Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977) (1151885), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В линейной теории считается, что схема дискриминатора задана, и в качестве объекта синтеза рассматриваются лишь цепи сглаживания. Однако утверждение, что измеряемый параметр и помеха являются аддитивно смешанными (3.50) случайными стационарными процессами, при решении задач выделения и обработки радиосигналов в общем случае несправедливо. Как правило, измеряемые параметры Х (1) являются сложными функциями от сигнала, и поэтому правильнее было бы рассматривать входное колебание в виде ИИ)=а[~ ~(!)!+л((), (3.51) (3.52) где а=1, 2, ..., й. Интересующая нас информация может содержаться не во всех компонентах вектора Л(1), а лишь в части из них.
Замена входного колебания вида (3.51) на (3.50) оказывается допустимой при значительном превышении сигнала над помехой (д»!). Однако даже при д»1 применение аппарата линейной теории синтеза обходит вопрос о построении радиотехнического дискриминатора и структуры измерителя в целом, и позволяет лишь оптимизировать сглаживающие цепи. Между тем можно считать; что при получении конечного результата оптимизация дискриминатора и структура всей системы не менее важны, чем оптимизация сглаживающих фильтров, получаемых на основе линейной теории.
Этот вопрос становится еше более важным при выделении сложных сигналов, где дискриминаторы определяют существеннейшие особенности систем фильтрации. !42 где г [1, Х (г)] — полезный сигнал, зависящий от времени и параметров А(1), изменяющихся во времени. При этом А'(1) = [А„(1)), (3.54) 143 Указанные соображения пс позволяют ш>лучить полный синтез радиотехнических устройств обраооткп сложных сигналов с применением только хорошо разработанной линейной теории. Однако очевидно, что результаты линейной теории по синтезу сглаживающих цепей могут быть полезными. Из статистических методов синтеза, базирующихся па нелинейной теории, можно выделить два, отличающихся видом аппроксимации закона распределения.
При гауссовой аппроксимации различают гауссову теорию, при марковской аппроксимации — марковску>о теорию нелинейного синтеза. Гауссова теория синтеза была развита И. А, Большаковым и В. Г. Репиным (3, 4). Марковская теория синтеза была предложена и развита Р. Л. Стратоновнчем в 1959 — 1960 гг. (9]. Метод синтеза на основе гауссовой теории требует обеспечения следующих допущений: передаваемые сообщения гауссовы, они медленно меняются по сравненшо с сопутствующими или паразитными параметрами сигнала.
Эта теория синтеза рассматривает отдельно нелинейное и линейное преобразования, поэтому ее было бы естественно назвать квазилинейной, так как она является в отличие от марковской теории приближенной, асимптотической, т. е. использующей методы малого или большого параметра. В роли большого параметра выступает соответствующим образом подобранное отношение сигнал/шум.
Синтез линейной части фильтрующих устройств в этой теории осуществляется на основе линейных интегральных уравнений фильтрации, решение которых подчас затруднено. Марковская теория свободна от этих ограничений, что и послужило причиной ее выбора для синтеза приемников сложных сигналов в гл. 4. В этой теории пред.полагается, что Х(1) — многокомпонентный процесс Маркова, каждая составляющая которого, подчинена априорному стохастическому уравнению вида Х,=Ь„(а)+и (1), а=1,2,...,д, (3.53) где и (1) — белый шум с нулевым средним значением и дельта-функцией корреляции и„(1) и (Г+~) ='/,У„зб(а).
Предполагается также, что в (3.51) шум п(1) является белым с известной спектральной плотностью У« Располагая априорными данными, записанными в уравнении (3.53), необходимо решить оптимальным образом, какая реализация самого сигнала э[1, Л(1)1 или его параметра А„(1) содержится в принятом колебании. При этом уравнение оптимальной фильтрации относительно апостериорной плотности распределения 1Р"(Х, 1) определяется следующим дифференциальным уравнением в частных производных: где функции Р(Х, 1) и Г в случае у(1) =з(1)+п(1) при определении интегралов в симметризованном виде равны г' (Х, 1) = (1/У,) [2у (1) з ф, «) — з' (Ф, Х)), (3.56) Р = ~ Р (Х, 1) Ч7 (Х, 1) сй.
(3.57) Оптимальное устройство согласно уравнению (3.55) должно формировать апостериорную вероятность Я7(Х, 1) и находить значение Х«(1), соответствующее максимуму апостериорной вероятности. Основное уравнение (3.55) оптимальной нелинейной фильтрации определяет полную процедуру выделения параметров сигнала на фоне белого шума.
Однако практически это уравнение использовать весьма сложно, что объясняется прежде всего сложностью описания апостериорной плотности в моменты переходного процесса в системе фильтрации и при малых отношениях сигнал/шум. Поэтому ограничимся решением задачи в гауссовом приближении.
Это решение базируется на предположении, что при большом времени наблюдения и при выполнении условия д»1 на 144 выходе фильтрующей системы апостериорная плотность вероятности будет нормальной: рр!1рр=„р~с,— ' ~, !р — р р!р — р',!]. а, г=! (3.58) В этом случае решение задачи существенно упрощается, так как апостериорная плотность вероятности (3.58) для каждого из параметров А, определяется средним значением и шириной апостериорного распределения. Применимость гауссова приближения при решении задач синтеза приемников более подробно анализируется ниже ($ 3.7). Подставляя выражение (3.58) в (3.55), после некоторых преобразований получаем систему уравнений оптимальной нелинейной фильтрации в гауссовом приближении (8, 9, 12, !5) Л „=Ь„(Л')+~)'К„,'"дЛ,* '), ~,.=),2,...,д, (3.59) да,(л) да„(лр) 1 М 2 Р'Р+~~ ~ ! дЛ* + Р! дЛ )+ 1=! 1=!ь=! Здесь Х"„ — оценочное значение компоненты А„, ʄ— второй центральный момент многомерного гауссова распределения, аппроксимирующего апостериорное распределение вероятностей.
Система фильтрации, построенная в соответствии с уравнениями (3.59), (3.60), обеспечивает получение оценочных значений (математических ожиданий) всех компонент случайного процесса Л(1) с минимально возможными дисперсиями. При этом уравнения (3.59) определяют структуру оптимальной нелинейной фильтрации, а уравнения (3.60) — ее ошибки, характеризуемые дисперсиями оценки компонент Л. процесса Л(1) К =ор рра ар и взаимными дисперсиями оценки компонент Л„, и А — К, . 1Π— 751 145 Системы уравнений (359), (3.60) связаны друг с дру. гом. Так, функции К„., определяемые из уравнений (3.60), входят в уравнения (3.59), выполняя роль переменных коэффициентов.
Полезно подчеркнуть, что определяемая уравнениями (3.59), (3.60) система фильтрации обеспечивает получение оценочных значений всех компонент вектора Х(Г) как несущих, так и не несущих информации (информационных и неинформационных параметров сигнала). Это объясняется тем, что точность оценки информационных параметров сигнала будет тем выше, чем с большей точностью известны все его другие параметры. Например, точность оценки частоты при известной фазе сигнала будет выше точности оценки частоты при неизвестной фазе. Следовательно, образованные в процессе работы системы фильтрации оценки неинформацнонных параметров сигнала позволяют уменьшить их первоначальную неопределенность и повысить точность оценки информационных параметров.
Уравнения (3.59) — (3.60) определяют систему, осуществляющую фильтрацию сигнала в любой момент времени (как в переходном, так и в установившемся режиме), При этом система фильтрации является нестационарной. Однако во многих случаях достаточно синтезировать систему, осуществляющую оптимальную фильтрацию сигнала только в установившемся режиме. При этом можно принять К =О, что упрощает уравнения фильтрации и структуру оптимальной системы. В настоящее время такой подход наиболее развит, Действительно, если интересоваться только значениями К.
в установившемся (стационарном) состоянии, в котором значения К„флуктуируют вокруг некоторого среднего значения К"„, то в уравнении (3.60) возможен переход от К„ к К". [81. Одновременно следует перейти к средним значениям производных от функции Р (Х,Г). В результате общее уравнение (3.60) может быть преобразовано к виду 146 Однако даже при ряде допущений (большое отношение сигнал/шум, выполнение равенства К. = О) задача синтеза оптимальной нелинейной системы при сложных априорных законах изменения информационных параметров встречает определенные математические трудности.
Такие трудности встречаются, когда отдельные компоненты А„(() процесса Х(1) изменяются по сложному полиномиальному закону с числом учитываемых членов более двух. В этом смысле представляется целесообразным применять марковскую теорию синтеза при сравнительно простых априорных законах изменения информационных параметров, определяя при этом структуру системы фильтрации с учетом типа используемого сигнала, вид дискриминатора, а также сглаживающие цепи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
