Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977) (1151885), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Приняв распределение вероятностей ошибки на выходе конту- ра ФАП за нормальное, запишем (е — й) 1 К,= совы, ~ зехр —, г(В, (2гзте) ~ з в — СО где ы — средняя составляющая сигнала ошибки, равная 41 = агсз1п ув1 ув — — бы1КвКэ, Осуществив интегрирование, находим К, =. 1' 1 — 1' ехр( — ззе/2). Будем рассматривать в дальнейшем только цепь ФАП первого порядка, для которой ЬР ь =- Кв,'2, н получим оптимальное значение Кв,„„ обеспечивающее максимальное значение К, прн заданных бн 11* 163 н йы, С этой целью найдем дК /дА' . В результате будем иметь уравнение третьего порядка, дающее следующее решение: Ки овт = (4бы'Фэ) (3.100) Формула (3.100) совпадает со значением коэффициента усиления ФАП, обеспечивающего минимум ВНМ. Следовательно, для получения максимального отношения сигнал)шум на выходе канала выделения информации необходимо, чтобы параметры следящего фильтра синхронизации отвечали критерию минимума ВНМ.
Таким образом, показано, что критерий минимума числа перескоков фазы точно отвечает критерию минимума обобщенного второго начального момента линеаризованной системы ФАП, если согласующий коэффициент 1 находится из условий минимума числа перескоков. Оба. названных критерия оказались близкими критерию минимума ВНМ, которому отвечает развитая теория синтеза, Переход от синтеза линейной системы по критерию ВНМ к синтезу системы по критерию ОВНМ приводит лишь к незначительной коррекции параметров системы фильтрации, оставляя структуру системы неизменной.
3.7. О применимости геуссовой аппроксимации и задачах нелинейного синтеза и анализа систем фильтрации Метод гауссовой аппроксимации апостериорной плотности вероятности в марковской теории нелинейной фильтрации является наиболее конструктивным, так как позволяет при решении задач синтеза систем фильтрации свести интегродпфференциальное стохастическое уравнение для фильтруемых параметров сигнала (З.о5) к эквивалентной системе дифференциальных уравнений для числовых параметров (3.59), (3.60). Эта система уравнений определяет алгоритм обработки сигналов асимптотически оптимальный при большой апостериорной точности.
Метод гауссовой аппроксимации апостериорной плотности вероятности широко используется также при оценках помехоустойчивости нелинейных приемников на основе линейной теории при статистической линеаризации нелинейных элементов. Этот метод был использован также в предыдущем параграфе при сопоставлении критериев синтеза нелинейных систем. Во всех указанных задачах возникает законный вопрос о правомерности гауссовой аппроксимации апосте- 164 риорной плотности вероятности. Ответ иа этот вопрос для некоторых типовых классов сигналов и задач по их фильтрации дан в !20].
В (20] проанализирован однокомпонентный марковский процесс, который подчиняется априорному стохастическому уравнению (3.67). Для однокомпонентного априорного марковского процесса апостериорная плотность распределения отвечает уравнению, которое следует из (3.55): д г1 йт(Л,Д)= дЛе ~ 2 ЛГХ(Р(Л, 1) ~— д ]й(Л) йг (Л, Г)] + (Р(Л, !) — У] йг(Л. 1), (3.101) где 1г (Л, Г) = — (2у (!) з(Х, 1) — з'(Л, 1)], 1 о (3Л02) 7=7(Л, !)= ~ Р(Л, 1)(Р(Л, 1)дЛ.
В формуле (3.102) стохастические интегралы понимаются в снмметрнзованном смысле. При решении задачи оптимальной нелинейной фильтрации в гауссовом приближении уравнению (3.101) соответствуют уравнения для среднего значения Х* и дисперсии Кчю следующие из (3.59) и (3.60): Л* = й (Ле) + К„„(!) д„' [у (!) — з(Х', !)], (3.103) дз(Л*, !) 1 дй(Л*), д'Р (Л*, !) Кеч (О = 2 й(7 + 2 дй Кач (1) + К еа (1) дЛз где Л* = $ Л (!) и ° (Л, !) дЛ. со Кеч = ~ (Л-Л*) йт*(Л, 1) аЛ. В (12] сформулированы четыре условия, при одновременном выполнении которых апостериорная плотность вероятности Ф" (Х,Г) является гауссовой: 1) априорная плотность вероятности процесса Х(1) гауссова; 2) коэффициент диффузии г(х/2, входящий в (3.104), не зависит от Х; 3) коэффициент сноса (параметр Ь(Х)), входящий в (3.103). зависит от Х(1) линейно, т, е. Й(Х, 1) =де(Г)+й,(!)Х(С); 165 4) функция г"(Л, 1) зависит от Л(Г) линейно и нвадратнтчо: 1 Р (Л, 1) =Г,(!)+?, (!) Л(Г)+ — Г,(1) Л'(Г).
При выполнении всех перечисленных условий уравнения гауссова приближения (3.103) и (3.104) точно следуют из уравнения (3.101). Однако при решении практических задач фильтрации в статистической радиотехнике и радиофизике встречаются случаи, когда условия 1, 3, 4 не выполняются. Для иллюстрации этого положения рассмотрим два типовых примера задач, определенных в 63.5. Рассмотрим задачи, когда подлежащий выделению параметр представляет собой флухтуирующую фазу или амплитуду. Пример 1.
Пусть полезный сигнал з(!) имеет вид з(!)=Асз1п(ю,!+ 8,(Г)), (3.105) где 9„(!) =тЛ(!). Здесь Аю еза, пг — постоянные величины, известные априорно; Л(Г) — передаваемое сообщение, определенное стохастическим дифференциальным уравнением (3,67). Для этого сигнала из (3.102) получим г(л, !) = (2/Яо)у(г)з(л', г!. (3.106) Для функции г"(Л, 1), определяемой (3.106), не выполняется условие 4, а следовательно, плотность вероятности не является гауссовой. Пример 2.
Пусть полезный сигнал имеет вид (3.107) з (!) = А (Г) соз маг, где А(!) — амплитуда сигнала описывается стохастичесним уравнением (3.71). В этом случае имеет место. процесс Релея (151. Из анализа (3,71) следует, что для рассматриваемого сигнала не выполняются условия 1 и 3, а следовательно, плотность вероятности )р'(Л, г) не является гауссовой. Для сигналов (3.105) и (3.!07) в работе (20) была доказана применимость гауссовой аппроксимации в задачах нелинейного синтеза путем сопоставления результатов строгого решения на ЭЦВМуравнения (3.!О1) с результатами приближенного решения по уравнениям (3.103) и (3.104).
Показано, что для больших отношений сигнал/шум (с)) 1) апостериорное распределение близко к гауссовой кривой, а при малых отношениях (с?( 1) практически повторяет априорное распределение. При различных законах априорного распределения меняется предельное отношение сигнал/шум, при котором правомерна гауссова аппроксимация.
Если в качестве критерия применимости метода гауссовой аппроксимации принять величину относительного отклонения ?э-дисперсий ошибок фильтрации при точном и приближенном 166 способах решений, то при А=30% для примера 1 гауссова аппроксимация применима при д)3, а для примеРа 2 пРи !7»)50. Рассмотренные примеры показывают, что метод гауссовой аппроксимации справедлив при таких отношениях сигнал/шум, при которых ошибки фильтрации еще превышают ошибки, допустимые при решении практических задач. Список литературы 1. Андреев Н.
И. Корреляционная система статистически оптимальных систем. №., «Наука», !1966. 2. Бенджамин. Последние достижения в технике генерировапия и обработки радиолокационных сигналом. — «Зарубежная радиоэлектроника», 1965, № 7, 3. Большаков И. А., Репин В. Г.~Вопросы нелинейной фильтрации. — «Автоматика и телемеханика», !961, т. 22, № 4. 4. Вопросы статистической теории радиолокации. Под ред. Г. П. Тартакомскоп», т. 1, П. !М., «Соа. радио», 1963, !964. Автл П.
А. Бакут, И. А. Большаков, Б. ~М. Герасимов, А. А. Курикша, В. Г. Репин, Г. П. Тартаковский,1В.!Б Широков. 5. Кап. Характеристика цифрового согласованного фильтра при неизвестной помехе. — «Зарубежная радиоэлектроника», 1972, № !1 6. Клюев Н. И. ,'Информационные основы передачи сообщений. М., «Сов. радио», 1966. 7. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. И., Госэнергоиздат,!1956. 8. Кульман Н.
К., Стратонович Р. Л. Фа»оная автопоксгройка частоты и оптимальное выделение параметров узкополосного сигнала с непостоянной частотой. — «Радиотехннка и электроника», '1964, т, 9, № 1. 9. Стратонович Р. Л. К теооии оптимальной нелинейной фильтрации случайных функций. — «Теория вероятностей и ее примене.ние», 1959, № 2. 1О.'Стратонааич Р.
Л. Избранные вопросы флуктуаций в радиотехнике. »М., «Сов. радио»,~!961. Г1. Стратонович Р. Л. Применение теопии процессов Маркова для оптимальной фильтрации сигналов. — «Радиотехника и электро. нина». !969, т. б, №,1'!. 12. Стратонович Р. Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления, МГУ, 1966. '13. Первачев С.
В., Валуев А, А., Чиликин В. М. Статистическая динамика радиотехнкчеоких следящих систем. «М., аСов. радио», 1973. !и. Теплов Н. Л. Анализ оптимальных систем приема дискретных сигналов на фоне сосредоточенных (по спектру или по времени) помех. — «Электросвязь», 1968, № !2. '16. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника, 64., «Сов, радио», 1967: !6. Тузов Г. И. К выбору критерия оптимальности следящих фильтров, — «Радиотехника и электроника», 1972, т.
!18, № 4. 167 '17. !уэов Г. И. Выделение и обработка .информации в допплеровоких системах. М., аСов. радио», 1967. '!6. Циник И. А., Шевчук М. А. Элементы дискретно-аналоговых устройств оптимальной обработки сигналов. — «Радиотехника», 1969, г. 24, № 11. '19. Ярлыков М. С. Фильтрация оптимальными радиоприемниками сообщения с типовым энергетическим спектром.— «Радиотехника и электроника», 1970, г.,!6, № 6. 00.
Ярлыков М. С., Миронов М. А. О применимости гауссоной аппроксимации в марковской теории нелинейной фильтрации.— «Радиотехнпка,и электроника»,~1972, т. 16, № 1'1. 21. Ярлыков М. С. Нелинейная фильтрация оптимальными радиоприемниками узкополосного сообщения. — «Радиотехника и электроника», 1971, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
