Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 61
Текст из файла (страница 61)
В итоге имеем всего К = 7 + 2 = 2" + 1 сигнатур. На практике традиционно бинарные (х1) т-последовательности формируются сначала в алфавите (О, 1), т. е. над полем СГ(2) с помощью РСЛОС, с последующим отображением элементов СР(2) на вещественную пару (хЦ (см, ~ 6.6 и 6.7). Поэтому удобна реализация правила (7.52) с помощью двух и-разрядных РСЛОС, генерирующих (0,1) предшественники (и;') и (и,') последовательностей (и;) и (и;).
Тогда, взамен умножения (и;) на (и; ь), можно просуммировать предшественники по модулю 2 с последующим отображением результата на множество (~1): и;и; ь = ( — 1)~'~Я' — ~. Рис. 7.18 иллюстрирует практическое воплощение конструкции Голда в описанном варианте. Оценим корреляционный пик ансамбля Голда, начав с вычисления корреляций между первыми Ь последовательностями ь-1 ь-1 Вр,ы(т) = ~ аи;ад; ~ = ~~ и;иг~ и; ~и~ ~ — т. г=в к=в Очевидно, что поскольку случай т = 0 шод Х и к = ( отвечает основному лепестку АКФ к-й сигнатуры, анализировать следует только ситуации, когда приведенные равенства одновременно не выполняются.
При этом, однако, либо обе последовательности и;и; ~, и и; ли; ~ „, представляют собой некоторые новые сдвиги исходных т-последовательностел (и;), (и;), либо одна из них есть сдвинутая исходная т-последовательность, ~~~306 Глава 7. Ансамбли гаирононолосньп сигнатур а другая состоит из одних единиц. В первом случае получаем ВКФ исходных т-последовательностей (и;), (иг), принимающую только три значения из (7.50) или (7.51), тогда как во втором — боковые лепестки ненормированной АКФ одной из последовательностей (и11, (и,), т. е.
— 1. .ь) ,.1, 1ас<Ь +гл1 Рис. 7.18. Генерирование носледовательностей Голда Вычислим теперь ВКФ последовательностей (аьб), й = 1,2,...,Ь и (а1;),1= А+1; 2 Ртах (7.53) с последним приближением, отвечающим большой длине Ь » 1. Как видно, при любом нечетном значении памяти п ансамбли сигнатур Голда Ь-1 Лр,м(т) = ~~~ и;иг-тиг-а. 1=О Если т = 0 шос1 Х, то и;и;,„= 1, и значение ВКФ есть просто постоянная составляющая (и;), т.е.
— 1, В противном случае, и;и; = иг а для некоторого в, приводя к ВКФ исходных т-последовательностей, удовлетворяющей (7.50) или (7.51). То же самое можно дословно повторить в отношении ВКФ последовательностей (ае;), а = 1,2,...,Ь и (а11), 1=А+2. наконец, поскольку сигнатурами (аь+11) и (аь г;) являются сами исходные гп-последовательности, их ВКФ подчиняется (7.50) или (7.51), тогда как АКФ имеют ненормированные боковые лепестки, равные — 1. Объединяя полученные результаты, можно видеть, что корреляционный пик (7.44) в ансамбле Голда определяется максимальным по модулю значением ВКФ в равенствах (7.50) или (7.51). После нормировки к длине Ь приходим к итогу ( 2(ь~-11~-1) пфОшос12, —, гг~Ошод2, 2 (2Ъ'(7 + 1) + 1)' 4 „ 2 ш„1 4 52 п = 2 пюс1 4 Ь' 7.». Пр р ...* рр .
б*й»»»д асимптотически (Х» 1) близки к нижней границе Сидельникова (7.46), т.е. оптимальны, тогда как при четном п, не кратном четырем, их проигрыш в уровне р „по отношению к граничному составляет около 3 дБ . Пример 7.6. Построим последовательности Голда длины 7 = 2» — 1 = 7. Ансамбль столь малой длины практически бесполезен, однако помогает в иллюстрации идеи конструкции. Начнем с бинарной (О, Ц т-последовательности, впервые встретившейся в примере 6.4: (и;') = (1,0, О, 1,0, 1, Ц. Индекс децимации 6 = 3 удовлетворяет ограничению пункта 2.
В результате децимации имеем последовательность (е,') = (1,1,1,0,1,0,0). Посимвольное суммирование (и[) и (о;') по модулю два дает последовательность (О, 1,1,1,1,1, Ц, которая после отображения на алфавит (ж Ц превращается в первую последовательность Голда (ак«) = (+ — — — — — — ). Сдвиг (е,') вправо на одну позицию и сложение по модулю 2 с (и«) дает последовательность (1, 1, 1, О, О, О, Ц, которы после перехода к символам (жЦ становится второй последовательностью Голда ( — — — +++ — ). Еще пять последовательностей Голда получаются в результате дальнейших сдвигов (е[), сложения по модулю 2 с (и[) и изменения символов на (жЦ.
Совместно с (и',.) и (и,'.), преобразованными к алфавиту (жЦ, имеем К = 2» + 1 = 9 последовательностей всего. Проверка оптимыьности корреляционного пика в этом простейшем случае не имеет особого смысла, поскольку заранее ясно, что при 7, = 7 ненормированная периодическая корреляция [кроме основного лепестка АКФ) не может превзойти значения 5, предсказываемого соотношением [7.53).
Построению ансамблей Голда ббльших длин и проверке их оптимальности посвящена задача 7.40. Ансамбли Голда пользуются исключительной популярностью в современных СГ«МА системах. Достаточно сказать, что они используются в глобальной спутниковой навигационной системе СРЯ для разделения сигналов космических аппаратов, в ЗС системе мобильной связи стандарта ЪУСРМА для скремблирования СОМА кодов и т.п. 7.5.3. Множества Касами и их расширения Конструкция Касами в принципиальном плане весьма близка к описанной выше конструкции Голда. Выполним децимацию бинарной (~Ц т-последовательности (пч) четной памяти п = 26 с индексом «1 = 2ь + 1.
Очевидно, это значение д не взаимно просто с периодом Ь = 2" — 1 = = (2~ — Ц(2" + Ц последовательности (и;), так что полученная последовательность (п;) = (ии) имеет период, являющийся делителем Ь. Можно показать, что если (и») иницивлизирована так, что ио = — 1, то «короткая» последовательность (е») окажется бинарной пмпоследователъностью »В случае т« = 0 юоб 4 ансамбль Голда также существует с тем же значением корреляционного пика, как в при о = 2 щось 4, во с числом последовательностей ва одну меньше [67, 70]. ~~( 308 Глава 7. Аксая«бли широкополосных сизнатаур периода Х» — — 2" — 1, ненормированная периодическая ВКФ которой с (и;) на периоде Х принимает лишь два значения (9, 70, 73]: Ври„(т) = ~2" — 1 = Ы/Х+1 — 1, тп = 0,1,...,Х вЂ” 1.
(7.54) Теперь Х1 сигнатур Касами длины Х образуются посимвольным перемножением исходной «длинной» т-последовательности (и;) с Х1 различными циклическими копиями (п»), а еще одной сигнатурой служит сама длинная последовательность, так что: аь,; = и»»и; ю к = 1,2,...,Хм аь,+ц; = и;, »' =...,-1,0,1,... Таким образом, имеется всего Х = Ь1+ 1 = 2" = ~/Х+ 1 таких сигнатур периода Х. Разумеется, вновь умножение (~1) последовательностей (и«), (и«) можно выполнить как сложение по модулю 2 их (О, 1) предшественников (и';), (и«), но в отличие от ансамбля Голда для формирования короткой последовательности (о«) требуется РСЛОС вдвое меньшей длины Ь = и/2 (см. рис. 7.19).
Рис. 7.19. Генерирование последовательностей Касамн Доказательство минимаксных свойств ансамбля Касами (7.5б) проводится на основе (7.54) подобно тому, как это сделано выше для множества Голда, и оставляется читателю в качестве упражнения (задача 7.28). Сравнение двух бинарных ансамблей показывает значительный (6 дБ) выигрыш множеств Касами в уровне корреляционного пика у ансамблей Голда той же длины в обмен на значительно меньшее (в (Х + 2)/~/Х з 1 = »/Х раз) число сигнатурз Х. Для бинарных сигнатур границы (7.4б), (7.46) можно несколько уточнить, учтя, что вх ненормированные корреляции принимают только целочисленные значения.
В результате выясняется, что как ансамбли Голда с нечетной памятью, так н ансамбли Касамн строго (а не только аснмптотнческн) оптимальны по уровню корреляционного пика среди всех бинарных снгнатурных ансамблей [б7, 70). 7.«.П««» .. Вр . б 6 369)) Пример 7.7. Построим ансамбль Касамн длины Х = 2« — 1 (Ь = 2, К = = ~/Х+1 = 4). Начнем с бинарной (О, Ц т-последовательностн (и«) длины Х = = 24 — 1 = 15 на основе примитивного полинома /(х) = х«+ х+1 с начальным состоянием РСЛОС ие —— 1, и( —— и~~ — — и~~ —— О.
Имеем (и', ) = (1, О, О, О, 1, О, О, 1, 1, О, 1, О, 1,1, Ц. Децимация этой последовательности с индексом д = 2" + 1 = 5 дает т-последовательность периода три (»л) = (1,0, 1, 1,0, 1, 1, О, 1, 1, О, 1, 1, О, Ц. Сумма по модулю 2 последовательности (и«) с тремя сдвинутыми копиями (е;') после перехода к алфавиту (хЦ образует первые три сигнатуры Касами: (ац«) = (++ + + +), (ох«) = (+ — + — ++ — + — — ++++ — ), (аа;) = (- --++ -+++++ — -++). Четвертой служит (и,') после преобразования символов в (хЦ: (а;) — ( +++ ++ + + Непосредственная проверка показывает, что все нх ненормированные ВКФ, как и боковые лепестки ненормированных АКФ первых трех последовательностей, принимают лишь значения — 5 и З,так что р~ = 1/9 в полном соответствии с (7.56). Построение произвольных множеств Касамн и проверка их корреляционных свойств с использованием средств МАТ1 АВ являются предметом задачи 7.41.
Сравнительно малое число сигнатур в обсуждаемом множестве придает особую важность найденному Б. 7К. Камвлетдиновым элегантному методу почти двукратного расширения ансамбля Касами без ухудшения корреляционного пика [74). Пусть п кратно 4: п = 4г, где г целое, так что Х = 2~" — 1 = 16" — 1 = 15,255,4095,... При такой длине Х в дополнение к множеству Касами существует и другой бинарный ансамбль того же объема ь/Х+ 1, называемый ансамблем бент-последовательностей [9, 75] и обладающий тем же минимаксным свойством р~~ = (АХ+ 1+ Цз/Ьз — 1/Х.
В самых общих чертах построение бент-последовательностей вновь состоит в посимвольном перемножении двух исходных последовательностей: «длинной» т-последовательности периода Ь = 24" — 1 и некоторой специальной погледовательности, базирующейся на так называемой бент-функции. Детали такой конструкции достаточно замысловаты и здесь не обсуждаются, однако принципиальным является то, что нормированная ВКФ любой бент-последовательности с любой из первых Х» последовательностей Касами (7.55) по абсолютной величине не превосходит корреляционного пика ансамблей Касами и бент-последовательностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
