтра и измерителя частоты поступает на вычислительное устройство (ВУ), предназначенное для ее обработки. Очевидно, что уже после серии измерений имеется возможность определить коэффициенты полинома Ь; и при последующих измерениях использовать программное сопровождение. В дальнейшем, по мере накопления информации, коэффициенты полннома могут уточняться.
При введении программного сопровождения объекта происходит фактическое изменение состава полезного сигнала, отрабатываемого следящим фильтром, а следовательно, и уменьшаются динамические ошибки. При этом становится возможным проводить «перераспределение» ошибок, т. е. уменьшить случайную ошибку нз-за сужения полосы пропускания следящего фильтра при допустимой величине динамической ошибки.
Знание коэффициентов полинома й; позволит также осуществлять прогнозирование движения объекта на определенное время вперед. Прн программном сопровождении задача ВУ состоит в том, чтобы в результате обработки серии измерений найти экстраполирующую функцию (5.35) наиболее близкую к закону изменения частоты сигнала. Очевидно, от того, с какой точностью определена экстраполирующая функция, будет зависеть точность прогнозирования, максимальное время прогнозирования, при котором ошибка прогнозирования не выйдет за установленные границы, и наконец, степень изменения параметров следящего фильтра. Запишем дисперсию ошибки экстраполяции в точке (; следующим образом: Очевидно, что значение дисперсии будет зависеть от числа наблюдений и способа определения коэффициен- /ЛГИ! ) Й1я")/к, хд хг л' м' эр вя Рис.
5.5. Зависимость средне- квадратических ошибок в определении коэффициентов полииомз от числа измерений: у) тЪ ~РД/ч~ 2) хй~ь Ша,; ~~'~'о ~ь;1 щ„ Рис. 5.6. Зависимость средне- квадратической ошибки в определении экстраполирушщей фуикции от числа измерений. тов Ь*„от интенсивности помехи или ошибки единичного измерения, а также от времени прогнозирования. При независимых и равноточных измерениях, ошибки которых подчинены нормальному закону, оптимальным методом обработки является метод наименьших квадратов. Поэтому проведем оценку обработки результатов измерений этим методом.
На рис. 5.5 показаны зависимости среднеквадратических ошибок коэффициентов по- 264 Под временем 1, будем понимать текущее время, в которое входит продолжительность обработанного сеанса измерений Гь и время прогнозирования Для получения некоторых численных характеристик зададимся порядком полинома. Поскольку закон изменения допплеровской частоты сигнала с борта ИСЗ на ограниченных участках наблюдения может быть с хорошей точностью аппроксимирован полиномом 2-го порядка, то выражение (5.36) с учетом принятого порядкаполинома может быть переписано как и [Л", М = и[Ь", 1 + ~уО [Ье,] + й'; О[[ье,[+ 2ЬМ [Ь',Ь',) + + 2йуМ [Ь',Ь",[+ 2Р,М [Ье,Ь",!. (5.37) линома, определенных по методу наименьших квадратов при обработке т измерений с ошибкой единичного измерения о~ и началом отсчета в начале сеанса.
Как нетрудно заметить из приведенных зависимостей, с ростом числа измерений до 30 — 40 ошибки в определении коэффициентов убывают особенно быстро. На рис. 5.6 приведена зависимость всличины среднеквадратической ошибки в определении экстраполирующей функции )Г))(Х*„(т;)1 от числа измерений. Из графика видно, что ошибка в определении экстраполирующей функции наиболее быстро убывает до от=30 ... 50. При дальнейшем росте числа измерений эта ошибка убывает более медленно. Оценим возможную степень перестройки параметров следящего фильтра при программном сопровождении за счет изменения состава полезного сигнала.
Так, например, 'для контура ФЛП 2-го порядка при неизменной величине динамической ошибки справедливо выражение и,)а, = Уб,)~3 УВ ~Ь",), где Ы1 и (зв определяются выражением (5.20) и характеризуют соответственно оптимальное значение полосы пропускания фильтра без программного и с программным сопровождением. Задавшись конкретными числовыми значениями Ь|=10' Гц, о~=20 Гц, тл=40 и пользуясь кривыми на рнс. 5.5, получим ьл/Ив 60 Таким образом, при программном сопровождении возможно значительное сужение полосы пропускания следящего фильтра.
Очевидно, что по мере уточнения коэффициентов экстраполирующего полинома полоса пропускания следящего фильтра должна все больше и больше сужаться и в пределе может быть сведена к нулю. Следящие фильтры с программным управлением позволяют оптимальным образом учитывать как закономерности в изменении полезного сигнала, так и саму историю движения объекта (результаты предыдущих сеансов измерения). 5.5.
Квазиоптимальная фильтрация сигнала в переходном режиме следящего фильтра В предыдущих параграфах был проведен синтез линейных следящих фильтров Колмогорова — Винера, обеспечивающих оптимальную фильтрацию сигнала 2% н установившемся режиме. В тех же случаях, когда требуется минимизировать ошибку фильтрации не только в установившемся режиме, ион в любой момент времени после начала наблюдения, а также при нестационарных параметрах сигнала, оптимальный линейныи фильтр имеет переменные параметры. Теоретически обоснованным методом синтеза таких фильтров является метод Калмана — Бьюси [8, 91. Этот метод является эффективным и тогда, когда параметры сигнала описываются полиномами (8.8) — (5.7) со случайными коэффициентами [31.
Если полипом имеет конечное число учитываемых членов, то в результате синтеза может быть получен линейный фильтр с переменными коэффициентами, зависящими от ошиоки выделения параметра. 11о мере накопления в следящем, фильтре информации о коэффициентах полинома происходит постепенное сужение его полосы пропускания и уменьшение ошибок фильтрации. 11ри неограниченном увеличении времени наблюдения, так же как и в рассмотренном в й о.4 случае с программным управлением, полоса аропускания следящего фильтра Калмана и ошибки фильтрации стремятся к нулю.
При этом следует заметить, что в некоторых случаях точный закон изменения параметров может описываться полиномиальным рядом с большим (в пределе бесконечным) числом членов, в то время как для синтеза фильтра принимается ряд с их конечным числом. При этом полоса пропускания фильтра при неограниченном времени наблюдения будет оставаться конечной. Таким образом, если метод Калмана — Бьюси позволяет определить параметры нестационарного фильтра, обеспечивающего получение минимума среднеквадратической ошибки в любой момент времени, то рассмотренный выше метод синтеза Колмогорова — Винера дает возможность найти только параметры стационарного фильтра, оптимального для установившегося режима.
11ри этом результаты синтеза для установившегося режима двумя методами совпадают. Однако для метода Колмогорова — Винера можно также указать решение, которое позволит оптимизировать параметры следящего фильтра в переходном режиме. В результате такого решения может быть получен фильтр с переменными параметрами, обеспечивающий квазиоптимальную филь- трацию сигнала в переходном режиме (в отличие от оптимальной фильтрации Калмана — Бьюсн). Важность оптимизации параметров фильтра в переходном режиме объясняется, противоречивыми требованиями к системам фильтрации по возможности обеспечить широкие полосы схватывания и малое время переходного режима с одной стороны, и минимальные ошибки, а следовательно, н минимальное значение полосы пропускания — с другой стороны. Попытаемся связать эти требования.
Уменьшение полосы пропускания следящего фильтра при заданной спектральной плотности помехи обеспечивается увеличением числа учитываемых членов полиномиального ряда р. При этом уменьшение полосы пропускания Й„ с ростом р может быть объяснено двумя причинами: уменьшением показателя степени в формуле (5.29) и уменьшением абсолютных значений коэффициентов полиномиального ряда (см., например, абсолютные значения производных ьк"~, приведенные на рис. 5.4). При синтезе фильтров Колмогорова — Винера принимается во внимание лишь последний ц-й из учитываемых членов полиномиального ряда, что приводит к зависимости параметров фильтра только от величины й (см. (5.33) и значения коэффициентов усиления на рис. 5.3). Однако,при оптимизации параметров фильтра в переходном режиме необходим учет всех членов полиномиального ряда до ц-го включительно. При этом следящий фильтр в переходном процессе должен отрабатывать рассогласования, вызванные всеми членами ряда, а не только последним р-м членом.
Решение этой задачи может быть получено, если синтеризовать единый фильтр, который бы был рассчитан на отработку всех членов ряда, т. е. а А.,=41, А,= ф'(2, (5.38) ! А =Д ~( — 1)~ ) при заданной спектральной плотности помехи 6„ =сопзп 267 В результате расчета для каждого члена полиномиального ряда может быть определен основной параметр ййь йм !з,, ..., Й„, характеризующий полосу пропускания, и структура фильтра в целом. При этом Й ) ()п ' > Йп ) " ) Й (5.39) Структура стационарного следящего фильтра, полученная в результате синтеза для любого из сигналов (5.38), имеет вид, представленный иа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
