Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Иной альтернативой может быть построение сигнатурных ансамблей, для которых существуют вычислительно-эффективные итерационные варианты многопользовательских алгоритмов (60, 61]. ~~~288 Глава 7. Ансамбли широкополосных сиенатур 7.2.3. Последовательности, лежащие на границе Велча хо = / У(1)ЯД1) Ж. о (7.25) Когда сигналы всех абонентов идеально синхронизированы, а их число Х не превосходит Х, ортогонзльные сигнатуры вновь оказываются оптимальным вариантом ансамбля, поскольку для них однопользовательский алгоритм идентичен МП многопользовательскому. Очевидно, что при этом ПМД отсутствуют, так что игнорирование сигналов сторонних пользователей не нарушает оптимальности приемника.
В противоположность этому ситуация перенасьпцения (Х ) Х) представляет особый интерес, поскольку при этом все сигнатуры не могут быть ортогональными и, значит, присутствие ПМД неизбежно. Возвращаясь к (7.11), представим наблюдаемую комплексную огибающую как где Ю(Ф) — комплексная огибающая шума, а обазначение Ь' = (Ь~1, Ь~,..., Ь~ ) снова (как и в (4.8)) символизирует истинный (т.
е. не известный приемной стороне) профиль данных, передаваемых Х пользователями, с целью отличия его от гипотетического профиля Ь = (Ьь Ьэ,...,Ьк), предполагаемого в процессе решения. После подстановки комплексной огибающей в (7.25) т й(Ьь) = 2Ьь~Е+ 2Е~ О~рц, + / М(1)Я(1) сИ, 1=1 о (7.26) т где Е = (1/2) )' ~Яь(~) ~~ с(1 — энергия сигнатуры на один символ передао ваемых данных (полагаемая одинаковой для всех пользователей), а ри = = р~~ — как всегда, коэффициент корреляции комплексных огибающих 1-й и Ь-й сигнатур. Второе слагаемое в (7.26) представляет собой ПМД, Рассмотрим теперь иной сценарий, в котором жесткое априорное ограничение на сложность приемника исключает применение любых его вариантов, кроме простейшего, т.
е. однопользовательского или стандартного (см. 8 4.1). Тогда решение Ьь о текущем символе данных Ьо й-го пользователя определяется исключительно корреляцией (7.8), как если бы единственной помехой на входе приемника был только АБГШ. Без потери общности можно считать, что текущий символ принимается на интервале [О, Т], и положить задержку ть и фазу ~рь в (7.8) нулевыми: т Уб. С б .б 99 б 9 ССРА .. 2«~91 К К ТБС = ~ 2 )рй1(~ = ппп, (7.28) й=11=1 не отличающегося от сформулированного, так как сумма в (7.28) больше, чем в (7.27), на константу Х (рйй = 1).
Для величины ТЯС известна фундаментальная нижняя граница Велча [62). Для ее вывода выразим коэффициенты корреляции в терминах элементов ай; кодовых последовательностей сигнатур. Полагая все векторы кодовых последовательностей ай = (айе,ай 1,...,ай к 1) нормированными так, что Оай((з = Ф, из (7.19) имеем (ай, а1) 1 ж -я ~- ""1'' «С=в (Бй, Й1) (Бй, 81) 2Е 2//ай/! .
!~а1ЦЕО т.е. взаимную помеху, создаваемую сторонними сигналами на выходе приемника, «настроенного» на й-й пользовательский сигнал. Каждое слагэемое Ь1 9р1й в сумме по 1 (т. е. вклад 1-го пользовательского сигнэла в суммарную ПМД) случайно вследствие случайности абонентских символов данных Ь91. Для любой ФМ данными справедливо равенство !Ь~1! = 1, и средняя мощность (дисперсия) каждого вклада в ПМД составляет 4Еэ/р1й(з. Естественно, все пользователи передают свои данные независимо, так что полная средняя мощность (дисперсия) ПМД Р1й на выходе 1«-го приемника есть сумма по 1 мощностей индивидуальных вкладов К Р1й = 4Е~ ~ ~~рй1~~. 1=1 9й Поскольку эта величина есть мощность ПМД для приемника единственного (й-го) пользователя, для оценки суммарной ПМД в приемниках всех пользователей просуммируем ее по й, придя к результату К К К Р1 = »,Р1й = 4Е~ ~ ~~~~ ~рй1~ .
(7.27) й=1 й=11=1 1~й Как теперь видно, адекватным критерием оптимизации синхронных сигнатур при постулировании однопользовательского приемника оказывается минимизация полной мощности ПМД или, эквивалентно, суммы квадратов корреляций в (7.27). Безусловно, опять при К ( Х ортогонэльные сигнатуры, не создавая ПМД, обращают зту сумму в нуль, так что только перенасьпценные ансамбли нужда»ется в специальном исследовании в плане минимизации (7.27). Только что введенный критерий в литературе обычно фигурирует в виде критерия минимума полного квадратпа коррелл»1ии («о«а1 ядиагеЫ согге1айоп — ТЯС) ~~( 290 Глава 7.
Ансамбли и»иронополосных сигнатур Подстановка этого в (7.28) приводит к результату К КЖ вЂ” 1Ж вЂ” 1 ТБС = — ~~~ ~ ~~ ~~~' аь;а«*«а» .а«д = в=ы=1 »=0 3=0 Ж вЂ” 1К-1 К К К вЂ” 1Ж вЂ” 1 К вЂ” ~~', а»,Фаьд ~~', Ц,ъа«д = э ~~' ~~',~' аь,«Щд «=0 У=О ««=Л «=1»=0 3=0 Ь=-1 Поскольку все слагаемые по «, у неотрицательны, отбрасывание тех из них, которые отвечают различным «, у, не может увеличить значения суммы, так что К вЂ” 1/К ТЯС > — з ~ ~~~~ ~аь,;~ =о 0=1 (7.29) Чтобы прийти к окончательному результату, можно прибегнуть к неравенству Шварца, однако этот шаг становится ненужным для наиболее интересного случая ФМ сигнатур. Для любого сРМ алфавита ~аь;~ = 1, что завершает вывод границы Велча: 2 ТЯС > —., '>" В отсутствие перенасьпцения (К ( М) непосредственно из (7.28) вытекает более точная граница, учитывающая, что при ортогональных сигнатурах все слагаемые в (7.28) с разными к, 1 исчезают, и значение ТБС достигает минимума, равного К.
Комбинация этих результатов обобщает границу Велча в виде К, К<Я, К'/Я, К > А1. (7.30) Очевидно, что ансамбль последовательностей, достигающий границы (7.30) (послсдоватсльностс«», лежащих на границе Велча), является наилучшим возможным для однопользовательского приемника по критерию полной мощности ПМД. На самом деле оптимальность ансамблей, лежащих на границе Велча, этим далеко не исчерпывается, поскольку параллельно с минимизацией ПМД они максимизируют шенноновскую пропускную способность СЭМА каналов с АБГШ и гауссовским входом, причем последнее ограничение утрачивает силу при достаточно малом отношении сигнал — шум на входе приемника.
Детали доказательства этого замечательного факта можно найти в [631. Поскольку ТБС содержит Х равных единице квадратов корреляций векторов с самими собой, разность ТЯС вЂ” К включает лишь «вредные» корреляции между несовпадающими векторами, значения которых тре- РР. Р * б Р рр д р РРдбб Ррбд)) буется иметь как можно меньшими. Всего ТЕС охватывает К(К вЂ” 1) подобных пар векторов, так что средний квадрат корреляции рб на одну пару — ТЕС вЂ” К К(К вЂ” 1) ' откуда совместно с (7.30) следует нижняя граница для этого параметра О, К <д"91, рз> К вЂ” Ф (7.31) 19'(К вЂ” 1) ' Из способа получения границы (7.30) можно вывести и простой рецепт построения ансамблей, лежащих на границе Велча.
Разумеется, отдельное обсуждение требуется только для нетривиального случая перенасыще- ния, поскольку способы формирования ортогонзльных последовательно- стей уже рассматривались неоднократно. Начнем с того, что равенство в (7.29) является достаточным (и, конечно, необходимым) условием равен- ства в (7.30), или, возвращаясь к рассуждению, предшествующему (7.29), последовательности, для которых К аь,;а1 — — О, 1 фу, (7.32) Ь=1 являются последовательностями, лежащими на границе Велча. Предполо- жим, что все векторы а1, ар,..., ак кодовых последовательностей сигна- тур записаны как столбцы д"91 х К сигнатурной матрипы А: О1,0 02,0 ° ° ° ОК,О а13 аэ,1 ...
аК 1 А=(а1 аз ... ак ~ = а1,К 1 аЗ,К 1 ... аК,191 1 тогда (7.32) означает не что иное, как ортогональность строк матрицы А. Следовательно, для синтеза перенасьпценного (К > 19') ансамбля последовательностей, удовлетворя1ощих границе Велча, требуется лишь построить 191 х К матрицу А сортогональными строками. Так как размерность строк подобной матрицы превышает их число, нет никаких принципиальных препятствий к существованию подобной матрицы. При этом искомые последовательности есть просто столбпы матрицы А.
Теперь можно оценить предельное (в пренебрежении шумом) отношение сигнал — помеха для перенасыщенного ансамбля, лежащего на границе Велча. Общую мощность ПМД Р1 можно найти из (7.27), (7.28) как Р1 = = 4Е~(ТЕС вЂ” К). Поскольку эта величина получена суммированием помех по всем К однопользовательским приемникам, средняя выходная мощность ПМД в пересчете на один приемник Р1ь = Р1 (Х. Полезный (т.
е. со- ~~~292 Глава 7. Аисалвбли широкополосных сизиатрр здаваемый Й-й сигнатурой) эффект на выходе Й-го приемника, выраженный первым слагаемым в (7.26), имеет мощность 4Ез (в предположении ФМ данными), так что в силу (7.30) предельное отношение сигнал — помеха по мощности (при оценке мощности ПМД ее средним значением) составит (7.33) Пример 7.4. Построим бинарный ансамбль из К = 16 последовательностей длины М = 14, лежащий на границе Велча. Для этого воспользуемся матрипей Н в из примера 7.3 и отбросим в ней две произвольно выбранные (например, последние) строки. Шестнадцать столбцов полученной таким образом матрицы А являются в точности искомыми сигнатурами длины 14, лежащими на границе Велча.
Значение То С построенного ансамбля достигает минимума, установленного (7.30): Т$С = Ка/М = 256,~14. Предельное отношение сигнал — помеха на один приемник (при оценке мощности ПМД ее средним значением) согласно (7,33) д, = ж~(К- Р7) = 7, Если принадлежность символов ФМ алфавиту является единственным ограничением на сигнатурные кодовые последовательности, описанный алгоритм конструирования ансамблей, лежащих на границе Велча, универсален. В качестве строк матрицы А, например, всегда могут быть взяты К циклически сдвинутых копий последовательности Чу длины К. Как показано в подпараграфе 6.11.2, коды Чу существуют при любой длине, и все их различные циклические сдвиги ортогональны.
С другой стороны, если сигнатуры должны быть бинарными (аь; = х1), ортогонзльность всех М строк матрицы А при Л > 2 возможна только для К, кратного четырем (см. задачу 7.14). Из этого следует, что для бинарных сигнатур с .К ф 0 шос1 4 граница Велча (7.30) не является точной. С выводом более точных границ для этого случая можно познакомиться в [64, 65) (см. также задачу 7.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
