Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977) (1151885), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Сообщение Х(/) можно рассматривать как напряжение на ни|ходе последовательно соединенных (без учета взаимной реакции) фильтра нижних частот с постоянной времени /?~С~=1/ф~ и фильтра верхних частот с постоянной времени ЯаСз= !/ре, когда на входе действует белый шум л„(/) (рис. 3.18, в).
Энергетический спектр и корреляционная функция случайного процесса Х(/), определяемого согласно (3.?4), имеют внд 6. В радиосвязи интересен случай, когда передаваемое сообщение узкополосное. Под узкополосным сообщением понимается процесс, энергетический спектр которого сосредоточен около центральной частоты в узкой полосе. В качестве модели передаваемого сообщения возьмем случайный процесс Л(1), описываемый системой дифференциальных уравнений [20] Л= Л, Л = — 2а,Х, — х'Л+х'и„(1), (3.77) где и„(1) определяется (3.68): а, и х — постоянные коэффициенты.
Сообщение Л(1) можно сформировать пропусканием белого шума н„(1) через колебательный контур (рис. 3.18, г) с параметрами х' = 1/ЕС, а, = Я/2Е. При этом случайный процесс Л, (1) пропорционален току Л, (г)=!(г)/С. Энергетический спектр и корреляционная функция случайного процесса Л(1), определяемого (3.77), имеют вид У1м~ 6 (а) 2 1(в — х) ~ + а~ ] [(а + х) ~ + а~,) Э (3.78) К„=а', ехр[ — а,]а[](соаха+(а /х)з(их[а]), хн а'„ а', = У1х'/8а,.
7. Когда на вход приемника поступают полезный сиг> нал з[Л(1), 1], станционная помеха т)[Л„(й), 1] и белый шум, то колебание у(1) можно представить так: д(1)=/;[з(2,1)ю Ч(Лл,Е), 1]+н(1), (3.79) + где /( ) — некоторая функция сигнала и помехи; ˄— многомерный случайный вектор, представляющий собой марковский процесс. Один частный случай фильтрации сигнала из аддитивной смеси /[з(Х,1), т)(Лп,1),1]=з(2~1)+Ч(Ла~1), (3.80) рассматривается в $ 4.9. Описанные модели сообщений охватывают не все реальные процессы в системах связи и управления, однако рассмотренные модели являются теми компонентами, )64 комбинируя которые можно существенно расширить класс аппроксимируемых процессов.
3.6. Критерии оптимальности систем фильтрации Параметры оптимальной системы, полученные в результате синтеза, определяются критерием оптимальности. Задача выбора критерия оптимальности, как правило, не может быть решена только средствами математики, а определяется из анализа условий работы системы и ее назначения. При этом часто оказывается что система, оптимальная по одному критерию, оказывается квазиоптимальной и по ряду других близких критериев.
Поэтому при решении многих практических задач можно указать целую группу целесообразных критериев с более или менее развитой теорией. Выбор конкретного критерия синтеза будет определяться степенью развитости теории синтеза и ее сложностью. В этом случае представляется важным знать связь между различными критериями оптимальности (161. При синтезе систем синхронизации, радиолокационных систем и т. д.
часто исходят из требования обеспечить наивысшую точность оценки параметров сигнала и реже из требования обеспечить выполнение сложных вероятностных или информационных показателей. К точностным критериям с наиболее развитой теорией относится критерий, обеспечивающий минимум второго начального момента ошибки (ВНМ) Хх (М(Е))'+ДЕ)=ппп„(3,81) где М(Е) и,0(Е) — соответственно математическое ожидание и дисперсия ошибки Е, который в литературе называется еще критерием минимума средней квадратичной ошибки.
Частным случаем этого критерия при М1Е)=О является критерий минимума дисперсии ошибки 1З(Е) = пп'и. (3.82) Однако при синтезе систем фильтрации, работающих при малых отношениях сигнал/шум, представляется более целесообразным использовать вероятностный критерий, обеспечивающий максимум вероятности того, что ошибка Е не превысит заданной величины, при превы- 155 шенин которой возможен срыв фильтрации сигнала или появление аномальной ошибки при оценке параметров. Рассмотрим целесообразность использования сложных вероятностных критериев при оценке параметров движения (дальности и скорости), анализируя типовой измерительный канал, изображенный на рис.
3.19, При оценке дальности такой канал включает автодальномер и устройство измерения и усреднения дальности, Рис. 3.19. Типовой канал измерения параметров движения. При синтезе автодальномера с использованием сложного вероятностного критерия, обеспечивающего максимальную вероятность того, что ошибка не выйдет за пределы дискриминационной характеристики, будет получена система с наибольшим средним временем до срыва слежения, а при использовании точностных критериев — система с наивысшей точностью слежения.
Какой же из перечисленных критериев следует выбирать? Если учесть, что срыв слежения, как правило, приводит к невосполнимым потерям измерительной информации, а текущие ошибки автодальномера как флуктуационные, так и динамические можно уменьшить при дальнейшей обработке оценочных значений в устройстве измерения и усреднения, то целесообразно использовать именно сложный вероятностный критерий синтеза. При измерении скорости в качестве следящего фильтра может быть использован контур фазовой автоподстройки частоты (ФАП) 117]. Точностные критерии синтеза контура ФАП позволят обеспечить наименьшие текущие ошибки слежения, а вероятностные критерии способны обеспечить минимум числа перескоков фазы на й 2п от точки устойчивого равновесия, где й=1, 2, 3, ...
Текущие ошибки в оценке фазы нетрудно уменьшить соответствующим усреднением измерений. Следует иметь в виду, что квазиоптимальные методы усреднения при полиномиальном законе изменения частоты, приведенные в (17), позволяют существенно увеличить время усреднения и тем самым 156 уменьшить флуктуационные ошибки следящего фильтра. В то же время перескоки фазы вызывают аномальные ошибки в измерении скорости и являются главной причиной срыва слежения, что приводит в конечном итоге к невосполнимой потере информации.
Синтез следящих фильтров для каналов синхронизации радиолиний передачи информации также целесообразно осуществлять, используя вероятностные критерии, так как это обеспечивает уменыпение числа срывов слежения в каналах синхронизации и тем самым увеличивает надежность передачи информации. Следует учитывать, что в настоящее время наиболее разработаны методы синтеза оптимальной системы по простейшим точностным критериям: минимуму дисперсии, минимуму второго начального момента и другим аналогичным критериям. Поэтому при разработке методов синтеза оптимальной системы по более сложным критериям выгодно использовать уже имеющиеся результаты; целесообразно, если это возможно, выбор оптимальной системы по сложному критерию свести к выбору оптимальной системы по простому критерию.
Эта идея была использована Н. И. Андреевым [Ц при синтезе линейных систем по сложным критериям, Эта же идея будет рассматриваться и нами при разработке крияериев оптимальности для некоторых типов нелинейных систем. Для линейных систем Н. И. Андреевым показано, что критерий максимальной вероятности невыхода ошибки за заданные пределы, если закон распределения ошибки полностью определяется первыми двумя моментами, эквивалентен экстремуму функции от математического ожидания и дисперсии Р4(Е), 1)(Е)]=ех(гешшп. (3.83) Наибольший интерес представляют следующие част. ные случаи экстремума функционала (3.83): Ха=РоМ(ЕЯ+Х)(Е) =ппп, (3.84) Х'=(ьМ(Е) +й(Е) =ппп, (3.85) где 1 и 1~ — согласующие множители, величины которых будут определены в дальнейшем: первый из них по аналогии с (3.8!) назовем критерием минимума обобщенного второго начального момента ошибки (ОВНМ). Поскольку следящие фильтры радиотехнических каналов, 157 Покажем, что для систем ФАП первого и второго порядков, обладающей нелинейностью типа синусоидальной волны, критерий (3.86) эквивалентен критериям (3.84) и (3.85) для линеаризованной системы.
Среднее число перескоков фазы в единицу времени для ФАП первого порядка (без ФНЧ) при малом шуме определяется следующей зависимостью [18): ке Агаь =4з — ехр(+иВ,)(7 (В ) !' (3.87) ' 1 где Ка — коэффициент усиления ФАП; уо (з) — функции Бесселя мнимого индекса и мнимого аргумента; В,=гК 7В„. (3.88) Вз= ( 4 ) Рв ~ гв(ч) Ж1 Аь — амплитуда сигнала; гь — нормированная корреляционная функция шума; Р— мощность шума; бю =В ум (3.90) кв (Ью — начальная расстройка эталонного и управляемого генератора ФАП). Поскольку при наличии начальной расстройки число перескоков в сторону расстройки всегда существенно больше, чем в противоположную сторону, то формулу (3.87) можно переписать в виде к, р( 77,) з» 4зЧЗ ! гпь ( (3.91) 1 (3.89) 188 как правило, нелинейны, то желательно распространить сложные вероятностные критерии синтеза на типовые нелинейные радиотехнические системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
