Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977) (1151885), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Модели следящих фильтров. Функции передачи контуров Фнз( и ССЗ в линейном приближении легко могут быть получены из (5.1), (5.2): В (О КвРв (Р) ее (О Р+ г~врв (Р) (5.4) ~с (О )с1Рх(Р) ~' (р) (О Р +х(,Р, (Р) где р=с(!Ж. Из рассмотрения (5.4) следует, что линеаризованные схемы ФАП и ССЗ описываются линейными дифференциальными уравнениями одинаковой структуры. 248 Удобным методом оптимизации и решения уравнений фильтра является метод с использованием преобразования Лапласа.
При этом функция передачи фильтра равна отношению изображения реакции этого фильтра к изображению входного сигнала, вызывающего эту реакцию: л*. (р,) кр (р,) Л„, 1Р,) =Р, + КР (р,)' (5.5) Здесь Х"„(р,) — изображение выходного процесса фильтра, равного 6" (р,) для ФАП и я (р,) для ССЗ; 1„,(р,)— изображение входного процесса ФАП или ССЗ; Р(ре)— передаточные функции фильтров нижних частот в цепях ФАП или ССЗ; ро — оператор Лапласа. Найдем описания сигналов на входах линеаризованных систем ФАП и ССЗ. Непрерывный процесс, который образуется в приемнике после снятия псевдослучайной модуляции с нормированной амплитудой сигнала, в общем случае можно записать в виде у(() =-Соз~т4+ —,тР+ — тР'+ ...
Г1 „( — )(т+ о, ]+ (~) ! с На входе ФАП в линейном приближении возможна замена этого сигнала на сигналы вида В.(() Е„+ (+ —,(+...+ —, 1 1~+Е. ((), 6 (()=~о+т(+ ~) ~ +" ° + + т(т-1)~(т-~) + Я (() (т 1)1 первый из которых будем называть фазовым сигналом, а второй — частотным. Члены 6„(г) и 6 (() представляют собой шум, вызывающий флуктуацию параметра (параметрический шум). Аналогичным образом может быть представлен закон изменения задержки на входе ССЗ; т, (г) = т„+ чф+ — М'+ ... + — т"',((т) + тд ((), (5.7) 1 1 где т (Г) — параметрический шум.
Параметрические шумы 9„(1) и т (1), входящие в (5.6) и (5.7), могут быть охарактеризованы дисперсией, выраженной через энергетические параметры сигнала и шума. Так, дисперсии фазовых флюктуаций и флуктуаций задержки, определяемые с учетом (5.3), соответственно равны (5.8) Р ЯЮ Рю'ч в 2Р, ' тР Задачей дальнейшего исследования является оптимизация приемника, изображенного на рис.
5.1,в, в зависимости от сигнала (5.6), (5.?) и шума (5.8). В дальнейшем синтез будем проводить для обобщенных сигнала 2 и спектральной плотности параметрического шума О„, конкретизируя схемы ФАП и ССЗ только при необходимости. В качестве критериев синтеза рассмотрим критерий минимума среднеквадратнческой ошибки при заданной интегральной оценке переходного процесса, критерий минимума среднеквадратической ошибки при заданном времени переходного процесса и критерий минимума среднеквадратической ошибки прн нулевых значениях динамической ошибки от первых членов полиномиального ряда. 1.
Синтез по критерию минимума среднеквадратической ошибки при заданной интегральной оценке переходного процесса Указанному критерию удовлетворяет обобщенная передаточная функция фильтрующей системы (следящего фильтра), полученная из условия минимизации функционала (5.9) Е' = в', + РЕ',„= ш)п, где 1 — множитель Лагранжа; /оэ е', = —.
~ ~У(р)о)'0(р,)йр„(5.10) — )со 00 но Ед,— — ~ 2'„~(С)Щ= -- — ~ ~1 — У(рф)('~2,(рю) ~'йрв. — )се Здесьл(0(Р,) — [спектРальнаЯ плотность, паРаметРического шума; У(р,) — синтезнруемая передаточйая функция, Х„„— динамическая ошибка; х„(р.) — закон изменения параметра (фазы, частоты, задержки); ч*„— случайная ошибка сннтезируемой системы, Е'хв — динамическая ошибка.
Критерий (5.9) отвечает задаче минимизации а'„при условии, что Е',~ сохраняет заданное значение. Минимизация функционала (5.9) приводит к формуле, определяющей обобщенную передаточную функцию системы [2,3, 6,7~1: где ) щ'(р) )а — ф'(р) чг( рр) — 1~/ я, (рц) /~+ 6(Рь). (5.13) [.]+ — символ, указывающий, что рассматриваемые передаточные функции имеют полюса только в левой полу- плоскости комплексной плоскости (условие физической осуществимости системы). Осуществим синтез передаточной функции следящего фильтра прн различных входных воздействиях.
Однако предварительно заметим следующее. Требование конечной величины интегральной квадратичной динамической ошибки равносильно требованию о том, что установившаяся погрешность слежения за заданным законом изменения входного сигнала была бы равна нулю. Следовательно, по существу речь идет о требовании нулевых динамических ошибок системы в установившемся режиме при заданной интегральной оценке переходного процесса. А поскольку виды входного воздействия и тип переходного процесса жестко связаны, то, задаваясь простейшими видами входного воздействия скачком изменения параметра, скачком скорости измерения параметра и т. д., при заданной спектральной плотности параметрического шума 0(рз) удается синтезировать передаточные функции системы, обеспечивающие слежение без постоянной ошибки.
Спектральную плотность параметрических флуктуаций 6(ра) будем полагать равной отношению дисперсии параметрических флуктуаций к энергетической полосе тракта, предшествующей следящему фильтру 6 (р,) = О,, = (а', /Ь[,ф „) (5.14) 251 элементарные дроби: 1 +Мо+ Моро+ о((о р', (Я'о — У2 Я,р,+ р',) Р'о Ро р',— У2 Я,р, +Я', (5.23) Используя метод неопределенных коэффициентов, получаем М = 1/й'о, М, = 'Р' 2 /й',.
Коэффициенты Мз и Ма нас не интересуют, так как третий член разложения (5.23) имеет полюса в правой половине плоскости и не может рассматриваться из-за определения [ 1+. Подставляя (5.23) в (5.22), окончательно получаем у(р) 1+1 2 (Ро(Яо), (5.24) 1 + У2 (Ро(Яо) + (Ро/Яо) о Таким образом, найдена оптимальная передаточная функция линеаризованной фильтрующей следящей системы.
Сравнивая (5.24) с (5.5), находим передаточную функцию ФНЧ Р(р) Я'о+ У2 Роао (5.25) Ро) Передаточная функция ФНЧ содержит интегрирующий элемент. Следовательно, схема фильтрации, включаю1цая ФНЧ с передаточной функцией (5.25), будет обладать астатизмом 2-го порядка. Приближенно передаточную функцию (5.24) можно реализовать с помощью пропорционально интегрирующего ФНЧ, изображенного на рис. 4.3, имеющего передаточную функцию Р(Ро) = (1+Тздо)/(1+Тодо). (5.26) Сравнивая (5.25) с (5.26), для больших Т, получаем Т, = К/й',; Т, = )I 2/й,.
(5.27) Таким образом, постоянные времени ФНЧ схемы фильтрации однозначно определены через коэффициент усиления К и 'параметр йз, характеризующий полосу пропускания следящей системы. Следящая система с пропорционально интегрирующим ФНЧ будет обладать свойствами систем с астатизмом 2-го порядка только в пределах памяти по скорости (времени То). Аналогично могут быть найдены опти- 253 0Й~ О ей Й С(.
$ + -~ьс Ь$ $ ~~ о ц%~, 254 аф 11 д+ Я +СН +Я СН + Ъ,Ъ, Я СН „." (О ++ ЬЯ СО йО ++ 01 + а 01 Ъ. с~ СН Я + "Ф а,д. оЪ Я + ++ а т мальные передаточные функции и для других законов изменения параметра Х„(1). В табл. 5.1 для нескольких типов входного сигнала приведены конечные выражения оптимальных переда- точных функций линеаризованных следящих систем, ФНЧ, а также полосы пропускання шумов. Как видно из этой таблицы, для входного сигнала Х ~ ~ ~ 1 ~ / ( ) е 1 1 ) оптимальной системой является система с астатизмом 9-го порядка. Ошибки следящих систем находятся по формулам (5.10) и (5.11). Определим ошибки следящих систем для рассматриваемого примера. Подставляя в уравнение (5.10) выражения (5.24), а в (5.11) выражение (5.15) и, воспользовавшись табулированными интегралами вида /ое — /со которые приведены, например, в [6), получим р (Яеа+ У2 Я'аре+'Я'а,о'е) 0а 2о! .) (я' +)'2я,р, + р',) (яа — У2я,р,+ ра,) — а со = 1,062еО„, /со М,) (Яаа+ У2 ЯаРе+Ра) (Яаа' — У2 ЯаРе+Рее) — /а (сна)' 2Р2 Яе Здесь 0„определяется для контуров ФАП и ССЗ зависи- мостями (5.15) и (5.16) соответственно.
Аналогично рас- считываются ошибки и для других случаев. Характерно то, что важнейшие характеристики синтезированной си- стемы — передаточные функции всей системы и ФНЧ, шумовая полоса и ошибки однозначно определяютсяче- рез параметр (с'с' )' (5.29) зависящий от 1 (множителя Лагранжа). Отсюда возни- кает возможность, пользуясь обобщенной передаточной 255 функцией (5.12) или передаточными функциями, сведенными в табл.
5.1, находить параметры системы, удовлетворяющие различным критериям. 2. Синтез по критерию минимума среднеквадратической ошибки при нулевых значениях динамической ошибки от 1! первых членов ряда Будем считать, что суммарная динамическая ошибка в установившемся режиме определяется в основном (и+ !) производной параметра л: Е = й„ !/яе~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
