Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 59
Текст из файла (страница 59)
множества случайных сигнатур оптимальны при числе пользователей порядка десяти и более. Чрезвычайно важно подчеркнуть, что модуляция данными случайных последовательностей, удовлетворяющих (7.3'?) (т.е. умно- 7.Р.Пд*б Р б Р Рдд Р д ПРСР~РРдд 1 Ь-1 абр,;а~ 1 — — — ~ аь;аь;, — — рьь(т). (7.41) 9=0 Точно так жер трактуя две детерминированные сигнатуры как реализации двух совместно-эргодических случайных последовательностей (ал,;) и (а1 р), полУчим Равенство межДУ коРРелЯЦионным моментом ДвУх случайных последовательностей и взаимной корреляционной функцией двух детерминированных сигнатур: 1Ь вЂ” 1 ап ррп1*1 = — ~ ~аь;а1 1 — — ры(гп).
(7.42) 7=0 Из сравнения (7.41), (7.42) с (7.37) следует критерий псевдослучайности: в качестве сигнатур в асинхронном варианте С1РМА с прямым расширением в идеале должен использоваться такой ансамбль детерминированных последовательностей, все представители которого имеют нулевую постоянную составляющую, идеальную периодическую АКФ и нулевую периодическую ВКФ: ап,О = 0; рьь(т) = О, т ~ 0 шо91 Ь; ры(т) = О, я, 1 = 1,2,..., К. (7.43) жение последовательностей на независимые от них символы данных), не нарушит (7.37) (см. задачу 7.20). Таким образом, наличие или отсутствие модуляции данными не влияет на проделанные выкладки, как и на их итог (7.40) и вывод об оптимальности случайного сигнатурного ансамбля.
Может показаться, что равенства (7.37) дают однозначную инструкцию в части синтеза сигнатурного ансамбля. Однако на деле сигнатуры не могут быть случайными, поскольку приемник должен априори знать закон модуляции сигнатуры с тем, чтобы сформировать необходимую опору в корреляторе. Чтобы реализовать свойства случайности (7.37) на базе детерминированных правил кодирования, необходимы так называемые псевдослучайные последовательности.
Возьмем детерминированную ФМ сигнатуру периода Ь и будем интерпретировать ее как одну из равновероятных реализаций стационарной зргодической случайной последовательности (аь;) (дискретного по времени случайного процесса) (14, 66]. Другими реализациями могут быть все циклические сдвиги исходной последовательности. Тогда, благодаря свойству эргодичности, каждая реализация исчерпывающе представляет весь случайный процесс, и статистическое усреднение ~аь,;) по всем реализациям эквивалентно усреднению по времени, т. е.
оценке математического ожидания ОП р и корреляционного момента аь;а~1 через постоянную составляюшую и периодическую АКФ детерминированной сигнатуры соответственно: 1 Ь-1 аЬ,О оь = — ~ап,. = — ' Р 7 Р 9=0 ~~~298 Глава 7. Ансамбли широкополосных сигнатур В отсутствие ограыичений на взаимный временной сдвиг (возможно любое т из диапазона О, 1,..., Ь вЂ” 1) последние требования явно противоречат друг другу, делая ансамбли этого сорта гипотетическими для любого конечного значения Г. Действительно (см. также задачу 7.21) условия идеальности АКФ и нулевой ВКФ означают не что иное, как нулевой уровень корреляции между всеми циклическими сдвигами К последовательностей периода Х., т.
е. нулевой средний квадрат нежелательных корреляций Рз. Как следует из (7.34), (7.35), последнее требование невыполнимо при К > 2, и, более того, при большом числе пользователей р2 не может опуститься ниже 1/Ь. Заключеыие, к которому мы только что пришли, объясняет, почему в течение многих лет столь значительные усилия затрачивались на поиски ансамблей, характеристики которых с ростом длины Ь приближаются к упомянутым гипотетическим. Весьма популярным критерием такого приближения является минимаксный, ориентирующий синтез ансамбля на минимизацию максимальной из нежелательных корреляций.
Определим корреляционный пик ртах как наибольшую из двух величин: максимального бокового лепестка АКФ среди всех последовательностей р" и максимального пика ВКФ среди всех пар последовательностей р'„, Ртах = шах~ртах~ Ртах)~ Ртах = шах [Рр,йй(гп)[~ Ротах = шах [Рр,И(гп)! й,тфо й,цт й~~ (7.44) Кстествеыно, для идеализированного гипотетического ансамбля р как и рх, равно нулю, для любого же реального ансамбля р может служить адекватной мерой его близости к идеализированному. Поскольку максимальное значение любой величины никогда не меньше среднего, р~„а ) Рз, так что границы Велча (7.34), (7.35) переносятся и на корреляционный пик: Ртах ~ ~К7 К вЂ” 1 1 (7.45) где последнее приближение по-прежнему отвечает случаю К » 1.
При дополнительных ограничениях на ФМ алфавит граница (7.45) может оказаться достаточно слабой, особенно при числе последовательыостей, соизмеримом с Х. В частности, для достаточно больших ансамблей бинарных (т1) последовательностей точнее оказывается граница Сидельникова [67, 68) 2 Ь |пах (7.46) Ансамбли, для которых р, достигает предела, предсказываемого (7.45)-.(7.46), разумеется, оптимальны по критерию корреляционного пи- 74.А .
б ррг р ~ д 299)) ка, и иногда называются минимаксными. Некоторые их классы рассма- триваются в 3 7.5. 7.4. Ансамбль сигнатур с временным сдвигом для асинхронного кодового разделения Во многих реальных ситуациях взаимные временные сдвиги асинхронных сигнатур могут изменяться только в ограниченных пределах.
Конечность диапазона рассеяния по задержке в многолучевом канале с одной стороны и геометрия системы — с другой являются наиболее типичными факторами, устанавливающими подобные пределы. Для конкретности рассмотрим канал «вверх» сотовой системы мобильной связи. Местная шкала времени активного мобильного терминала синхронизирована с принятым сигналом БС и имеет задержку г1 относительно шкалы БС, определяемую расстоянием Р между БС и МС как т1 — — Р/с, где с — скорость света. Так как сигнал, посланный конкретной МС, достигает приемника БС с той же самой задержкой, то общее запаздывание сигнала МС, дошедшего до БС, относительно временнбй шкалы БС составляет тз = 2т1 = 2Р/с. Пусть Х1„, — максимальное расстояние, при котором интенсивность принимаемого сигнала достаточна для приемника БС.
Из-за сильного затухания при распространении (см. 3 4.6) сигналы, приходящие с расстояний, значительно превьппающих радиус соты Р„можно игнорировать, так что в первом приближении Р„, Р,. Тогда наибольшее значение тз есть 2Р,/с, и сигналы МС, расположенных от БС на расстоянии от нуля до Р„достигают БС с задержками в диапазоне [0,2Р,/с~. Кроме того, на входе приемника БС присутствуют многолучевые копии сигналов, так что общая ширина г,„окна, охватывающего задержки всех многолучевых сигналов, увеличивается на величину диапазона рассеяния по задержке г,ц: г„, = 2Р,/с+ тл„где тд,, может быть максимизировано по всем возможным местоположениям МС.
Рис. 7.16 иллюстрирует зти рассуждения. Сигнал некоторой МС может оказаться как опережающим, так и задержанным по отношению к сигналу какой-то другой МС, и все лучевые копии сигнала любой МС приемник БС в потенциале может считать полезными (реализуя, к примеру, алгоритм ПАКЕ, см. 3 3.7). Тем самым, полный диапазон вероятных взаимных временных сдвигов между любыми многолучевыми копиями любых сигнатур оказывается равным [ гпьдх~ гщдх]~ где 7зпдх = 2Рс/с+ 'Глв. Разумеется, в подобных обстоятельствах следует заботиться о соблюдении второго и третьего условий (7.43) лишь в пределах диапазона действительно возможных значений т. Обозначим через тп,~„число чи- ~~( 300 Глава 7.
Ансамбли гаирононолоснмв сигнатрр пов (с округлением до не меньшего целого) в пределах задержки тп, „: т = ~тгав„(Ь1 Тогда диапазон значений гп, где необходимо выполнение тРебований (7.43), выРазитсл как ( — тп1вх,гггпмх). Возьмем тепеРь последовательность (а1,Д периода Л > К(гп + 1) и используем в качестве К сигнатур ее копии, циклически сдвинутые по отношению друг к другу на тгплх + 1 позиций: аь;=а1; гь ц(,„+ц, 1=1,2,...,К; т'=...,— 1,0,1,..., как показано на рис. 7.17.
Очевидно, все корреляции между образованными таким образом сигнатурами будут выражены через АКФ р11(т) исходной последовательности (а11). Формальное вычисление ВКФ й-й и 1-й сигнатур приводит к следующему результату: 1 1и-1 1 гг-1 РМ(™) = ~~' ггила14-ог = ~Л' а14 — ~и — ~дга, г-ца11-(г-ц(гн,„<-ц — гн~ г=о 1=0 т. е. Ргг1( ) Р11[( )( ) ). (7.47) Рис. 7.1В. Вариации времени прихода сигнала МС на БС 1-я сигнв1у 2-я сигна 3-я сигна Рис. 7.17.
Сигнатуры, образованные сдвигом исходной последовательности Предположим теперь, что исходная последовательность 1а1;) обладает либо идеальной, либо достаточно хорошей периодической АКФ рм(т). 7.б. б б бб б Ы .б 36~) Первый вариант возможен, скажем, для троичных или многофззных последовательностей (см. 8 6.11), тогда как любая минимаксная бинарная последовательность (см. 8 6.7 и 6.9) дает пример второго.
Идея состоит в том, чтобы иметь все боковые лепестки рм(т) пренебрежимо малыми. Тогда при ~т~ < т,, аргумент в квадратных скобках (7.47) обращается в нуль по модулю Ь только в случае и = 1 и т = 0 пюс1 Ь, отвечающем основному лепестку и-й сигнатуры. Для любой другой комбинации й, 1, «и правая часть соотношения (7.47) соответствует боковому лепестку рм(т), уровень которого по предположению можно считать близким к нулю.
Таким образом, доказано, что сдвинутые соответствующим образом копии исходной последовательности с хорошей периодической АКФ образуют ансамбль, подчиняющийся условиям псевдослучайности (7.43) во всем диапазоне значений взаимных сдвигов сигнатур ~т~ < тбпьх. Отсюда, в свою очередь, следует, что этот ансамбль достигает (при идеальной ры(т)) или непосредственно приближается к наименьшему уровню (7.40) усредненных нежелательных эффектов, обусловленных ПМД и многолучевой помехой, или, что эквивалентно, к границам Велча (7.36), (7.35).
Уместно еще рзз подчеркнуть, что это утверждение относится к случаю модуляции сигнатур потоком данных, так как условия (7.43) достаточны для минимизации ПМД/многолучевых эффектов при ПРО наложении данных (см. ремарку, сопровождающую (7.40) ) ~. Пример 7.5. Рассмотрим систему с длительностью чипа Ь = 1 мкс, числом пользователей К = 60, диапазоном рассеяния по задержке гя, — — 20 мкс и радиусом соты Р, = 15 км.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
