Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977) (1151885), страница 41
Текст из файла (страница 41)
и а'„=а' (2т„!к)- "— ошибку по задержке. Заметим, что решение стационарного уравнения Фоккера — Планка оказывается в ряде случаев недостаточным. Часто требуется знать время достижения ошибкой некоторых граничных условий, после чего наступает срыв сопровождения (синхронизации). Подобные задачи связаны с существенно нелинейным нестационарным режимом работы системы. 2. Среднее время до срыва сопровождения в ССЗ. Оценим среднее время до срыва автосопровождения в ССЗ.
Эта характеристика может быть определена из анализа нелинейного режима работы. Допустим, что первоначально схема находится в синхронном состоянии и ошибка равна ф, т. е. начальное условие запи цется в виде где ~' (р)= ] [р' (р. 1) [1 Если при ! — ~-оо все реализации ~р(!) достигнут одной из границ, то йу(~р, со) =О. Тогда выражение (6.16) принимает вид — 2 д' д — д(р — р) ~ =,— *~" (р)+,— ]Р з1 р — 0]й'М). Интегрируя это уравнение по ~р, получаем дифференциальное уравнение 2 д С1] Ь (9 9) э д Ч7е (9) +!]О) з1пр — 06] Я е (9) где Ь(р — р) — единичная функция. При учете граничных условий это уравнение имеет следующее решение: 2 [р'.
(р) = — ехр]0, совр+ 0,~];( Х ~ [С~ — Ь (х — р) ехр ] — (Р, соз х — Р.х] Нх, где ехр [ — [О сов т -[- В,тЦдт С,.—" ехр [ — (о сов т — В,т)1 дт Среднее время т,р определяется в соответствии с формулой (6.!5): ч,р 2 = — ) 2 Ж',(р)Ну=С, ] ехр]Р,созт'+ О,у!)( Х~ ехр] — (Р,',сов х+ Р,х) г[хгйр — ~ ехр (01 сов <р+ 9 + РЯ ~ехр]',— (О, созх+0 х)] охи. (6.17) Для частного случая, когда <~=О, после интегрирования при 1ФЙ из выражения (6.17) получим чар 2 2п 1 в(Р1) — 2 1 в (Р|)+81е(Р,) '2 ' ('г ( ~„()г ~о сй 2%1%~( ))ю1!(0,) (а(0,)Г ( — О~-"+(+ ,=1 асв ц г+ь+ (1 1+а ч,в — = ( — (р', (<р) сйр, В, р В, 2 ) 2 — и (6.18) где %,.= — ехр(Р,д(р) — Р,р) (С, — о(х — р) Х )( ехр [Р й (х) — Р,х) Йх, ~ехр (Р~д (т) — Рет) ит С,= ехр (Р,л (р) — Р,т) пт й к й (х) = ~ а (г) дг = ~( — ") — х'1 при О~х<м(2, ~ — ( — ) +()х) — и)'~ при л12<х~ — е, ~р = Ье/2К, = '(р.
В этой формуле слагаемые с 1=1 должны быть отброшены. При ~р~О осуществить аналогичное интегрирование по формуле (6.18) затруднительно. Прн кусочно-ломаном представлении дискриминационной характеристики, если пользоваться той же переменной ~р, получим Аналитическое интегрирование по формуле (6.18) приводит к громоздким выражениям.
По формулам (6.17) н (6.18) было проведено численное интегрирование на ЭЦВМ. Результаты численного интегрирования представлены на рис. 6.2. Из рассмотрения этого рисунка следует, что среднее время до срыва сопровождения зависит от параметров схемы-, величины шума и начальной расстройки. тч/в,/г/ ;„/в,/г/ Ю' Юе аз ВУ Вг ЮЗ Ви ВЮ ак аугр Рис. 8.2. Зависимость относительного среднего времени до срыва сопровождения от параметров схемы слежения за задержкой (а) и от начальной расстройки (б): †аппроксимац е(т) отрезками синусонаы: — — — аппроиснмация а(т) кусочно-ломаной линией.
С увеличением начальной расстройки и величины шумов среднее время до срыва сопровождения резко уменьшается. Это время для двух видов аппроксимации дискриминационной характеристики (отрезками синусоиды и кусочно-ломаной линией) является практически одинаковым при равных значениях расстройки и О(. При различных видах аппроксимации дискриминационной характеристики степень совпадения результатов вычисления стационарного распределения )р'((р), а также среднего времени до срыва сопровождения зависят не столько от вида самой дискриминационной характеристики е(и), сколько от функции д(й)) = ) т н(а)((а, поскольку эта функция входит в конечные выражения для плотностей вероятности (р'((р) и )Р(((р). Функции я(й)) при выбранных видах аппроксимации близки (максимальное расхождение порядка 10%), что и определяет хорошее совпадение результатов численного интегрирования.
278 6.2. 6шибни фильтрации псевдослучайных радиосигналов Синтезированная система фильтрации ПС сигналов с ФМ 1рис. 5.1,а) является существенно нелинейной двухконтурной системой. Анализ ошибок фильтрующей системы, проведенный в гл. 4 с соблюдением ряда ограничительных условий (большое отношение сигнал/шум, нормальность распределения ошибок, простейшие виды ФНЧ) не позволяют еще полностью судить о помехоустойчивости синтезированного приемника.
Поэтому представляется необходимым определить ошибки фильтрующей системы при более широком диапазоне изменения сигнал/шум вплоть до пороговых значений н при произвольных типах фильтров нижних частот в цепях ФдП и СС3. Решение указанных задач оказалось возможным прн применении методов статистической лннеаризации. Использование методов статистической линеаризациипредполагает знание функций распределения ошибок по 1о и т, которые будем также считать нормальными. Правда, принятие нормального закона распределения ошибок накладывает ограничение снизу на величину отношения сигнал/шум, но тем ие менее это допущение оправдано вплоть до величин, прн которых в контуре ФАП наступают перескоки фазы 1151.
Методы статистической линеаризации приводят к замене реального нелинейного звена на статистически эквивалентное линейное звено. При этом возможны следующие способы такой замены: — способ, при котором математическое ожидание и дисперсия процесса на входе и выходе соответственно линейного и нелинейного элементов одинаковы [31; — способ, прн котором между выходными процессами линейного и нелинейного элементов обеспечивается минимум среднеквадратического отклонения 131; — способ, обеспечивающий равенство коэффициентов усиления линейного и нелинейного элементов .1161.
Исследования показывают, что погрешности, связанные с различными способами замены нелинейного звена на линейное, весьма близки, и поэтому достаточно воспользоваться одним из них. Остановимся на третьем способе линеаризации, т. е. будем полагать, что эквивалентный коэффициент усиления каждою линеаризованхг9 (6.19) ного элемента равен среднему коэффициенту усилений нелинейного звена К = ~ К;(х)ц7(х)м(х. Здесь %'(х) — плотность вероятности сигнала ошибки; К,(х) — коэффициент усиления нелинейного элемента. При этом оптимальный приемник для ПС сигнала, изображенный на рнс. 5.1,а, может быть заменен схемой, представленной на рис.
5.1,б, где нелинейные элементы з)п6; г,(т); е(т); совем заменены линейными элементами с коэффициентами усиления Км', Кам, 'Кам', Км Определим коэффициенты К„для каждого контура, пользуясь формулой (6.19). Контур ФАП. К„= ~ ~„— з(п9) Ю(8)м(8= ~ соз9 ., Х г,~ . х г 1 а' 2~~' Х ехр где 6 — средняя составляющая сигнала ошибки, равная 6 = агсз(п Та', Та —— Ьа/К; Ьв — частотная расстройка. Осуществляя интегрирование, находим К„= соз 6 ехр 1м — — 21 = г ( К, емр( — аа ) ~ ехР ( — 2 ). (6.20) Таким образом, коэффициент К,м зависит от начальной расстройки ур — — Ьем/Км и шумовой ошибки системы Эквивалентный коэффициент усиления К,м фазового демодулятора контура ФАП можно выразить следующим образом: К„= ~ га(г)У(г)м(г= ~ [1 — ~ г ~) Х 2йа22 -аа — ! Х р~ - (2,,;1 ~».
где г= ч/ча. 260 Коэффициент Кве определяет амплитуду сигнала на выходе демодулятора в зависимости от ошибок ССЗ. Осуществив довольно громоздкие преобразования, най- дем К„= — — ", 2 ехр — — ехр — — ехр— — а (= ) -Ь 2 Ф (=)] "( — '.:-'Л (6.2!) 2 Г ГдЕ Ф(Х)= = ] ЕХр( — (а]С(à — ИитЕГраЛ ВЕрОятНОСтИ.
= У-.,) В частном случае при г= О будем иметь ( ! '! ааУ2Г 1 1 К„= Ф ( — = (!1 — ехр ( — —,1)1. (6.22) (ааУ2 ] Ук 5 6 45 1 15 2 г а Рис. 6.3. Зависимость Каа от средвеквадратической (а) при 2=0 и статической (б) ошибок при аа У2 = 0,5. Зависимости К,а от среднеквадратической ошибки о, и величины статической ошибки 2 приведены на рис. 6.3. Шумовая ошибка на выходе контура ФАП будет равна ее 2 ) в( )]уз(! )]'!( 28! 11 1 47д др с)25 1 616 46 йа_#_ — — Ф а Р2 Ке! — — К! Кв! К. ° Считая спектральную плотность фазового шума равномерной, получаем (6.23) где ЬР'шф= — ~ ! Уф(/е) ~*бч! ! — шумовая полоса с учетом линеаризации.
Умножим и разделим формулу (6.23) на шумовую полосу ЛР е линейной системы, работающей с нулевой начальной расстройкой. Учитывая, что произведение ЛР„,е0е характеризует отношение сигнал/шум д на выходе линейной системы, получаем (6.24) (6.25) Здесь д ~ 1 1! а"шь (6.26) — поправочный коэффициент к ошибке линейной системы.
Схема слежения за задержкой (ССЗ). В схему слежения за задержкой входят два нелинейных элемента: К„н Км. Нетрудно показать, что эквивалентный коэффициент усиления фазового демодулятора Км=Км. Эквивалентный коэффициент усиления дискриминатора К,з можно выразить следующим образом: где ! при )а) ~ !, 6(2) ~з = — 1 при ! (~а~<2, где 0'е(ч!) = 0„(м)/(К„К„)' — спектральная плотность шума с учетом влияния нелинейных элементов; 0 (м) = А с/Рпй/эф, !! спектральная плотность фазового шума без учета влияния нелинейных элементов; Уе(Р)= К.,)( Х Ре(Р))Ь+ К Ре(Р)1 — функция передачи квазилннейного ФАП: В результате интегрирования получим (6.27) Для частного случая при а=0 можно записать К„= 2Ф(1/)/2о,) — Ф( '2,'о,).
(6.28) На рис. 6.4 построены кривые по формулам (6.27) и (6.28). Из рассмотрения этих кривых следует, что Км иза 11а 45 1 1д о; Рис. 64. Зависимость Кэз от средиеквахратической (а) при Г— = О и статической (б) ошибок пРи е Р'д — О,б при о,~0,3 и У=О практически равен единице и существенно уменьшается при о,)0,3. При й)1 значение К„ может быть отрицательным, что свидетельствует о неустойчивости системы при больших динамических ошибках. Шумовую ошибку ССЗ по аналогии с предыдущим можно записать как (6.29) где Лг"'ш, и Лгшс — соответственно шумовая полоса системы с учетом линеаризации и шумовая полоса линейной системы; д~ — отношение сигнал/шум на выходе линейной ССЗ, 283 1 1 ЬРшс(се, сс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
