Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977) (1151885), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В качестве типовой нелинейной системы рассмотрим систему ФАП, получившую широкое распространение в системах управления и связи. Надежность„сопровождения системой ФАП сигнала будем характеризоватьз критерием, обеспечивающим минимум числа перескоков фазы У ,„ соответственно на й 2п от точки устойчивого равновесия. Критерий минимума числа перескоков представляется эквивалентным критерию максимума вероятности того, что фазовая ошибка не превысит заданную величину 2п (!6): 1пахР,((,Е)<2т) = ш!пй(,,ы (3.86) Если заменить функцию Бесселя в (3.91) ее асимптотическим выражением для больших аргументов, а также учесть зависимости (3.90), получим л>з.= 2„Р К~а К (3.92) где ыв = Ро>'Леей(зэ „ — спектральная плотность фазового шума; йу,о,о — полоса шума.
Оптимальное значение Кв, обеспечивающее минимум А>з, прн заданных значениях Ьв и Ов, найдем, если пролиф- ференцируем (3.92) по Кв н прнрааняем производную нулю: 2 Г 1 Ьвп (3.93) Как видно нз формулы (3.93), значение А>я, зависит от расстройки Ьв и спектральной нлотностн шума 6 . Предположим, что лннеарнзоввнная система ФАП, синтезирован- ная по критерию минимума ОВМН (3.84), обеспечивает то же значе- ние Кв, а следовательно, н минимум числа перескоков прн задан- ных 6 и Ьв. Соотношение (3.84) может быть применено к системе ФАП, если реальное стационарное распределение ошибок нелиней- ной системы можно принять за гауссово. Распределение ошибок ФАП, полученные по точным формулам в работах [10, 18], при(1>>1 мало отличаются от гауссова, все более приближаясь к нему с уве- личением ()>.
А так как исходная формула (3.87) получена при >0»1, то, принимая гауссово распределение ошибок ФАП, мы не. вводим новых ограничений. Явление нормализации случайных процессов на выходе нели- нейной системы является прямым следствием прохождения случай- ного процесса после нелинейного дискриминатора через линейные элементы с постоянной времени Т>тю где ть — время корреляции процесса на входе.
Если выразить М[Е] и !)[Е] через входное воздействие и пара- метры линеаризованной системы ФАП первого порядка, то после подстановки полученных значений в (3.84) и определения экстрему- ма функционала йайдем согласующий коэффициент 1, обеспечиваю- щий минимум числа перескоков фазы Р = ВеКв /4йвт, (3.94) где Кв определяется формулой (3.93). При заданных расстройках ав н различных значениях Ов коэф- фициенты 1=7 [С> йв=сопз1] будут отображаться (рнс.
3.20) семей- ством параллельных линий. Для каждой точки этих линий при задан- ных характеристиках входного воздействия (йв, 0 ) могут быть найдены оптимальные значения Кв, и определено минимально воз- можное число перескоков по формуле (3.91). При этом имеется воз- можность найти верхнюю и нижнюю границы изменения 1. Так, определим верхнюю границу 1 ври Р>=1, когда при оптимальном коэффициенте усиления Ке „„невозможен нормальный синхронный режим работы н перескоки следу>от непрерывно, 189 Нижнюю границу определим там, где прн оптимальном Кн имеем Р,у 1, и перескоки практически не наступают (условно зту границу будем считать при Ух,— — 10-".
На рис 3.20 зти границы нанесены пунктиром. Следуем отметить, что оптимальные значения 1 при широких диапазонах изменения Лсо и Он меняются незначительно вблизи единицы от 1,35 до 0,65. При таних изменениях 1 минимум числа перескоков меняется от 1 до 1О-", т. е, с запасом охватывает все практически интересные случаи. гр" „(т-гз г 3 б зтр га я пю барр ию армс с,' Рис. 3,20. Оптимальные значения 1 для ФАП первого порядка. Столь малый диапазон изменения ! для системы первого порядка позволяет считать, что оптимальные значения Кн , определенные из условия мичнмума ОВНМ (или минимума числа перескоков), будут весьма близкими значениям Кз, определенным из условчя минимума ВНМ (3.81), для которого 1=1.
рг Рис. 3.21. Зависимость числа перескоков н средней квадратической ошибки от коэффици- ента усиления ФАП. В качестве примера, иллюстрирующего зто положение, на рис. 3.21 представлены кривые, характеризующие зависимость Ух„ от Кн прн произвольных значениях йы = 1 и бн —— '/„ пунктиром построена кривая Е', характеризующая зависимость значения ВНМ от К . Точки минимума Ух, и ВНМ расположены близко друг от друга. Нетрудно получить, что погрешность в определении Кн 160 ! е овны Ке внм [ йК Максимальная величина этой погрешности в точках верхней и нижних предельных границ не булет превышать 20тв Учитывая поиогость зависимости Л'г„ = 7(Ке) В окрестности минииума, такую погрешность в практических случаях можно считать допустимой. Если потребовать соответствие минимума функционала (3.83) минимуму числа перескоков Уг„ то окончательно можно записать ~еК е в бК вЂ” Вг 2йв ' К (3,96) е опт Как известно, простейшая цепь ФАП без фильтра нижних частот (ФНЧ) редко используется на практике.
Значительно чаще применяется ФАП с,пропорционально интегрирующим фильтром (ФАП второго порядка). Для ФАП второго порядка формулу (3.87) можно использовать ках приближенную, рассчитывая !7, и Вс из линейного режима: ~1=1("еАР~~Ф Вэ ()!уэ* где ур — относительнаЯ РасстРойка; йгве = '/зи ) ( У (/в) !'с(в — шУ- моная полоса ФАП. Для этой цепи ФАП ошибка эа счет расстройки по частоте может быть сведена к сколь угодно малой величине и основной станет ошибка за счет скорости изменения частотм в [17). Величина этой ошибки может быть определена через бгвь. Так, при коэффициенте демпфирования $=0,5 ЛВ= =в(АРз е=уэ. Среднее число перескоков фазы в единицу времени для ФАП первого порядка (без ФНЧ) при малом шуме определяется следующей зависимостью [1б): Ке Аг г„"= ~, ехр[+я71,) (угр (0,) [', Поэтому выражение (3.91) может быть представлено в виде формулы Ьгшь й(г.= —, р [ И, — 2)7,), (3.97) из которой аналогично предыдущему нетрудно получить уравнение для оптимального значения Ьг 2 Зяв йр „„,+д,ар„-д =0.
е е 161 при переходе от критерия минимум ОВНМ к критерию минимум ВНМ будет равна Анализ этого уравнения дает лишь одно значение корня, удовлет. воряющее смыслу решаемой задачи 4 г Ч~ 1) г = а ~ саз швопт — 3 а ~ 3 2 ~ (3.98) где соз Вг = ш/шпшб — 1. — 2 Нетрудно показать, что для лииеарнзованной цепи ФАП второга порядка критерий минимума ОВНМ (3.84) будет эквивалентен Ргз гб ю урга ят гррр з; рис. 3.22. Оптимальные значения 1 для ФАП второго порядка, критерию минимума числа перескоков, если коэффициент пропорцио нальности 1 найти из условия шайс'шь опт 12 (3.99) где Ьгша,опт определяется (3.98).
Коэффициенты 1=1'(Оа ш = сопз1) могут быть представлены семейством кривых, изображенных на рис. 3.22. На этом рисунке нанесены пунктирные линии, соответствующие верхней и нижней границе изменения 1. Для рассматриваемой цепи значения 1 всегда остаются вблизи 1 (1 меняется от 0,7 да 1,3). И в этом случае, так же как и для цепи ФАП первого порядка, можно считать, что значения 1 определенные нз условия минимума ОВНМ (нли минимума числа перескоков), будут весьма близки к значениям, найденным из условия минимума ВНМ. Погрешность при переходе от одного критерия к другому 1 шф ОВНМ шф ИНМ ( 212 (! — 1- 1') апшф овнм не будет превышать 10%.
Таким образом, для ФАП первого и второго порядков критерий минимума числа перескоков фазы обеспечивает такие параметры следящего фильтра, которые совпадают с параметрами, полученными для линейного класса следящих фильтров, если пользоваться критерием минимума ОВНМ, и оказываются весьма близкими параметрам, определенным па критерию минимума ВНМ. При д»1 критерий минимума ВНМ совпадает с критерием максимума апостериорной вероятности, который широко используется 162 при синтезе систем фильтрации ($3.4).
Исследоваяия показывают, что при синтезе цепей ФАП более высокого порядка указанные закономерности сохраняются. Рассмотрим вопросы выбора целесообразных критериев -синтеза систем фильтрации канала синхронизации, Как уже указывалось, и н этом случае целесообразно синтезировать систему исходя из критерии максимальной вероятности невыхода ошибки за заданные пределы. Но с другой стороны, желательно выбрать такие пара. метры канала синхронизации, чтобы на выходе канала выделения дискретной информации обеспечивалось максимальное отношение сигнал/Шум. Представляет интерес связать эти два требования.
В качестве модели канала выделения информации рассмотрим синхронный детектор, на который подается опорное напряжение с выхода ФАП. Требуется определить критерий синтеза ФАП синхронизирующего канала, обеспечивающий при заданном входном воздействии максимальное отношение сигнал/шум на выходе синхронного детектора. Будем считать полезную составляющую сигнала з(1) н шум л(1) на входе синхронного детектора независимыми.
Можно показать, что шумовой член процесса на выходе синхронного детектора не зависит от различий сигналов з(1) и з'(1), в то время как полезное слагаемое от такого различия зависит непосредственно. Изменение величины полезного слагаемого определяется изменением коэффициента передачи синхронного детектора, который, в свою очередь, зависит от ошибок цепи ФАП.
Следовательно, задача сводится к определению параметров цепи ФАП, которые обеспечат максимальную величину коэффициента передачи синхронного детектора. Эквивалентный коэффициент передачи синхронного детектора может быть определен одним из методов статистической линеаризации, в частности, методом, при котором создается равенство коэффициентов усиления линейного и нелинейного элементов: Оь К, = ) К(х) йг(х) г(х, где йг(л) — плотность вероятности сигнала ошибки; К(л) — коэффи- циент усиления синхронного детектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
